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1、1第十七章第十七章 振动振动 第四篇第四篇2第十七章第十七章 振振 动动 17-1 简谐振动的描述简谐振动的描述 最简单的周期性振动为简谐振动。最简单的周期性振动为简谐振动。 一、简谐振动的运动方程一、简谐振动的运动方程如如 弹簧振子弹簧振子kxF -(17-1) 从广义上说,任何一个物理量在某一定值附近从广义上说,任何一个物理量在某一定值附近作往复变化,都可称为振动。作往复变化,都可称为振动。kxoFNG3由牛顿第二定律由牛顿第二定律02222xmkdtxddtxdmmakxF令令mk2 0 xdtxd222 (17-2) 简谐振动的简谐振动的特征方程特征方程4方程的一个通解为:方程的一个通

2、解为:)tcos(Ax0 式中式中 为常数,由初始条件确定。为常数,由初始条件确定。0,A )2cos(0tA振动方程振动方程速速 度度)sin(tAdtdxv加速度加速度)tcos(Adtdva2 位位 移移x2 简谐振动的判据简谐振动的判据.5ta, tv, tx 曲线曲线:tcosAx )2tcos(AtsinAv )tcos(AtcosAa22 atoVto2468101214-1-0.50.51tvxaxto62. 描述简谐振动的基本量描述简谐振动的基本量)tcos(Ax 由由A, , .由初始条件决定。由初始条件决定。 (重点!)(重点!)0t位相为位相为 称初位相。称初位相。)t

3、( 位相(决定振动状态的物理量)。位相(决定振动状态的物理量)。T22 圆频率圆频率(2 秒内振动的次数秒内振动的次数)。 由初始条件决定。由初始条件决定。振幅(最大位移的绝对值)。振幅(最大位移的绝对值)。A0 xdtxd222 由系统性质决定(故称固有频率)。由系统性质决定(故称固有频率)。由由定出定出 。mk 7231020ttt102021020tttt (右图(右图 为两个同为两个同频率,同振幅而频率,同振幅而不同初相位的简不同初相位的简谐振动的位移时谐振动的位移时间曲线。)间曲线。) 对同一简谐振动,质点在任意两个时刻之间对同一简谐振动,质点在任意两个时刻之间振动的相位差满足:振动

4、的相位差满足: 初相位的值初相位的值 取决于计时零点的选取,取决于计时零点的选取,相位差是绝对的。相位差是绝对的。2/31020 10202/1020 8,位移,位移 ,速度,速度 0t0 x0v设设 cosAx0 sinAv0得得002020 xvtg)v(xA 9参量参量A, , 的计算:的计算:)tcos(Ax 1.3.tT200 xvtg4.2.2020)(vxA观察法观察法简谐振动问题类型:简谐振动问题类型: (1)证明为简谐振动,并求周期?)证明为简谐振动,并求周期? (2)写出振动方程?)写出振动方程?km22T mk10l例例. 单摆长单摆长(1)证明)证明小角度小角度摆动为简

5、谐振动,摆动为简谐振动,并求周期。并求周期。 (2)若将摆拉至最大角度)若将摆拉至最大角度 放手放手为计时起点,写出振动方程。为计时起点,写出振动方程。 0 解:(解:(1)摆沿圆弧运动,只需分)摆沿圆弧运动,只需分析任意角位移析任意角位移 处切向力:处切向力: sinmgF 切向力大小切向力大小 mg(小角度(小角度 !5!3sin53 . )考虑方向考虑方向 mgF0 FmgTo简谐振动!简谐振动! 11 mgmaF又又22dtdldtdva dtdlv ( ) gdtdl22即即0lgdtd22 lg gl22T 02020m)( 角振幅角振幅(2)0t初角位移初角位移0 00初角速度初

6、角速度,0tg00 0 ? 0 0 t lmgTO F)tcos(m 振动方程振动方程12 取值范围(取值范围(02 )或()或(- )之间。)之间。 o 哪一个是哪一个是 的正确值?的正确值? cos001cos 故应取初位相故应取初位相0 )tlgcos(0 振动方程振动方程13三三. 简谐振动简谐振动的描述方法的描述方法1. 解析法解析法由由 x=Acos( t+ )已知表达式已知表达式 A、T、 已知已知A、T、 表达式表达式2. 曲线法曲线法oxmx0 = 0oA-Atx = /2T 已知曲线已知曲线 A、T、 已知已知 A、T、 曲线曲线14tAxcost 3.3.旋转矢量法旋转矢

