(完整版)特殊的平行四边形与圆专题+答案

1、1 .如图，在 出BC中，AC = BC,点D, E分别是边 AB, AC的中点，将 出DE绕点E旋转180ACFE,则四边形ADCF 一定是（A ）A.矩形 B.菱形 C.正方形D.以上都不对202 .如图，点P是正方形 ABCD边AB上一点（不与A, B重 合），连接PD,将线段PD绕点P顺时针旋转90。得线段PE, 连接BE,则/ CBE等于 45° .4.如图，将矩形则/ BE' C= 1353 .如图，点E是正方形 ABCD内一点，连接AE, BE , CE , 将出BE绕点B顺时针旋转90°到ACBE的位置.若AE = 1,ABCD绕点A顺时针旋转到矩形

2、 AB' C D'的位置，旋转角为a(0° <a<90° 若 / 1 = 110°,贝 U/ a=5 .如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上，四边形 ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中，相等的角有（C ）A.2对B.3对C.4对D.5对6 .如图，/AOB=10O，则/A+/B 等于（C ）A.100B.80C.50D.407 .如图,A、B、C三点都在。上，点D是AB延长线上一点, /AOC=140 ,/ CBD的度数是（C ）A.40B.50C.70D.1108 .如图,AB为半圆 O的直径，弦AD、BC相交于点 P,若

3、CD=3,AB=4,求 tan / BPD 的值.连接BD,则，AB是直径，/ ADB=90 .PB ABZ C=ZA, Z D=Z B,/.A PCD pab,PD CD在 Rt*BDKcos/BpD=p| CB = 4设 PD=3x,PB=4x,则 BD=、,PB2pd2:.tan / BPD= BD.(4x)2(3x)2 -7x,7x .7PD 3x 3一、特殊的平行四边形动点问题1 .如图，在 Rt AABC中，/ ACB=90°,过点 C的直线 MN / AB , D为AB上一动点，过点D作DE，BC ,交直线 MN 于点E,垂足为点F,连接CD, BE.(1)求证：CE

4、= AD ;当D运动到AB的中点时，四边形 BECD是什么特殊四 边形？说明你的理由；(3)若D运动到AB的中点，则/ A的大小满足什么条件时, 四边形BECD是正方形？说明你的理由.M C E N解：（1）证明：: DELBC,DFB = 90 . . /ACB =90 , ，/ ACB = / DFB ,，AC / DE.MN / AB ,即 CE / AD ,四边形ADEC是平行四边形，CE=AD四边形BECD是菱形，理由：D为AB的中点，AD = BD. / CE = AD ,，BD = CE.BD /CE,，四边形 BECD 是平行四边形DEBC, 四边形BECD是菱形(3)当/A

5、= 45°时，四边形BECD是正方形，理由：:/ACB = 90 , /A = 45 ,ABC =/A=45 二.四边形 BECD 是 菱形，DBE =2/ABC =90°,，菱形BECD是正方形.故 当/A = 45°时，四边形 BECD是正方形2 .在矩形 ABCD中，AB =4 cm, BC = 8 cm, AC的垂直平 分线EF分别交AD , BC于点E, F,垂足为O.(1)如图，连接 AF, CE.试说明四边形 AFCE为菱 形，并求AF的长.(2)如图，动点P, Q分别从A, C两点同时由发，沿 AFB和4CDE各边匀速运动一周，即点P自A-F-B-

6、A停止，点 Q自C-D-E-C停止.在运动过 程中，已知点P的速度为5 cm/s,点Q的速度为4 cm/s,运 动时间为t s,当以A, C, P, Q四点为顶点的四边形是平 行四边形时，求t的值.（第3题）解：(1)二.四边形ABCD是矩形，AD / BC , / CAD = / ACB , / AEF = / CFE. EF垂直平分 AC ,垂足为点 O , OA = OC ,， AOE iACOF.，OE = OF ,，四边形AFCE为平行四边形.又 EFXAC ,，？AFCE为菱形.设 AF = CF = x cm,则 BF = (8 x)cm,在 RtAABF 中，AB =4 cm,

