人教版初中数学锐角三角函数的知识点复习

1、人教版初中数学锐角三角函数的知识点复习一、选择题1.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活 动.如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为a,大桥主架的顶端D 的仰角为B，已知测量点与大桥主架的水平距离AB = a,则此时大桥主架顶端离水面的高 CD为（）小、A. asina+asinB B. acosa+acosB C. atana+atanB D.-tan a tan p【答案】C【解析】【分析】在 RS ABD 和 RS ABC 中,由三角函数得出 BC=atana, BD=atanp,得出 CD = BC+BD = atana+atan

2、B 即可. 【详解】 , r BC BD在 R3ABD 和 R3ABC 中，AB = a, tana= , tanp=, AB ABABC=atana, BD = atan0,:.CD = BC+BD = atana+atanP，故选c.【点睛】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD是解题的关键.2.如图，AABC内接于半径为5的。0,圆心。到弦BC的距离等于3,则NA的正切值等D.3 C.一4【答案】C【解析】试题分析：如答图，过点o作OD_LBC,垂足为D,连接OB, 0C, V0B=5, 0D=3,，根据勾股定理得BD=4.: ZA=- ZBOC, ZA=ZBOD

3、.2BD 4A tanA=tanZBOD=.OD 3故选D.考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义.3.同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法 是：如图：（1）作线段AB,分别以点A, B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C；（2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D：（3）连接 BD, BC.根据以上作图过程及所作图形，卜列结论中错误的是（）A. ZABD=90° B, CA = CB = CD C. sinA= D. cosD=-22【答案】D【解析】【分析】由作法得CA=CB = CD=A

4、B,根据圆周角定理得到NABD=90。，点C是AABD的外心，根 据三角函数的定义计算出ND=30。，则NA=60。，利用特殊角的三角函数值即可得到结 论.【详解】由作法得CA=CB = CD=AB,故B正确；，点B在以AD为直径的圆上，AZABD = 90°,故 A 正确；点C是aABD的外心，在 R3ABC 中，sinZD=-AD 2AZD=30 ZA = 60°,.,.sinA=1,故 C 正确；cosD=,故 D 错误, 22故选：D.【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边 垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.也考查了

5、圆周角定理和解直角三角形.4.如图，在AABC中，AC±BC, ZABC = 30°,点D是CB延长线上的一点，且BD = BA, 则tan/DAC的值为()DD. 373A. 2+6B. 273C. 3+道【答案】A【解析】【分析】【详解】设 AC=x,在 RtzABC 中，ZABC=30°,即可得 AB=2x, BC=JJx, 所以 BD=BA=2x,即可得 CD=Qx+2x=(6+2) x,在 Rt/xACD 中，tanZDAC= = +2<)V = J3 + 2 ,AC x故选A.5.如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰

6、角为30。，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45。，则建筑物MN的高度等于()B. 8(73-l)mD. 16(布-l)m【答案】A【解析】设 MN=xm,在 RtABMN 中，: NMBN=45。,ABN=MN=x,XMN在 RtAAMN 中,tanNMAN=，ANx/ tan30o=3V3,16 + x解得：x=8(./3 +1),则建筑物MN的高度等于8(+l)m；故选A.点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪 个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的 夹角，并与三角函数相结合求边的

7、长.6.如图，从点A看一山坡上的电线杆尸。，观测点夕的仰角是45。，向前走6口到达8点，测得顶端点尸和杆底端点。的仰角分别是60。和30。，则该电线杆PQ的高度()P /: , / / /A BA. 6 + 2/ B. 6 + >/3c. 10-V3D. 8+5/3【答案】A【解析】【分析】延长PQ交直线AB于点E,设PE=x米，在直角AAPE和直角ABPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE,列出方程求得x的值，再在直角ABCIE中利用三角函数求得QE的长，则 问题求解.【详解】在直角ZkAPE 中，NA=45。,AE=PE=x；VZPBE=60°AZBPE=30°

8、; 在直角ABPE中,BE=PE=x,VAB=AE-BE=6 米,贝 lj x-巫 x=6, 3解得：x=9+3"则 BE=3 JJ+3.在直角abeq 中，qe=1be=1（373+3）=3+&.，PQ=PE-QE=9+3 3 （3+出）=6+2 3答:电线杆PQ的高度是（6+2 米.故选：A.【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题.7 .某游乐场新推出了一个极速飞车的项目.项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需 求，游客可以乘坐垂直升降电梯A8自由上下选择项目难度.其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为 i=l： 2, 8c=1275米

9、，CD=8 米, 平面内）则垂直升降电梯48的高度约为（ tan3600.73, cos36°0.81, sin36°0.59）ND=36。，（其中点48、C、。均在同一）米.（精确到。.1米，参考数据：A. 5.6【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理, 得答案.【详解】B. 6.9C. 11.4D. 13.9可得CE, 8E的长，根据正切函数，可得4E的长，再根据线段的和差，可解:如图，延长DC、AB交于点E,由斜坡轨道8c的坡度(或坡比)为/=1： 2,得BE： CE=1： 2.设 8E=xm, CE=2xm.在RSBCE中，由勾股定理，得BP+CE2 = BC2,即

