圆锥曲线知识点汇总精讲

1、圆锥曲线与方程知识点汇总 2.1 2.1 椭圆椭圆 1、椭圆的定义、椭圆的定义： F1M F2 平面内到平面内到两两个定点个定点F1、F2的距离之的距离之和和等于等于常数常数（大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做椭圆椭圆。 这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的 焦点焦点，两焦点间的距离，两焦点间的距离叫做椭圆的叫做椭圆的焦距焦距。 椭圆形成演示椭圆形成演示MFMF1 1? MFMF2 2? 2a2a椭圆定义椭圆定义.gsp F1F2? 2c2 a?2 c?0时,为椭圆满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？ (1)平面上平面上-这是大前提这是大

2、前提 ?(2)动点动点 M 到两个定点到两个定点 F1、F2 的距离之和的距离之和是常数是常数 2a ?(3)常数常数 2a 要大于焦距要大于焦距 2c ?MF?MF?2a?2c124 定定 义义 平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等 于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹 y P y F2 2 x O 不不同同点点图图 形形 F1 1 O F2 2 P x F1 1 22标准方程标准方程 焦点坐标焦点坐标 相相a、b、c 的关系的关系 同同焦点位置的判断焦点位置的判断 点点 xy+2=1 ?a b 0?2abF1?- c , 0?，F2?c ,

3、 0?22xy+2=1 ?a b 0?2baF1?0?,?-c?，F2?0?,?c?a2-c2=b2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上 典例分析典例分析 求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程 （1）首先要）首先要判断判断类型，类型， （2）用）用待定系数法待定系数法求求 a,b222a =b +c 例例1椭圆的两个焦点的坐标分别是（椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0） （4，0），椭圆上一点），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10， 求椭圆的标准方程。求椭圆的标准方程。 解：解： 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上 . x2y2 设它的标准方程为设它的标

4、准方程为 : 2?2?1 (a?b?0 )aby M F1 2 a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9 o F2 x xy?1所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为 25922例例2.2.已知椭圆的两个焦点坐标分别为（已知椭圆的两个焦点坐标分别为（- - 2 2，0 0），），5 53 3（2 2，0 0）并且经过点（）并且经过点（， - -），求它的标准方程），求它的标准方程. .2 22 2解解 : :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上，所以设它的标准方程为轴上，所以设它的标准方程为x xy y+ +=1(a=1(a b b 0).0).a ab b

5、2 22 22 22 2由椭圆的定义知由椭圆的定义知2a2a = =?5 5?3 3?+ + 2 2?+ +?- -?+ +?2 2?2 2?2 22 22 2?5 5?3 3?- - 2 2?+ +?- -?= = 2 21010?2 2?2 2?2 22 22 22 2所以所以 a a = =10.10.又因为又因为c c = = 2,2, 所以所以 b b= = a a- - c c=10=10- - 4 4 = = 6.6.因此，所求椭圆的标准方程为因此，所求椭圆的标准方程为x xy y+ +=1.=1.10106 62 22 22 22 21 1 1 11 1变式引申：求焦点在变式引

6、申：求焦点在 y y轴上，且经过点轴上，且经过点A(A(, ,) )、B(0,-B(0,-) )的的3 3 3 32 2椭圆的标准方程椭圆的标准方程 . .y yx x解：设所求椭圆的方程为解：设所求椭圆的方程为+ += = 1,1,a ab b1 11 11 1将将 A(A(, ,), ), B(0,B(0,- -) )代入得：代入得：3 33 32 22 2?1 1?2 21 1?3 3?+ +?3 3?= = 1 1?a a2 2b b2 2, ,?1 1?2 2? ?- -?2 2?= = 1 1?a a2 21 1?2 2a a= =, ,?4 4解得：解得：?b b2 2= =1

7、1. .?5 5?y yx x故所求椭圆的标准方程为故所求椭圆的标准方程为+ += = 1.1.1 11 14 45 52 22 22 22 22 22 2？思考一个问题思考一个问题:把把“焦点在焦点在y轴上轴上”这句话去掉，怎么办？这句话去掉，怎么办？ 求曲线方程的方法：求曲线方程的方法： 定义法定义法：如果所给几何条件正好符合某一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可直接利用定义写出动点的轨迹方程. 待定系数法待定系数法：所求曲线方程的类型已知，则可以设出所求曲线的方程，然后根据条件求出系数.用待定系数法求椭圆方程时，要“先定型，再定量”. 2、椭圆的简单几何性质、椭圆的简单几何性质： 标准

8、方程标准方程 图象图象 范围范围 对称性对称性 xy?2?1(a?b?0)2aby P 22x2y2?2?1(a?b?0)2bay F2 2 F1 1 O x - axa, - byb (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) F2 2 P O x F1 1 - bxb, - aya 对称轴为对称轴为x轴、轴、y轴；对称中心为原点轴；对称中心为原点 (b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a) 顶点坐标顶点坐标 焦点坐标焦点坐标 半轴长半轴长 (c,0)、(-c,0) (0 , c)、(0, -c) 离心率离心率 a a、b b、c c的关的关系系 长轴长为长轴长为2 a,短轴

