本科阶段固体物理期末重点计算题

1、第一章晶体结构1 .氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出这两种结 构的原胞与晶胞基矢，设品格常数为 a。解：氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na+和一个C厂组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的C原子和一个体对角线上的C原子组成的C原 子对。由于NaCl和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：相应的晶胞基矢都为：2 .六角密集结构可取四个原胞基矢 aa2,a3与a,，如图所示。试写出02人、A1A3B3B1、 A2B2B5A5、A A2A3 A4 A5 A6这四个晶面所属晶面族的晶面指数 hklm。1解：(1).对于O

2、AA3面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：1,1,lo所以，2其晶面指数为1121 。(2) .对于AA3B3B1面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：1,1,-,。所以,2其晶面指数为1120。(3) .对于A2B2B5A5面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：1 ,1,。所以,其晶面指数为1100 。.对于AiA2A3A4AA6面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为: 以，其晶面指数为00013 .如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的比为:简立方：；体心立方：虫_；面心立方： 诋_；六角密集： ；金刚石： 叵。686616证明：由于晶格常数为a,所以：(1) .构成简

3、立方时，最大球半径为 Rm -,每个原胞中占有一个原子，2(2) .构成体心立方时，体对角线等于4倍的最大球半径，即：4Rm V3a ,每个晶胞中占有两个原子，(3) .构成面心立方时，面对角线等于4倍的最大球半径，即：4Rm J2a ,每个晶胞占有4个原子，(4) .构成六角密集结构时，中间层的三个原子与底面中心的那个原子恰构成一个正四面体，其高则正好是其原胞基矢c的长度的一半，由几何知识易知c 4 Rm。原胞底面边长为2 Rm。每个晶胞占有两个原子,2VmR3Rm8、2Rm原胞的体积为：V(5) .构成金刚石结构时，1的体对角线长度等于两个最大球半径，即： 2Rm 吏a, 44每个晶胞包含

4、8个原子，4 .金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析的方法证明这一夹角为109：28 0证明：常数为 1,1,1 0如图所示，沿晶胞基矢的方向建立坐标系，并设品格1。选择体对角线 aB和CD,用坐标表示为1,1, 1和所以，其夹角的余弦为：5 .试求面心立方结构(110)和(111)晶面族的原子数面密度，设晶格常数为a解:在(110)面内选取只包含一个原子的面面积为a|冬a a2,所以其原子数面密度AFGD 其为：面积为：如图所示，面ABC即(110)面，面CDEW为(111)面。设该面心立方的晶格常数为 a, 则在(111)面内选取只包含一个原子的面 DHIG

5、其（二 a）2sin-虫 a2, 234所以其原子数面密度为:6 .若在面心立方结构的立方体心位置上也有一原子，试确定此结构的原胞，每个原胞内包含几个原子，设立方边长为a。解：这种体心立方结构中有五种不同的原子。顶角、体心上的原子是两种不同的原子，另 外，面心上的原子前后、上下、左右的原子两两一组，是互不相同的原子。故此种结构共 有五种不同的原子，整个面心立方就是一个原胞。每个原胞中的原子数为：11.8 1 3 25（个）827.底心立方（立方顶角与上、下底心处有原子）、侧心立方（立方顶角与四个侧面的中心处有原子）与边心立方（立方顶角与十二条棱的中点有原子）各属何种布拉维格子？每个原胞包含几个

6、原子？解：这三种结构都属于简立方结构，原胞包含的原子数分别为：底心立方：1 8 18,一，、11侧心立方：一 84 38211边心乂方：- 812 484第二章1.由实验测得NaCl晶体的密度为cm3 ,它的弹性模量为x 1010N/m ,试求NaCl晶体的每对离子内聚能Us0 （已知马德隆常数 M二, Na和Cl的原子量分别为23和） N解：NaCl晶体中Na和Cl-的最近距离为r0晶胞基矢长为2 r0,一个晶胞中含有四对正负离子对一个原胞（一个NaCl分子）的体积为:3_ m (23 35.45) 10 6v 2r0 2FN 2.16 6.02 10NaCl晶体中的正负离子的平衡间距为:由

7、晶体体积弹性模量的公式:(n 1)Me2Bm TT 4 ,36 0 0并且由于NaCl晶体为面心立方结构，参数 =2,故由上式可得:_ _ _12_ _ 9 436 3.14 8.85 102 (0.282 10 )1.7476 (1.619、210 )2.41 1010由平衡时离子晶体的内聚能公式:NMe2Uc E1一）， n将n=代入得NaCl晶体的每对离子的内聚能为:19 21.7476 (1.6 10 )2124 3.14 8.85 10 12 0.282 10布（17.822. LiF晶体具有NaCl结构，已由实验测得正负离子间的最近距离r =（1摩尔的内聚能Uc =mol,以孤立离

8、子系统的内能为能量的零点）。试计算该晶体的体积弹性模量Bm,并与它的实验植6.71 1010 N/m2 进行比较。解： 由平衡时离子晶体的内聚能公式：Uc2NMe24%1(1 -),其中 M二 n计算1mol的内聚能时，N=Na= 1023，且 ro =,计算得:n=1_194 3.14 8.85 10 19 0.201410 9 ( 1012.8 103)6.02 1023 1.748 (1.6 10 19)2LiF晶体具有NaCl结构，将二2,n =, r=代入上式得：晶体的弹性模量为：2x 101 0 (N/m2)B (n 1)Me2 二Bm 4360 r0相对误差为：嘿产1。 7.9%

