向量代数与空间解析几何

1、第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 1 【向量代数与空间解析几何】习题课【向量代数与空间解析几何】习题课 一、主要内容一、主要内容 二、典型例题分析二、典型例题分析 微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 2 一、主要内容一、主要内容 微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 3 1、向量代数、向量代数 (1) 向量的概念向量的概念 向量向量 向量的模向量的模 单位向量单位向量 零向量零向量 自由向量自由向量 相等向量相等向量 负向量负向量 平行向量平行向量 向径向径. (2) 向量的线性运算向量的线性运

2、算 加减法加减法 数乘数乘. (3) 向量的表示法向量的表示法 向量的分解式向量的分解式 在三个坐标轴上的分向量在三个坐标轴上的分向量 微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 4 向量的坐标表示式向量的坐标表示式 向量的坐标向量的坐标 向量模的坐标表示式向量模的坐标表示式 与方向余弦的坐标表示式与方向余弦的坐标表示式. (4) 数量积、向量积、混合积数量积、向量积、混合积 数量积、向量积、混合积的坐标表示式数量积、向量积、混合积的坐标表示式 两向量平行、垂直的条件两向量平行、垂直的条件. 微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何

3、 5 2、空间解析几何、空间解析几何 (1) 空间直角坐标系空间直角坐标系 (2) 曲面曲面 旋转曲面旋转曲面 柱面柱面 二次曲面二次曲面. (3) 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程 ? ?x? ?x(t)? ? ?y? ?y(t);? ?z? ?z(t)? ? ?F(x,y,z)? ?0,? ? ?G(x,y,z)? ?0微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 6 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 ? ?H(x,y)? ?0,? ? ?z? ?0? ?R(y,z)? ?0,? ? ?x

4、? ?0? ?T(x,z)? ?0.? ? ?y? ?0(4) 平面及其方程平面及其方程 ? ? ?平面的方程平面的方程 ? ?一般方程一般方程. ? ? ?截距式方程截距式方程. 微积分微积分 点法式方程点法式方程. 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 7 (5) 空间直线及其方程空间直线及其方程 空间直线的方程空间直线的方程 ? ? ? ?对称式方程对称式方程. ? ? ?参数方程参数方程. 一般方程一般方程. 线面关系线面关系 线线关系线线关系 夹角夹角 点到线面的距离点到线面的距离 两直线共面的条件两直线共面的条件. 微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解

5、析几何向量代数与空间解析几何 8 二、典型例题分析二、典型例题分析 微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 9 题型题型 1 向量的运算向量的运算 (1) 利用向量的运算求其他向量利用向量的运算求其他向量 (如例如例 1 3); (2 ) 利用向量的运算求极限利用向量的运算求极限 (如例如例 4); (3 ) 利用向量的运算解答几何问题利用向量的运算解答几何问题 (如例如例 5 8). 微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 10 ?a? ?ib? ?j? ?2 k c? ?2 i? ?2j? ?k 例例 1 已知向量已知向量

6、 , , , ?a求一单位向量求一单位向量 , 、? ?使使 , ? ? ?c 且且 ? ?、b 共面共面. ?解解 设设 ? ? ?(x,y,z),则由题设得则由题设得 ? ?|? ?| ? ?1? ? ? ? ?c.? ? ? ?a? ?b? ?ijk? a? ?b? ?1 00? ? 2j ? ? k,0 1? ?2微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 11 ? ?x? ?y? ?z? ?1? ? ? ?2x? ?2y? ?z? ?0,? ?2y? ?z? ?0? ?222212解得解得 x? ? ? ?, y? ? ? ?,z ? ?,333?2 1

7、2? ? ? ? ? ?( ,? ?).3 33微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 12 ?(a? ?3 b)? ?(7 a? ?5 b) (a? ?4 b)? ?(7 a? ?2 b)求求 例例 2 设设 , , ? a与与 b的夹角的夹角. ?解解 ? (a? ?3 b)? ?(7 a? ?5 b), (a? ?4 b)? ?(7 a? ?2 b),? ?(a? ?3 b)? ?(7 a? ?5 b)? ?0 , (a? ?4 b)? ?(7 a? ?2 b)? ?0 ,?2?2?即即 7|a|? ?16 a? ?b? ?15 |b|? ?0 ,?2?