9、长为短轴长为2 b. 焦距为焦距为2c ce? (0e1) a222 c =a -b 椭圆离心率的取值范围？离心率变椭圆离心率的取值范围？离心率变 化对椭圆的扁平程度有什么影响？化对椭圆的扁平程度有什么影响？ e(0(0，1).1). e越接近于越接近于0，椭圆越圆；，椭圆越圆； e越接近于越接近于1 1，椭圆越扁，椭圆越扁. . 2.2 2.2 双曲线双曲线 1、双曲线的定义、双曲线的定义： 平面内平面内与两个定点与两个定点F1，F2的距离的差的距离的差的绝对值的绝对值等于常数等于常数（小于（小于F1F2)的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做双曲线双曲线. | |MF1| - |MF2| | = 2

10、a 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=2 c 焦距焦距. 说明说明 思考：思考： （1）2a0 ； F 1 M o F 2 （1）若）若2a=2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？ ( (1) )两条射线两条射线 （2）若）若2a2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？ ( (2) )不表示任何轨迹不表示任何轨迹 （3）若）若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？ (3)(3)线段线段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线 定定 义义 平面内平面内与两个定点与两个定点F1，F2的距离的差的距离的差的绝对值的绝对值等于常数等于常数（小于（小于F1F2)的点的轨迹

11、叫做的点的轨迹叫做双曲线双曲线. y M M y Fx O 2F1 不不同同点点图图 形形 O F x F 1 2 2222 标准方程标准方程 焦点坐标焦点坐标 相相a、b、c 的关系的关系 同同焦点位置的判断焦点位置的判断 点点 xyyx?2?1( a?0, b?0)2?2?1( a?0, b?0)2ababF1?- c , 0?，F2?c , 0?F1?0?,?-c?，F2?0?,?c?c2=a2+b2 22看看 x , y前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上 典例分析典例分析 ( (参考课本参考课本P5858 例例 ) ) 已已 知知 两两 定定 点点

12、 F1(? ?5,0), , F2(5,0), , 动动 点点P满满 足足PF1? ?PF2? ? 6, , 求动点求动点P的轨迹方程的轨迹方程. . 解：解： F1F2? ? 10 6, PF1? ?PF2? ? 6 由双曲线的定义可知，点由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线的轨迹是一条双曲线, , 焦点为焦点为 F1(? ?5,0), F2(5,0) xy可设所求方程为可设所求方程为: :2? ?2? ?1 ( (a0,0,b0). 0). ab2 2a=6,2=6,2c=10,=10,a=3,=3,c=5. =5. 22xy? ? ?1. . 所以点所以点 P 的轨迹方程为的轨

13、迹方程为916222、双曲线的简单几何性质、双曲线的简单几何性质： 双双曲曲线线2性性质质 图象图象 y 对称对称 渐近渐近 离心离心 范围范围 顶点顶点 性性 线线 率率 xy?2?12ab(a?0 ,b?0 )yx?2?12ab(a?0 ,b?0 )222x?ao x x?ay?a或 或 y? ?abc关于关于(?a,0 )y?xe?坐标坐标 aa轴和轴和 ( 其中原点原点 都对都对 222ac?a?b)称称 (0 ,?a)y?xb17 22例例1 求双曲线求双曲线 9 y -16 x =144 的实半轴长和虚半轴长、的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程焦点坐标、离心率、渐近

14、线方程 . yx? ? ?1解：把方程化为标准方程解：把方程化为标准方程 169可得实半轴长可得实半轴长a=4 ，虚半轴长，虚半轴长b=3 22焦点坐标为（焦点坐标为（0，-5 ）、（）、（0 ，5 ） 4渐渐近线方程为线方程为 y? ?x318 c5离心率离心率 e?a45 16 离心率离心率e ， ? ， 例2 已知双曲线顶点间的距已知双曲线顶点间的距离是离是4 焦点在焦点在x 轴上，中心在原点，写轴上，中心在原点，写出双曲线的方出双曲线的方 . 程，并且求出它的渐近程，并且求出它的渐近线和焦点坐标线和焦点坐标 解：解： xy? ? ?164 36223? 渐近线方程为 y? ?x4焦点F

15、1(?10 ,0),F2(10 ,0)3y? ? ? ?x它的它的思考思考:一个双曲线的渐近线的方程为一个双曲线的渐近线的方程为 : ,455或离心率为离心率为 . 4319 3.双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭椭 圆圆 定定 义义 方方 程程 双曲线双曲线 |MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 2222xyxy?2?1( a?b?0)?2?1( a?0, b?0)22abab2222yxyx?1( a?b?0)?2?1( a?0, b?0)222abab 焦焦 点点 F（c，0） F（c，0） F（0，c） a.b.c的关的关系系 F（0，c）