7、由勾股定理得42+(8-x)2 = x2,解得x=5, ，AF = 5 cm(2)显然，当P点在AF上，Q点在CD上时，A, C, P, Q 四点不可能构成平行四边形；同理：P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构 成平行四边形.因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行 四边形，如图，连接 AP, CQ,则以A, P, C, Q四点为 顶点的四边形是平行四边形，此时PC = QA. .点P的速度为5 cm/s,点Q的速度为4 cm/s,运动时间为t s,1 .PC = 5t cm, QA = (12 4t)cm.，5t=124t,解得 t = 4.32 .以A, P, C,

8、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t4=33.AABC是等腰直角三角形，/BAC = 90P, Q分别是AB , AC上的动点，且满足 BP = AQ , D是BC的中点，连 接 AD , PD, PQ, DQ.(1)求证：APDQ是等腰直角三角形；(2)当点P运动到什么位置时，四边形 APDQ是正方形？请 说明理由.4.如图，已知平行四边形 ABCD的对角线AC, BD相交于 点 O, AC = 20 cm, BD = 12 cm,两动点 E, F 同时以 2 cm/s 的速度分别从点 A, C由发在线段AC上相对运动，点E到 点C,点F到点A时停止运动.(1)求证：当点E, F在运动过程

9、中不与点 O重合时，以点B, E, D, F为顶点的四边形为平行四边形；当点E,F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？解：(1)证明：连接 DE, EB, BF, FD. 两动点E, F同时以2 cm/s的速度分别从点 A, C由发在 线段AC上相对运动，AE = CF. .平行四边形 ABCD的对角线AC, BD相交于点O, . OD = OB , OA = OC（平行四边形的对角线互相平分 ），OA AE = OC CF 或 AE OA = CF OC ,即 OE = OF , 四边形BEDF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是 平行四边形），即以点B, E, D, F为顶点的四

10、边形是平行四边形.（2）当点E在OA上，点F在OC上，EF = BD= 12 cm时， 四边形BEDF为矩形.二.运动时间为t,，AE = CF=2t,，EF = 20-4t= 12, . . t = 2;当点E在OC上，点F在OA上时，EF = BD = 12 cm, EF = 4t20=12, t = 8.因此，当点E,F的运动时间t为2 s或8 s时，四边形BEDF 为矩形.二、圆相关的证明与求值问题1 .如图,AB是。O的直径，且AB=6,C是。O上一点,D是BC? 的中点，过点D作。O的切线，与AR AC的延长线分别交于 点E. F,连接AD.(1)求证：AFL EF;填空：当BE=

11、_时，点C是AF的中点；当BE=_时，四边形OBD虚菱形.2 .如图，在 ABD中，AB=AD以AB为直径的。F交BD于点C,交AD于点E, CGLAD于点G,连接FE, FC.s -r0(1)求证：GC是OF的切线；填空：若/ BAD=45 ,AB=2也，贝14 CDG勺面积为 .当/ GCD勺度数为一时，四边形EFCD菱形.3 .已知：如图,AB为O的直径，点P是O上不与A,B重合的一个动点，延长PA到C,使AC=AP点D为O上一点，且满足ADII PB,射线CD交PB延长线于点E.(1)求证： PAg A ACtD填空：若AB=6,则四边形ABED勺最大面积为 ；若射线CD与O的另一个交

12、点为F,则当/ PAB的度数为 时，以O, A, D, F为顶点的四边形为菱形.4 .如图，在Rt ABC中，C 90 ,点D是AC的中点，且A CDB 90,过点 A,D作eO, 使圆心 O在 AB上，e O与 AB交 于点E .(1)求证：直线BD与e O相切；(2)若 AD:AE 4:5, BC 6,求 eO 的直径.5 .如图，在 ABC中，/ C=90° , / ACB的平分线交 AB于 点O,以O为圆心的。O与AC相切于点D.(1)求证：O O与BC相切；(2)当AC=3 , BC=6时，求。O的半径.6 .如图，AB是。O的直径，AM , BN分别切。于点A ,B, C

13、D 交 AM , BN 于点 D, C, DO 平分/ADC .(1 )求证：CD是。O的切线；(2)若 AD=4 , BC=9 ,求。O 的半径 R.7.如图，在等腰 ABC中，AB=AC以AB为直径作。交边DH AC交AC于点E,延长ED交AB的BC于点D,过点D作延长线于点F.(1)求证：DE是。的切线；(2)若 AB=8, AE=6,求 BF 的长.8.如图，AB是。0的直径，点 C D在。0点E在AB的延长线上，/ AEDh ABC(1)求证：DE与。0相切；(2)若 BF=2, DF=R,求的半径.,/ A=2/ BCD解：(1)证明：连接OR. AB 是。0 的直径，ACB=90