8、2?7|a|? ?30 a? ?b? ?8|b|? ?0 .?2?两式相减两式相减, 得得 46 a? ?b? ?23 |b| ,?1?2? ?a? ?b? ?|b| .2微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 13 ?代入上式代入上式, 得得 |a| ? ? |b|,?1?2? ?|b|a? ?b?12? ?cos(a,b)? ? ? ?,|a|b|b|b|2? ?从而从而 (a,b)? ?.3微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 14 ? 例例 3 已知向量已知向量 , , , a? ?(2 ,? ?3 ,1 )b ?

9、?(1 ,? ?2 ,3 ) c? ?(2 ,1 ,2 )?求与求与 , ab同时垂直且在同时垂直且在 c上的投影为上的投影为 1 的向量的向量 . v?解解 ? v同时垂直于同时垂直于 a,b,? ?v/ a? ?b.?由两向量平行的条件由两向量平行的条件, 得得 v? ?t(a? ?b).?ijk?而而 a? ?b? ?2? ?3 1? ? ? ?7i? ?5j? ?k,1? ?2 3? ?(? ?7 t,? ?5 t,? ?t),? ?v? ?t(a? ?b)微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 15 ? ?v? ?c? ? ? ?14 t? ?5 t

10、? ?2 t? ? ? ?21 t.? ?v? ?c?v? ? Pr jc? ?1 ,|c |? ? ?21 t2? ?1? ?2222? ?1 ,5 1?所求向量为所求向量为 v ? ?(1 , ).7 71解得解得 t ? ? ? ?,7微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 16 ?|a? ?xb|? ?|a? ?xb|?lim (|a| ? ?0 )例例 4 求极限求极限 . x? ?0 x?2?2?|a? ?xb|? ?|a? ?xb|a? ?xb|? ?|a? ?xb|解解 lim? ?lim?x? ?0 x? ?0 x(|a? ?xb|? ?|a

11、? ?xb|)x?(a? ?xb)? ?(a? ?xb)? ?(a? ?xb)? ?(a? ?xb)? ?lim?x? ?0 x(|a? ?xb|? ?|a? ?xb|)?4xa? ?b? ?lim?x? ?0 x(|a? ?xb|? ?|a? ?xb|)?2 a? ?b? ?.|a|微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 17 ? ?| p| ? ?2 |q| ? ?3 (p,q)? ?a ? ? 例例 5 设设 , , , 求以向量求以向量 3?2p? ?qb? ?p? ? 3q为邻边的平行四边形的对角线的长为邻边的平行四边形的对角线的长. , 解解 由向

12、量加减法的平行四边形法则由向量加减法的平行四边形法则, 平行四边形平行四边形 ?a? ?ba? ?b与与 , 的对角线向量为的对角线向量为 ?|a? ?b|a? ?b |与与 , 所求对角线的长为所求对角线的长为 ? ? |a? ?b| ? ? |(2p? ?q)? ?(p? ?3 q)|? ? |3p? ?2 q|? ? (3p? ?2 q)? ?(3p? ?2 q)?2? ?2? ? 9| p|? ?12 p? ?q? ?4|q|微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 218 2? ? 9? ?2? ?12? ?2? ?3cos? ?4? ?3? ? 6

13、3,3?2? ?2?同理同理 |a? ?b| ? ? | p? ?4 q|? ? | p|? ?8p? ?q? ?16 |q|? ? 2 31 .微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 19 ?ADB? ?, 例例 6 已知向量已知向量 , , AB? ?a AC? ?b? ?2?|a? ?b|a? ?b|?2(1) 求证求证 S? ?ADB? ?;2|b|?(2) 当当 a与与 b的夹角的夹角 为何值时为何值时ADB 的面积最大的面积最大? 解解 (1) S? ?ADB1? ?|AD|BD|21 ? ?|a|cos? ? ?|a|sin? ?21 ?2? ?

