201x届高考理科数学第一轮考纲复习(5)

1、第 2 讲 导数在研究函数中的应用1函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内_；如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内_.单调递增单调递减2判别 f(x0)是极大、极小值的方法若 x0满足 f(x0)0，且在 x0的两侧 f(x)的导数异号，则 x0是 f(x)的极值点，f(x0)是极值且如果 f(x)在 x0两侧满足“左正右负”，则 x0是 f(x)的_点，f(x0)是极大值；如果 f(x)在x0两侧满足“左负右正”，则 x0是 f(x)的_，f(x0)是_极大值极小值极小值

2、)D1函数 f(x)x33x21 是减函数的区间为(A(2，)B(，2)C(，0)D(0,2)2函数 f(x)x3ax23x9，已知 f(x)在 x3 时取得极值，则 a()DA2B3C4D53函数 y2x33x212x5 在区间0,3上最大值与最小值分别()AA5，15B5，4C4，15D5，16A解析：yexxex2，斜率 ke0023，所以，y13x，即 y3x1.考点 1 讨论函数的单调性例 1：设函数 f(x)x33axb(a0)(1)若曲线 yf(x)在点(2，f(2)处与直线 y8 相切，求 a、b的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值点y3x15曲线 yxex2x1 在点

3、(0,1)处的切线方程为_. 解题思路：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值解析：(1)f(x)3x23a，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处与直线 y8 相切，(2)f(x)3(x2a)(a0)，当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(，)上单调递增，此时函数 f(x)没有极值点当 x(， a)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，当 x( a， a)时，f(x)0，函数 f(x)单调递减，当 x( a，)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，此时 x a是 f(x)的极大值点，x a是 f(x)的极小值点本题出错最多的就是将(1)中结论 a4 用到(2)中【互动探究】1设函数

4、f(x)xekx (k0)(1)求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数 f(x)的单调区间；(3)若函数 f(x)在区间(1,1)内单调递增，求 k 的取值范围考点 2 导数与函数的极值和最大(小)值例 2：设函数 f(x)2x33ax23bx8c 在 x1 及 x2 时取得极值(1)求 a、b 的值；(2)若对于任意的 x0,3，都有 f(x)c2成立，求 c 的取值范围当 x(1,2)时，f(x)0.所以，当 x1 时，f(x)取得极大值 f(1)58c，又 f(0)8c，f(3)98c，则当 x0,3时，f(x)的最大值为 f(3)98c.因为对于任意的 x0,3

5、，有 f(x)c2恒成立，所以 98cc2，解得 c9，因此 c 的取值范围为(，1)(9，)【互动探究】考点 3 构造函数来证明不等式例 3：已知函数 f(x)是(0，)上的可导函数，若 xf(x)f(x)在 x0 时恒成立(2)求证：当 x10，x20 时，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)所以函数 g(x)因为 xf(x)f(x)，所以 g(x)0 在 x0 时恒成立，f(x)x在(0，)上是增函数(2)由(1)知函数 g(x)f(x)x在(0，)上是增函数，所以当 x10，x20 时，两式相加得 f(x1x2)f(x1)f(x2)ln(x1)x.1x1【互动探究】3已知函数 f(x

6、)ln(x1)x.(1)求函数 f(x)的单调递减区间；(2)若 x1，证明：11x1(1)解：函数 f(x)的定义域为(1，)，f(x)1x1x.由 f(x)0 及 x1，得 x0.所以当 x(0，)时，f(x)是减函数，即 f(x)的单调递减区间是(0，)(2)证明：由(1)知，当 x(1,0)时，f(x)0；当 x(0，)时，f(x)0.因此，当 x1 时，f(x)f(0)，即 ln(x1)x0，1，.x1所以 ln(x1)x.令 g(x)ln(x1)1x1则 g(x)1 1x1 (x1)2x(x1)2当 x(1,0)时，g(x)0；当 x(0，)时，g(x)0.所以当 x1 时，g(x

7、)g(0)，即 ln(x1)1x110，ln(x1)11.综上可知，若 x1，则 11x1ln(x1)x.错源：f(x0)0 是 f(x0)为极值的必要但不充分条件例 4：已知函数 f(x)x33mx2nxm2 在 x1 时有极值0，则 m_，n_. 误解分析：对 f(x)为极值的充要条件理解不清，导致出现多 解正解：f(x)3x26mxn，由题意，f(1)36mn0，f(1)13mnm20，即 x1 不是 f(x)的极值点，应舍去故 m2，n9.纠错反思：f(x)=0 是 f(x0)为极值的必要但不充分条件,判断x0不是极值点需要检查 x0侧 f(x)的符号.如果左正右负，那么 f(x0)是

8、函数 f(x)的一个极大值；如果左负右正，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值；如果符号相同，那么 f(x0)不是函数 f(x)的极值.此题就没有讨论在两种情况下，f导数求函数极值时一定要判断某函数值是不是极值，要检验相关区间内导数的符号.【互动探究】4设 f(x)是函数 f(x)的导函数，yf(x)的图像如图 4)C21，则 yf(x)的图像最有可能的是(图 421解析：由导函数的图像知，导函数在 x0 和 x2 时的导函数值为 0，故原来的函数 yf(x)在 x0 和 x2 时取得极值当 x0 或 x2 时，导函数值为正(或 0)，当 0 x2 时，导函数值为负，所以当 x0 或

9、x2 时函数 yf(x)为增函数，当 0 x2 时，函数 yf(x)为减函数，故选项为 C.(1)证明 a0；(2)若 za2b，求 z 的取值范围解析：f(x)ax22bx2b.(1)由函数 f(x)在 xx1 处取得极大值，在 xx2处取得极小值，知 x1、x2是 f(x)0 的两个根所以 f(x)a(xx1)(xx2)当 x0，由 xx10，xx20.(2)在题设下，0 x11x20，实数 a、b 为常数)(1)若 a1，b1，求函数 f(x)的极值；(2)若 ab2，讨论函数 f(x)的单调性(1)求函数 f(x)为奇函数的充要条件；(2)若任取 a0,4，b0,3，求函数 f(x)在 R 上是增函数的概率所以 f(x)为奇函数故 f(x)为奇函数的充要条件是 a1.(2)因为 f(x)