7、量法 (相量图法相量图法)投影到投影到Y Y, ,描述描述Y Y方向的谐振动方向的谐振动投影到投影到X X轴轴, , 描描述述X X方向的谐振动方向的谐振动xAY投影到任意轴?投影到任意轴?xOx15xA t对应量对应量A t+ x旋转矢量旋转矢量长度长度角速度角速度初角初角夹角夹角投影投影简谐振动简谐振动振幅振幅圆频率圆频率位移位移初位相初位相位相位相* *旋转矢量与振动的对应量旋转矢量与振动的对应量0tt 16利用旋转矢量可以:利用旋转矢量可以:1)确定振动的确定振动的 初相位初相位;2)求求 振动振动 的的 相位差相位差或或 时间差时间差;3)求两个同频率求两个同频率谐振动的谐振动的 合

8、振动合振动。231212212121A2A1A1A1A2A2A2A17例例1.1. 用向量图法,用向量图法,按图写振动方程。按图写振动方程。x(m)t (s) 10 -5t (s) 1021x(m)2 mtx)32cos(10 mtx)2cos(10 x18已知已知: :旋转矢量旋转矢量A=0.04m, A=0.04m, =4=4 (rad/s)(rad/s)例例2.2. 由旋转矢量由旋转矢量法法画振动曲线,写画振动曲线,写振动方程。振动方程。 /4xot (s)x(m)211611610.04-0.04mtx)44cos(04. 019方法一:用方法一:用t=0t=0时旋转矢量画时旋转矢量画

9、 mtx)22cos(02. 0 x(m)0.02t (s)0.02x(m)例例3.3. 由方程画由方程画振动振动曲线。已知方程:曲线。已知方程:2420 mtx)22cos(02. 0t (s)x(m) mtx2cos02. 0方法二:先参考标准式方法二:先参考标准式再根据初相平移再根据初相平移21 例例1 在劲度系数为在劲度系数为k的轻弹簧下悬挂着质量分别为的轻弹簧下悬挂着质量分别为M和和m 的物体,在系统处于平衡状态下,轻轻取走小物体的物体,在系统处于平衡状态下,轻轻取走小物体m并开始计时,以向上为正方向,求系统作谐振动的特并开始计时,以向上为正方向,求系统作谐振动的特征量和运动方程。征

10、量和运动方程。解解 取走取走 m后,轻弹簧与后,轻弹簧与 M 系统将作系统将作谐振动。谐振动。 以以 k+M 系统的平衡位置系统的平衡位置O为坐为坐标原点标原点, 初始条件为:初始条件为:0t时时0Vkmgx00 Mk kMm0 xox22得得kmgvxA22020 又由又由 0001Axcos振动系统的运动方程为:振动系统的运动方程为:)tMkcos(kmgx 23例例2 一谐振动的曲线如图所示,求其一谐振动的曲线如图所示,求其振动方程。振动方程。解解 由图可知由图可知:cmA10故故320t = 0时,时,X= 5cm此题关键在于求出!此题关键在于求出!)cos(0tAx)(cmx1010

11、5502) s ( t-xt224经历经历 ,振动相位的变化为:,振动相位的变化为:st2653223t 125振动方程为:振动方程为:mtx)32125cos(1.0 今将今将 , 秒两个振动状态秒两个振动状态的旋转矢量画于参考圆上。的旋转矢量画于参考圆上。x2t0t25例例3 边长边长 l = 25cm,密度,密度 = 0.8 g/cm3 的木块,的木块,浮在大水槽的水面上。今把木块完全压入水中,然浮在大水槽的水面上。今把木块完全压入水中,然后放手,如不计水对木块的阻力,问木块将如何运后放手,如不计水对木块的阻力,问木块将如何运动?求出木块的运动方程。动?求出木块的运动方程。ab解解 木块