14、|a| sin? ?cos? ?.2A B ? ?D C 微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 20 ? |a? ?b| ? ? |a|b|cos? ?,|a? ? b| ? ? |a|b|sin? ?,?|a? ?b|a? ?b|? ?cos? ? ? , sin? ? ? ,|a|b|a|b|?1 ?2|a? ?b| |a? ?b|a? ?b|a? ?b|? ?S? ?ADB? ?|a|? ? ? ? ? ? ?2 .2|a|b| |a|b|2|b|1 ?21 ?2(2) ? S? ? ADB? ?|a| sin? ?cos? ? ?|a| sin2?

15、?,42? ? ?时时, ADB 的面积最大的面积最大. 当当 , sin2? ? ?1 即即 4微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 21 ?|a|b ? ?|b|a?和向量和向量 c? ? 例例 7 证明向量证明向量 a与与 b的夹的夹 ?|a| ? ?|b|角平分线向量共线角平分线向量共线. ?证明证明 设向量设向量 a与与 b的夹角的夹角 ?b?平分线向量为平分线向量为 , d则则 ?e?b?dab? ?e? ? ?d? ?ea?b?aea|a| |b| ?|a|b ? ?|b|a? ?|a| |b|微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何

16、向量代数与空间解析几何 22 ?|a| ? ?|b| |a|b ? ?|b|a|a| ? ?|b|? ? ? ?c.|a| |b|a| ? ?|b|a| |b|?|a| ? ?|b|?表示一个数表示一个数, |a| |b|?向量向量 c与与 d共线共线, ?即向量即向量 c和和 a与与 b的夹角平分线向量共线的夹角平分线向量共线. 微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 23 例例 8 设设 D, E, F 分别为分别为 ABC 各边的中点各边的中点, AD, BE, CF 为各边的中线为各边的中线, 这三条中线交于这三条中线交于G, 求证求证: C CG?

17、?2 GF .1证明证明 ?CF? ?(CA? ?CB),2E CG? ? ?CF? ? ?2D G F B (CA? ?CB),A GA? ? ?DA1? ? ?(? ?CB? ?CA),2微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 24 1CA? ?CG? ?GA ? ?(CA? ?CB)? ? ?(? ?CB? ?CA)22? ? ? ? ?(? ? ?)CA? ?(? ?)CB? ?0.222 CA与与 CB不共线不共线, ? ? ? ? ? ?0? ? ? 2? ? ?,? ? ? ? ? ?0? ? ?22? ?2解得解得 ? ? ? ? ?,32因此

18、因此 CG? ?CF ,即即 CG? ?2 GF .3微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 25 题型题型 2 求平面的方程求平面的方程 (1) 利用点法式求平面的方程利用点法式求平面的方程 (如例如例 1); (2) 利用一般式求平面的方程利用一般式求平面的方程 (如例如例 2); (3) 利用平面束求平面的方程利用平面束求平面的方程 (如例如例 3); (4) 利用轨迹法求平面的方程利用轨迹法求平面的方程 (如例如例 4). 微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 26 ?a? ?(1 ,? ?1 ,2 )和和 例例 1

19、 求过点求过点 (1, 0, 2) 且平行于向量且平行于向量 ?b ? ?(2 ,1 ,0)的平面的方程的平面的方程. ?解解 所求平面平行于向量所求平面平行于向量 a ? ?(1 ,? ?1 ,2 ),b ? ?(2 ,1 ,0 ),可取所求平面的法线向量为可取所求平面的法线向量为 ?ijk?n? ?a? ?b? ?1? ?1 2? ? ? ?2 i? ?4j? ?3 k,210由平面的点法式方程由平面的点法式方程, 得所求平面的方程为得所求平面的方程为 ? ?2 (x? ?1 )? ?4 (y? ?0 )? ?3 (z? ?2 )? ?0 ,即即 2x? ?4y? ?3z? ?4? ?0

20、.微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 27 例例 2 设一平面垂直于平面设一平面垂直于平面 z = 0, 并通过从点并通过从点 (1, ? ?y? ?z? ?1? ?0- -1, 1) 到直线到直线 的垂线的垂线, 求此平面的方程求此平面的方程. ? ? ?x? ?0解解 所给直线的方向向量为所给直线的方向向量为 ?ijk?s? ?n1? ?n2? ?0 1? ?1? ? ? ?j? ?k.1 00?s ? ?(0 ,? ?1 ,? ?1 )为法线向量的为法线向量的 过点过点 (1, - -1, 1) 且以且以 平面方程为平面方程为 0? ?(x? ?1