16、a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2 ab0，c2=a2-b2 范围范围 |x|? ?a,|y|b 对称轴：对称轴：x轴，轴，y轴轴 对称中心：原点对称中心：原点 （-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：长轴：2a 短轴：短轴：2b |x| a，y? ? R 对称轴：对称轴：x轴，轴，y轴轴 对称中心：原点对称中心：原点 对称性对称性 顶点顶点 (-a,0) (a,0) 实轴：实轴：2a 虚轴：虚轴：2b 离心率离心率 渐近线渐近线 准线准线 e = c a ( 0e 1 ) e= c (e?1) a b a x 无无 ax? ?c2 y = 21 2

17、.3 2.3 抛物线抛物线 1、抛物线的定义、抛物线的定义： 在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F)的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛抛物线物线. 点点F叫抛物线的叫抛物线的焦点焦点, Hd M C F 焦焦点点 准线准线 l 直线直线l 叫抛物线的叫抛物线的准线准线 e=1 MF? ? 1 , ,则点则点M的轨迹是抛物线的轨迹是抛物线. . 即即: :若若dd 为为 M 到到 l 的距离的距离 y?2 px2p?0是焦准距抛物线标准方程抛物线标准方程 图图 形形 l y y O 标准方程标准方程 焦点坐标焦点坐标 准线方程准线方

18、程 F F l x x y2=2px (p0) p(,0)2x? ?四种抛物四种抛物p线的对比线的对比 2y y F F O x x py2=-2px (?,0)(p0) 2x2=2py (p0) pP的意义的意义:抛物抛物x?2线的焦点到准线的焦点到准线的距离线的距离 y y F F O l x x p(0，)2p方程的特点方程的特点: y? ?2(1)左边左边是二次是二次py?2y y l O F x x px2=-2py (0， ?)(p0) 2式式, (2)右边右边是一次是一次式式;决定了决定了焦点焦点的位置的位置. 典例分析典例分析 2 （1）已知抛物线的标准方程是）已知抛物线的标准

19、方程是 y = 6 x ，求它，求它的焦点坐标及准线方程的焦点坐标及准线方程 3 焦点焦点F ( , 0 ) 2 3 准线：准线：x = 2 （2）已知抛物线的焦点坐标是）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，2），求），求2抛物线的标准方程抛物线的标准方程 x =8 y 看图 （3）已知抛物线的准线方程为）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物，求抛物2y =4 x 线的标准方程线的标准方程 看图 （4）求过点）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程）的抛物线的标准方程 9 4 22看图 y = x 或或 x = y 2 3 2、抛物线的简单几何性质、抛物线的简单几何性质： 方程 图 形 范围

20、 y2 = 2 px y2 = -2px x2 = 2 py x2 = -2py （p0） （p0） （p0） （p0） y y y y l l F l O O O F x F O x x x F l x0 yR x0 yR xR y0 xR y0 对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 顶点 离心率 （0,0） e=1 （标准方程中（标准方程中2 p的几何意义）的几何意义） 补充补充（1）通径：）通径： y 通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线， P (x0,y0)与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的两点的线段

21、叫做抛物线的 通径通径。 通径的长度通径的长度：2P O F x P越大越大,开口越开阔开口越开阔 利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。反映抛物线基本特征的草图。 （2）焦半径：）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做 抛物线的抛物线的焦半径焦半径。 焦半径公式：焦半径公式：|PF|=x 0+p/2 抛物线的基本元素 y2=2px Y 基本点：顶点，焦点基本点：顶点，焦点 基本线：准线，对称轴基本线：准线，对称轴 X 基本量：基本量：P（决定抛物线（决定抛物线开口大小）开口大小

22、） 特点特点 1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无限延伸限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线; 2y =4x2=2xy2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心; y2=x1y2= x4321-2246810-123.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; -24.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1; -3-4-55.抛物线标准方程中的抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响. P越大越大,开口越开阔开口越开阔 图图 形形 方程方程 焦点焦点 准线

23、准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴 y l e y2 = 2 px ppF (,0)x? ?（p0） 2O F x 2y l x0 yR x0 x轴轴 F O ppF (?,0 )x?（p0） 2x 2y2 = -2px yR (0,0) 1 y0 xR y轴轴 y 0 y O F l x2 = 2 py ppF (0 ,)y?22x （p0） x2 = -2py py?pF (0 ,?)O 22（p0） F x y l xR 典型例题：典型例题： 例例1.已知抛物线关于已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标轴对称，顶点在坐标原点原点,并且过点并且过点M(2, ),?2 2求它的标准方程求它的

24、标准方程. 当焦点在当焦点在x(y)轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免讨论可避免讨论 解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2 ,?2 2),所以，可设它的标准方程为y?2 Px(P?0 )2因为点M在抛物线上，所以(?2 2)?2P?2，即p?2因此，所求抛物线的标准方程是y? 4x变式变式: 顶点在坐标原点顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴对称轴是坐标轴,并且过点并且过点 22M(2, )?2 2的抛物线有几条的抛物线有几条,求它的标准方程求它的标准方程. 例例 2 2 斜率为斜率为 1 1的直线的直线l经过抛物线经过抛物线 y? ?4x的焦点的焦点 F,F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于 A A、B B 两点