12、浮在水面而平衡时,木块浮在水面而平衡时,木块所受浮力与重力大小相等木块所受浮力与重力大小相等。glsgbs cm20lb C 设设木块没入水中部分深度木块没入水中部分深度 b,露出水面部分高度为露出水面部分高度为 a,水的水的密密度为度为 26则则 a = 5 c m 。ab , oyc 取水面上取水面上o点为原点,竖直点为原点,竖直向下为向下为 y 轴。轴。byO cy 木块在任意位置时木块在任意位置时 ,可可用用 c点对水面的位移点对水面的位移 y来描述。来描述。木块所受的合力为:木块所受的合力为:glssg)yb(f gys 故,木块作简谐振动。故,木块作简谐振动。27s/rad7bgl

13、gslgsmk 按题意,按题意,t = 0时,时,y = + 5cm,v = 0,木块的运动方程为:木块的运动方程为:Y= 5cos 7t (cm)则则 ,0 第四篇第四篇 振动与波波动光学振动与波波动光学以弹簧振子为例以弹簧振子为例谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的系统的动能动能Ek+系统的系统的势能势能Ep某一时刻,谐振子速度为某一时刻,谐振子速度为v,位移为位移为x)tsin(Av0 )tcos(Ax0 221mvEk )t(sinkA02221 221kxEp )t(coskA02221 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数19-4 简谐振动的

14、能量简谐振动的能量2 2p pk kkAkA2 21 1E EE EE E 简谐振动系统的动能和势能在简谐振动系统的动能和势能在一个周期内的平均值为一个周期内的平均值为:TkTpkAdttkATEkAdttkATE020220202241)(sin21141)(cos211可见,可见,E21EEpk xtTEEpokpEE EtEk(1/2)kA2由起始能量求振幅由起始能量求振幅kEkEA022 221kAE 动动能能221mvEk )t(sinkA02221 势势能能221kxEp )t(coskA02221 情况同动能。情况同动能。pppEEE,minmax0min kE2411kAdtE

15、TETttkk 2max21kAEk 机械能机械能221kAEEEpk 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒一、同方向、同频率谐振动的合成一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动合振动是简谐振动, , 其频率仍为其频率仍为 )cos(AAAAA10202122212 221122110 cosAcosAsinAsinAtg )tcos(A)t(x1011 )tcos(A)t(x2022 )tcos(Axxxx021 质点同时参与同方向同频率质点同时参与同方向同频率的谐振动的谐振动 : :合振动合振动 : :19-8 简谐振动的合成简谐振动的合成2A1AA10 20 0 1x2xx

16、1M2MM如如 A1=A2 , , 则则 A=0,kk21021020 两分振动相互加强两分振动相互加强21AAA ,k)k(210121020 两分振动相互减弱两分振动相互减弱21AAA 分析分析若两分振动同相:若两分振动同相:若两分振动反相若两分振动反相: :)cos(AAAAA10202122212 2AA1A2AA1A36振振 动动 习习 题题 课课基本要求基本要求:1. 掌握掌握描述谐振动各物理量的物理意义及其相互关系描述谐振动各物理量的物理意义及其相互关系.2. 熟练掌握熟练掌握旋转矢量法旋转矢量法.3. 掌握谐振动的基本特征掌握谐振动的基本特征, 会求简谐振动的特征量,会求简谐振

17、动的特征量,能能建立一维简谐振动的振动方程建立一维简谐振动的振动方程, 理解并会运用理解并会运用简谐振动简谐振动 的主要判据。的主要判据。4. 理解两个同方向、同频率谐振动的合成规律理解两个同方向、同频率谐振动的合成规律.37 1. 一质点作简谐振动,其运动速度与时间的曲线一质点作简谐振动,其运动速度与时间的曲线 如图所示,若如图所示,若质点的振动规律用余弦函数描述,质点的振动规律用余弦函数描述,则其则其初相位应为初相位应为:V(m/s)Omv2vmt(s)3/2)(; 3/)(6/)(6/5)(;6/5)(;6/)(FEDCBA解解:一、选择题一、选择题)2cos(0tAv)sin(tAv)