21、)? ?1? ?(y? ?1 )? ?1? ?(z? ?1 )? ?0 ,微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 28 即即 y? ?z? ?0 .? ?y? ?z? ?1? ?01 1? ?由方程组由方程组 ? ?x? ?0解得垂足为解得垂足为 (0 ,? ?, ).2 2? ?y? ?z? ?0? ?所求平面垂直于平面所求平面垂直于平面 z = 0, 可设所求平面的方程为可设所求平面的方程为 Ax? ?By? ?D? ?0 .1 1(0 ,? ?, ).又所求平面过点又所求平面过点 (1, - -1, 1) 及垂足及垂足 2 2? ?A? ?B? ?D?

22、?0? ? ? ?1,? ?B? ?D? ?0? ? ?2微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 29 解得解得 B = 2 D, A = D, 所求平面的方程为所求平面的方程为 Dx? ?2Dy? ?D? ?0 ,即即 x? ?2y? ?1? ?0 .微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 30 ? ?x? ?5y? ?z? ?0 例例 3 求过直线求过直线 且与平面且与平面 x - - 4y ? ?x? ?z? ?4? ?0? ?8 z + 12 = 0 成成 角的平面方程角的平面方程. 4解解 设过所给直线的平面束方程为

23、设过所给直线的平面束方程为 x? ?5y? ?z? ? ?(x? ?z? ?4 )? ?0 ,即即 (1? ? ?)x? ?5y? ?(1? ? ?)z? ?4? ? ?0 .所求平面与已知平面的夹角为所求平面与已知平面的夹角为 ,4(1? ? ?)? ?1? ?5? ?(? ?4 )? ?(1? ? ?)? ?(? ?8 )? ?cos? ?,22222241? ?(? ?4 )? ?(? ?8 )(1? ? ?)? ?5? ?(1? ? ?)微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 31 3解得解得 ? ? ? ? ?,4所求平面的方程为所求平面的方程为 3

24、x? ?5y? ?z? ?(x? ?z? ?4)? ?0 ,4即即 x? ?20 y? ?7z? ?12? ?0 .微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 32 x? ?3y? ?2z? ?5? ?0和和 3x? ?2y? ?z? ?3? ?0 例例 4 求平面求平面 的夹角的平分面的方程的夹角的平分面的方程. 解解 设设 M (x, y, z) 为角平分面上的任一点为角平分面上的任一点, 则有则有 |x? ?3y? ?2z? ?5|1? ?(? ?3 )? ?2222? ?|3x? ?2y? ?z? ?3|1? ?(? ?3 )? ?2222,即即 x? ?

25、3y? ?2z? ?5? ? ? ?(3x? ?2y? ?z? ?3),所求角平分面的方程为所求角平分面的方程为 2x? ?y? ?3z? ?8? ?0 或或 4x? ?5y? ?z? ?2? ?0 .微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 33 题型题型 3 求空间直线的方程求空间直线的方程 (1) 利用对称式求直线的方程利用对称式求直线的方程 (如例如例 1 2); (2) 利用一般式求直线的方程利用一般式求直线的方程 (如例如例 5(1); (3) 求点到平面的距离求点到平面的距离 (如例如例 3); (4) 求点到直线的距离求点到直线的距离 (如例如例

26、 4); (5) 求两异面直线间的距离求两异面直线间的距离 (如例如例 5(2). 微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 34 ? ?y? ?2x例例 1 求过点求过点 M0 (1, 1, 1) 且与直线且与直线 L1: ? ?,? ?z? ?x? ?1? ?y? ?3x? ?4L2: ? ?都相交的直线都相交的直线 L 的方程的方程. ? ?z? ?2x? ?1解解 将两已知直线方程化为参数方程将两已知直线方程化为参数方程, 得得 ? ?x? ?t? ?L1:? ?y? ?2 t ,? ?z? ?t? ?1? ? ?x? ?t? ?L2:? ?y? ?3t