14、 ,，/A+/ ABC=90 ,/BOD=2BCD /A=2/BCD，/BOD=A, /AEDh ABC BOD+AED=90 , ，/ ODE=90 ,即 ODL DEDE与OO相切；(2)解：连接 BD,过D作DHLBF于H,.DE与。0 相切，BDEh BCD,/ AEDh ABC / AFCh DBF/AFCNDFB .ACF与 FDB都是等腰三角形， ，FH=BH=BF=1,贝U FH=1,，HD*万声。=3, 在 RUODH中，OH，D中=OD。即|1OD1/华=0加, ，OD=5 /.GO的半径是5.9.已知，如图，AB为。0的直径，PD切。0于点C,与 AB 的延长线交于点 D

15、, DEL PO交PO延长线于点 E,连接PA, 旦/ EDBh EPA(1)求证：PA是。0的切线；(2)若 PA=6, DA=8,求的半径./ EDOgAPO(1)证明：./EDBh EPA, DEL PO,/ DEO=90 .又,/ POA= DOE APO-AED(O / PAO= DEO=90 .又.OA是半径，PA是。0的切线；(2)在 RtAPAD中，若 PA=6, DA=8,根据勾股定理得：PD=冉 &?=10,; PD与 PA都为圆的切线， ，PC=PA=6 ，DC=PDPC=10-6=4 , 在 RtACDO,设 OC=r,则有 DO=8-r,根据勾股定理得：(8-

16、r ) 2=r2+42,解得：r=3 ,则圆的半径为3.10.如图，AB是。0的直径，点 C、D为半圆O的三等分点,过点C作CELAQ交AD的延长线于点 E.(1)求证：CE是。0的切线；(2)判断四边形 AOC混否为菱形？并说明理由.(1)连接AC,丁点cd是半圆o的三等分点，w?w?=wr,，/ DACN CAB . OA=OC / CABh OCA / DAC= OCA.AE/OC(内错角相等，两直线平行)，/OCENE,. CEL AR，/OCE=90,，OCL C£，CE 是的切线； (2)四边形AOCDJ菱形.理由是：.,介=俞，DCA= CAB，CD/1 OA又AE/Z

17、OC，四边形 AOC里平行四边形，OA=OC，平行四边形 AOCDi菱形.11.如图，已知直线PA交。0于A、B两点，AE是。0的直径, 点C是。0上一点，且 AC平分/ PAE过 C作CDL PA 垂足 为D.(1)求证：CD为。0的切线；(2)若DC+DA=6 00的直径为10,求弦AB的长。(1)证明：连接OGOA=OC / OCA= OAC. AC平分/ PAE，/DAC= CAO，/DAC= OCA PB/IOC CDLPA，CDLOC CO为00 半径，.CD为。0 的切线；/OCDWCDAN OFD=90，四边形DCOF为矩形(2)解：过O作O吐AB,垂足为F, .OC=FD O

18、F=CDv DC+DA=6设 AD=r 贝U OF=CD=6-xV0O 的直径为 10,，DF=OC=,5，AF=5-x ,在RtAOF中，由勾股定理得 +二.即+=25,化简得-11x+18=0 ,解得=2, =9. CD=6x 大于 0,故 x=9 舍去，x=2,从而 AD=2 AF=5-2=3, OFLAR由垂径定理知，F为AB的中点，AB=2AF=612.AB为。0直径，BC为切:AD,作宜线DC求证：DC为。0切线；若AD?OC=8求半径r .丹C试题解析：/证明:线，切点为B, CO平行于弦连接OD,. OA=OD，/ A=/ ADO. AD/ZOC ，/A=/ BOC /ADO=COD/BOCNCOD在 AOBC 与 AODC 中，fO-ODq BQC=zDOC , fiC-QC.OBCiAODC( SA0,，/OBC=ODC又.BC 是OO 的切线，/ OBC=90, /ODC=90,，DC是。0的切线；连接BD./<AADB 与 AODC 中,zA-CODDB=ODC= 90°.AD即AODC，AD OD=ABOG，AD?OC=OD?AB=r?2r=22r, 即 2r2=8,13、如图，AABC内接于OO, AB为直径，E为AB延长线上 的点，作 OD