9、3.由气体分子的实验测得惰性气体 Xe伦纳德琼斯势参数0,02eV,0.398nm在低温下Xe元素形成面心立方的晶体，试求Xe晶体的晶格常数a,每个原子的内聚能 支 及体积弹性N模量Bm若对Xe晶体施加压力P 6 108N/m2。试在近似假定体积弹性模量不变的情况下,计算这些晶体的品格常数a将变为多少？并求这时的内聚能即将变为多少?解：原子间的平衡间距为 ：r0 1.091.09 0.398nm 0.434nm因结构为立方晶体，则晶格常数为:2ra 0.614nm:2每个原子的内聚能为：匕 8.6N8.6 0.020.172eV体积弹性模量：Bm 753 75930.02 (0.398 10

10、)1.61910X109 N/m2由体积弹性模量的定义式可知：Bm V()tVBmVdVV。BmlnVV0因为：V N r3r故 P 3Bmln%晶格常数 a -、2r 0.583nm/ -1.09内聚能 UDA8.6 Bm? 0.149N2A275AfV*弟二早1 .一维单原子晶格，在简谐近似下，考虑每一原子与其余所有原子都有作用，求格波的色散关系。解：设第n个原子的势能函数为其中，m为与第n个原子的相距ma的原子间的恢复力常数，a为晶格常数。则，第n个原 子的受力为其中，利用了 m m。第n个原子的运动方程为令其试解为代入运动方程得故，2 .聚乙烯链JU CH CH CH CH |的伸张振

11、动，可以采用一维双原子链模型来描 述，原胞两原子质量均为M，但每个原子与左右的力常数分别为1和2 ,原子链的周期为a。证明振动频率为解：单键及双键的长分别为口和b2,而原子（n,1）与（n, 2）的运动方程分别为令这两个方程的试解为把试解代入运动方程得有非零解的条件为解得利用b1b2a,方程的解为晶体中的衍射1 .试证明面心立方与体心立方互为正倒格子。方法1：(D面心立方：aii(jk)a22(ki)a3a,.-(ij)2由正格子和倒格子的转换关系其中:在体心立方中(2)由（2）式可得2a2a2a(j k)(k I)(if j)(5)比较（1）与（5）, （3）与（4）便可得面心立方与体心立方

12、互为正，倒格子。方法2:由方法一中的（1）可知正格子与倒格子之间存在如下关系:由此可得面心立方的倒格子基矢:同理可得体心立方的倒格子基矢:a2a 2_ a2k)I)1)比较可得面心立方和体心立方互为正倒格子。2 . a,b,c为简单正交格子的基矢，试证明晶面族，h卜i）的晶面间距为解:abc由 Pi9（2.2.7）知可得:3.再由P22中和dhkl的关系:以2 /dhkl可得:d hkl/（a）2（k）2（c）2设一二维格子的基矢a1 0.125nm, a2（a）2（4）2 g）2 得证。O.250nm , a1与a2夹角a=120，试画出第一与第b二布里渊区。二维倒格子基矢5,6与正格子基矢

13、间有如下关系:解:令aia,则 a1ai中间矩形为第一布里渊区，阴影部分为第二布里渊区。品格振动和晶体的热学性质1,求一维单原子链的振动模式密度 g，若格波的色散可以忽略，其 g具有什么形式，比较这两者的g 曲线。解：1 一维单原子链的晶格振动的色散关系为c qasin 2其中,此函数为偶函数，只考虑q 0的情况，下式右边乘2。8 d区间振动模式数目为其中，grad - dqqa a 2 mcosm22故色散关系为其中，l为单链总长,a为品格常数,因此,N为原子个数。2若格波没有色散,既只有一个e （爱因斯坦模型）。而且振动模式密度函g 数满足卜面关系故，g 为函数g()g( )=2N(I2)

14、-1/2/g( )=N (J3.5g cm 3。试估算它的彳惠拜1 2色散关系的曲线图如下:4 .金刚石（碳原子量为12）的杨氏模量为1012N m2,密度温度d 解：德拜温度为1_将D6-N- 3 Vs, Vs 口,代入上式5 .试用德拜模型求晶体中各声频支格波的零点振动能。1一 ，一 ,6 2N 弓 ，解：在德拜模型中，纵波与横波的最大振动频率均为d6 Vs，其中1112V3 3 V3 VT。纵波的零点振动能为同理，两支横波的零点振动能均为故，总的零点振动能为7. Na和Cl的原子量分别为23和37。氯化钠立方晶胞边长为0.56nm ,在100方向可以 看作是一组平行的离子链。离子间距d

15、0.28nm。NaCl晶体的杨氏模量为5 1010N m 2 ,如果全放射的光频率与q 0的光频模频率相等，求对应的光波波长（实 验值为61 m）0解：在一维双原子链模型中，q 0时，光频模频率为杨氏模量为故，光波波长为金属电子论1.导出一维和二维自由电子气的能态密度解：一维情形由电子的Schr?dinger方程:得自由电子波函数解:dz 2 -Ldk -dk2兀 冗L .2m dE一 2.E且有：E2m由周期性边界条件：(x L) (x)得:在k amE/力到k dk区间:那么：dZ Lgi(E)dE,其中:gi(E)维情形同上，由电子的Schr?dinger方程:得自由电子波函数解：(r) teikrSL2且：E(k)用2m由周期性边界条件:2自：kx- nx,ky2冗L ny在k ，2mE/力到k dk区间:那么：dZ Sg2(E)dE其中：g2（E）m2. HS是费米子，液体H在绝对零度附近的密度为g/cm3。计算它的费米能Ef和费米温 度Tfo解：He3的数密度：其中m是单个He3粒子的质量。可得：代入数据，可以算得：& =X10-23 J= x 10 4 eV.则：Tf EF = K