27、? ?4.? ?z? ?2t? ?1? ?L1M1L2M0M2L 设所求直线设所求直线 L 与与 L1, L2 的交点为的交点为 M1 (t1, 2 t1, t1 - - 1), M2 ( t2, 3 t2 - - 4, 2 t1 - - 1), 微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 35 M0 , M1, M2 三点共线三点共线, ? ?M0M1? ? ?M0M2(为实数为实数), t1? ?12 t1? ?1(t1? ?1 )? ?1? ? ?,即即 t2? ?1(3 t2? ?4 )? ?1(2 t2? ?1 )? ?1解得解得 t1 = 0, t2

28、= 2, 直线直线 L 与与 L1, L2 的交点为的交点为 M1 (0, 0, - -1), M2 (2, 2, 3). 点点 M0 (1, 1, 1), M2 (2, 2, 3) 都在直线都在直线 L 上上, x? ?1y? ?1z? ?1? ? ?.所求直线所求直线 L 的方程为的方程为 112微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 36 例例 2 求过点求过点 (- -1, 0, 4) 且平行于平面且平行于平面 3 x 4 y + z x? ?1y? ?3z? ? ?相交的直线的方程相交的直线的方程. 10 = 0 又与直线又与直线 112x? ?1y

29、z? ?4? ? ?,解解 设所求直线的方程为设所求直线的方程为 mnp? ?x? ? ? ?1? ?mt? ?.则其参数方程为则其参数方程为 ? ?y? ?nt? ?z? ?4? ?pt? ?mtnt? ?34? ?pt? ? ?,代入所给直线的方程代入所给直线的方程, 得得 112 (1 )? ?mt? ?nt? ?3 , pt ? ?2 nt? ? 10. 微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 37 所求直线与已知平面平行所求直线与已知平面平行, ? ?s? ?n,即即 3 m? ?4n? ?p? ?0 , (2)两边同乘以两边同乘以 t, 得得 3

30、mt? ?4 nt? ?pt? ?0 , 由由 (1)、(1) 解得解得 mt = 16, nt = 19, pt = 28, x? ?1yz? ?4? ? ?.所求直线的方程为所求直线的方程为 161928微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 38 例例 3 求两平行平面求两平行平面 Ax? ?By? ?Cz? ?D1? ?0与与 Ax? ?By? ?Cz? ?D2? ?0之间的距离之间的距离. 解解 设设 P0 (x0, y0, z0) 为平面为平面 Ax? ?By? ?Cz? ?D1? ?0上一点上一点, 则有则有 Ax0? ?By0? ?Cz0? ?

31、D1? ?0 . 两平行平面之间的距离就是一个平面上任一点两平行平面之间的距离就是一个平面上任一点 到另一个平面的距离到另一个平面的距离, ? ?d? ?微积分微积分 |Ax0? ?By0? ?Cz0? ?D2|A? ?B? ?C222? ?|D2? ?D1|A? ?B? ?C222.第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 39 例例 4 求点求点 M (1, 1, 4) 到直线到直线 的距离的距离. x? ?2y? ?3z? ?4L: ? ? ?112解法解法 1 设点设点 M (1, 1, 4) 到直线到直线 L 的距离为的距离为 d. 由图可知由图可知, 点点 M 到

32、直线到直线 L 的距的距 M离等于平行四边形的高离等于平行四边形的高. 由向量积的几何意义由向量积的几何意义, 得得 d?sL?|M0M? ?s | ? ? |s |d,微积分微积分 M0第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 40 ?|M0M? ?s |? ?d? ? .? |s |? s ? ?(1 ,1 ,2 ),?M0M? ?s? ? ? ?1? ?2 0? ? ? ?4 i? ?2j? ?k,112?i?j?k? ? d ? ?(? ?4 )? ?2? ?1 1? ?1? ?222222214 ? ? . 2微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代

33、数与空间解析几何 41 解法解法 2 过点过点 M (1, 1, 4) 且垂直于直线且垂直于直线 L 的平面的平面 为为 (x? ?1 )? ?(y? ?1 )? ?2 (z? ?4 )? ?0 .? ? ?x? ?2? ?t? ?所给直线的参数方程为所给直线的参数方程为 ? ?y? ?3? ?t .? ?z? ?4? ?2 t? ?1代入平面代入平面 的方程的方程, 得得 t? ? ? ?,23 5直线直线 L 与平面与平面 的交点坐标为的交点坐标为 N(,3 ),2 23252142? ? d ? ?(1? ?)? ?(1? ?)? ?(4? ?3) ? ? .22 2微积分微积分 MNL