18、tcos(Ax0 382. 如图所示,一质量为如图所示,一质量为m的滑块,两边分别与倔强系数的滑块,两边分别与倔强系数为为K1和和K2的轻弹簧联接,两弹簧的另外两端分别固定在的轻弹簧联接,两弹簧的另外两端分别固定在墙上,滑块可以在光滑的水平面上滑动,墙上,滑块可以在光滑的水平面上滑动,O点为系统平点为系统平衡位置,将滑块衡位置,将滑块m向左移动向左移动X0,自静止释放,并从释放,自静止释放,并从释放时开始计时时开始计时. 取坐标如图所示,则其振动方程为取坐标如图所示,则其振动方程为:O XK1K2X0m t)kk(mkkcosxx)B();tmkkcos(xx)A(2121021039 tkk

19、mcosxx)D(;tmkkcosxx)C(210210 21111 2121 21 弹簧串并联等效弹簧串并联等效K的公式:的公式:串联串联并联并联 C 40 xtA1A1A2A2X1(t)X2(t) 1. 两个同方向的振动曲线如图所示两个同方向的振动曲线如图所示,合振动的振幅为合振动的振幅为 ;合振动的方程为;合振动的方程为)2t(COSAAX12 二、填空题二、填空题412. 两个同方向同频率的简谐振动,其振动表达式分两个同方向同频率的简谐振动,其振动表达式分别为:别为:m1040AAA22221 31arctg21 它们的它们的合振动的振幅为合振动的振幅为 ,初位相为初位相为 。)SI(

20、 ) t5cos(102x)SI( )2/t5cos(106x2221 X423. 一放置在水平桌面上的弹簧振子一放置在水平桌面上的弹簧振子,振幅振幅A=2.0 102m, 周期周期T0.50 s,当,当 t0时时, 求以下各种运动情况求以下各种运动情况的初位相:的初位相:(1)物体在正方向的端点;)物体在正方向的端点; (2) 物体在负方向的端点;物体在负方向的端点;43(3)物体在平衡位置,向负方向运动;)物体在平衡位置,向负方向运动;(4)物体在平衡位置,向正方向运动;)物体在平衡位置,向正方向运动;44(6)物体在)物体在 x=1.0 102m处,向正方向运动;处,向正方向运动;2A

21、(5)物体在)物体在 x=1.0 102m 处处,向负方向运动;,向负方向运动;45三、计算题三、计算题1. 一轻弹簧在一轻弹簧在60N的拉力下伸长的拉力下伸长30cm,现把质量,现把质量为为4kg的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止,的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止,再把物体向下拉再把物体向下拉10cm,然后由静止释放并开始计,然后由静止释放并开始计时,求:时,求:(1) 物体的振动方程;物体的振动方程;(2) 物体在平衡位置上方物体在平衡位置上方5cm时时弹簧对物体的拉弹簧对物体的拉 力力;(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方到上方5c

22、m处处所需要的最短时间所需要的最短时间. 46解解 : k=f/x=200N/m s /rad07. 7mk cm5x) t707. 0cos(1 . 0 x 0t )A(m1 . 0 x0 0 )1()2(mafmg )ag(mf sm5 . 2xa2 )3(6 t s074. 0t 5 472. 已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图速度与时间的关系曲线如图所示,试求其振动方程。所示,试求其振动方程。431.431. 715.715. 01)(st)(1 cmsv48方法方法1: 用旋转矢量法辅助求解。用旋转矢量法辅助求解。)cos( tAx)2cos()sin(tvt

23、Avm431.431. 715.715. 01)(st)(1 cmsv2v由图知由图知 322 6 49 11 s cmvAm10143431 . cmtx)cos(610 1431 cmsAvm. t50431.431. 715.715. 01)(st)(1 cmsv方法方法2:100715cms.sinAv )tcos(Ax0 设振动方程为设振动方程为0020 cosAa1431 cmsvAm. 2143171500.Avsin 6560或或60 5117151 cmsvt.2161 mvvAv )sin( 6116761或 01001)cos(,a 则则 6761 1143 s. cmvAm10143431 . 故振动方程为故振动方程为cmtx)cos(610 523. 一弹簧振子沿一弹簧振子沿x轴作简谐振动,已知振动物轴作简谐振动,已知振动物体体最大位移最大位移为为Xm=0.4m时,时,最大恢复力最大恢复力为为Fm0.8N,

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