34、第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 42 x? ?1yz? ?1x? ?2y? ?1zL1: ? ? ?L2: ? ? ? 例例 5 设设 与与 121? ?201为异面直线为异面直线, 求求: (1) L1与与 L2 的公垂线方程的公垂线方程; (2) L1与与 L2 的距离的距离. 解解 (1) 由题意知由题意知, L1与与 L2 的公垂线的方向向量可取的公垂线的方向向量可取 ?ijk?s? ?s1? ?s2? ?12 1? ?2 i? ?3j? ?4k.? ?2 0 1微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 43 L1 与公垂线所

35、确定平面与公垂线所确定平面1的法线向量可取为的法线向量可取为 ?ijk?n1? ?s1? ?(s1? ?s2)? ?121? ?11 i? ?2j? ?7 k,2? ?3 4过点过点 (1, 0, - -1) 的平面的平面1的方程为的方程为 11 (x? ?1 )? ?2 (y? ?0)? ?7 (z? ?1 )? ?0 ,即即 11 x? ?2y? ?7z? ?18? ?0 .同理同理, L2 与公垂线所确定平面与公垂线所确定平面2 的法线向量可取为的法线向量可取为 微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 44 ?n2? ?s2? ?(s1? ?s2)? ?

36、 ? ?201? ?3 i? ?10 j? ?6 k,2? ?3 4?i?j?k过点过点 (- -2, 1, 0) 的平面的平面2 的方程为的方程为 3 (x? ?2)? ?10 (y? ?1 )? ?6 (z? ?0 )? ?0 ,即即 3x? ?10 y? ?6z? ?4? ?0 , L1与与 L2 的公垂线的方程为的公垂线的方程为 ? ?11 x? ?2y? ?7z? ?18? ?0.? ? ?3x? ?10 y? ?6z? ?4? ?0微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 45 (2) 解法解法 1 M1 (1, 0, - -1)L1, M2 (-

37、-2, 1, 0)L2, M1M2在公垂在公垂 向量向量 线上的投影的绝对值就是线上的投影的绝对值就是 L1与与 L2 的距离的距离 d. NM1L1 ? M1M2? ?(? ?3 ,1 ,1 ),?M M |? ?d? ? |Pr js12L2M2M?|s? ?M1M2|? ?3? ?2? ?1? ?(? ?3 )? ?1? ?4|5? ? ? ? ? ? .?222|s |292? ?(? ?3 )? ?4微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 46 解法解法 2 过过 L1且平行于且平行于 L2 的平面的平面 的程为的程为 2 (x? ?1 )? ?3

38、(y? ?0 )? ?4 (z? ?1 )? ?0 ,即即 2x? ?3y? ?4z? ?2? ?0 . L1与与 L2 的距离的距离 d 就是点就是点 M2 (- -2, 1, 0) 到平面到平面 的距离的距离, 5|2? ?(? ?2 )? ?3? ?1? ?4? ?0? ?2| .? ? d ? ? ? ?222292? ?(? ?3)? ?4微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 47 题型题型 4 求空间曲面方程与投影曲线方程求空间曲面方程与投影曲线方程 (1) 求空间曲面的方程求空间曲面的方程 (如例如例 1 3); (2) 求空间曲线在坐标面上的

39、投影求空间曲线在坐标面上的投影 (如例如例 4). 微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 48 例例 1 求内切于平面求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所与三个坐标面所 构成四面体的球面方程构成四面体的球面方程 . 解解 设球心为设球心为 M0(x0, y0, z0), 则它位于第一卦限则它位于第一卦限, 且且 zx0? ?y0? ?z0? ?R.?R? ? ?|x0? ?y0? ?z0? ?1|1? ?1? ?1222222OM0y,x|x0? ?y0? ?z0? ?1|1? ?1? ?1? ?x0? ?y0? ?z0.微积分微积分 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 49 ?x0? ?y0? ?z0? ?1,? ?1? ?3x0? ?3x0,同理同理 因此所求球面方程为因此所求球面方程为 微积分微积分 第七章第七章 向量代数