10、 x2+ (2x) 2= (124) 2,解得x=12,BE=12m, CE=24m,DE=DC+CE= 8+24=32m,由 tan36°=0.73,得AB=0.73, DE解得 A8=0.73x32 = 2336m.由线段的和差，得AB=AE - 8£=2336 - 12 = 11.36= 11.4m,故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE，8E的长是解题关键，又利用了正 切函数，线段的和差.8 .如图，在矩形A3C0中，AB = 4,DE1AC,垂足为七，设/4。石=&,且20D.16一3【答案】C【解析】【分析】 根据同角的余角相

11、等求出NADE二NACD,再根据两直线平行，内错角相等可得NBAC=NACD,然后求出AC.【详解】解：DEJ_AC,AZADE+ZCAD=90°,? ZACD+ZCAD=90°,:.NACD=NADE=a,矩形ABCD的对边ABCD,AZBAC=ZACD,3AB 3cosa= - , =-，5AC 5 5 ） 20 AC= x 4 =33故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记 各性质并求出BC是解题的关键.9.在半径为1的。中，弦46、AC的长度分别是JT，J7,则的。为（）度.A. 75B. 15或30C. 75

12、或 15D. 15或45【答案】C【解析】【分析】根据题意画出草图，因为C点位置待定，所以分情况讨论求解.【详解】利用垂径定理可知：AD=B, ae = ® .22sin/AOD=, ZAOD=60°：2sin/AOE=巫，ZAOE=45°；2AZBAC=75°.当两弦共弧的时候就是15。.故选：C.【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.10.如图，在扇形0A5中，N4O8 = 120。，点夕是弧45上的一个动点（不与点A、B重合），C、。分别是弦人尸，"的中点.若C0 = 3jJ，则扇形AO5的面积为（）A. 12

13、4B. 2%C. 47rD. 244【答案】A【解析】【分析】如图，作0H_L48于H.利用三角形中位线定理求出4B的长，解直角三角形求出08即可 解决问题.【详解】解：如图作OHL48于H.VC.。分别是弦AP, 8P的中点.CD是AAPB的中位线，：.AB=2CD=6y/3 ,OH LAB,:.bh=ah=33.04 = 08, 408=120。，? NA0H=NB0H=6。,AH在 RtAAOH 中，sinZ>AOH=-,AOAH 3G , A0= sm ZAOH ，T扇形AOB的面枳为：12°尸心-=124,360故选：人【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理

14、，解直角三角形等知识，解题的关键是学会 添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.11.如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：木,堤高BC=10m,则坡面AB的长度是()A. 15mB. 20,3mC. 20m【答案】C【解析】【分析】【详解】解:口ABC 中，BC=10m, tanA=i: 4=%, 10BC 有:.AC=a/3= 10'3 m.tan/1 3D. 10,3mAAB=v71C2 + BC1 = J(10. Z + i()2 = 20m.故选C.【点睛】本题考查解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数,特殊角的三角函数值及勾股 定理，熟练掌握相关

15、知识点正确计算是本题的解题关键.12.已知圆锥的底面半径为5cm,侧面枳为6071cm2,设圆锥的母线与高的夹角为6,则【答案】C【解析】【分析】先求出圆锥底面周长可得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用扇形面枳公式s = -lr可 2求出母线的长，最后利用三角函数即可求出答案.【详解】解：圆锥底面周长为2乃乂5 = 10乃，且圆锥的侧面积为60小圆锥的母线长为二金 = 12,： sin0=. 12故选C.【点睛】本题考查了圆锥和三角函数的相关知识.利用所学知识求出圆锥母线的长是解题的关键.13.定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作5次为， 即3a伏=底边:腰.如图

16、，在AA5C中，AB = AC, ZA = 2ABsadA=()【答案】C【解析】【分析】证明4ABC是等腰直角三角形即可解决问题.【详解】解：VAB=AC,AZB=ZC,: ZA=2ZB,AZB=ZC=45 ZA=90°,在 RS ABC 中，BC=- = J2 AC,sin /B/ 1AC 6cl.sinZB®sadA=>= lzBC AC故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质三角函数等知识，解题的关键是理 解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.14.如图，基灯塔AB建在陡峭的山坡上，该山坡的坡度i = l： 0.75.小

17、明为了测得灯塔的 高度，他首先测得BC=20m,然后在C处水平向前走了 34m到达一建筑物底部E处，他在 该建筑物顶端F处测得灯塔顶端A的仰角为43。.若该建筑物EF = 20m,则灯塔AB的高度 约为(精确到 O.lm,参考数据:sin430=0.68, cos43°=0.73, tan43°=0.93)()A. 46.7mB. 46.8mC. 53.5mD. 67.8m【答案】B【解析】【分析】根据山坡的坡度i = l： 0.75,可得也=,设BD=4x, CD = 3x,然后利用勾股定理求得 CD 3BD=4x = 16m, CD = 3x=12m；再利用矩形的性质求

18、出 FG = DE=46m, BG = DG - DB =4m,最后利用三角函数解直角三角形即可.【详解】解：如图，NADC=90。，i = l： 0.75,即也 =', CD 3设 BD=4x, CD = 3x,则 BC= "(ZU,+(3x)2 =5x=20m,解得：x=4,，BD = 4x=16m, CD = 3x=12m,易得四边形DEFG是矩形，则 EF = DG = 20m, FG = DE = DC+CE = 12+34=46 (m),ABG = DG - DB=4m,在 R3AFG 中,AG = FG-tanZAFG=46-tan43°46x0.93

19、 = 42.78 (m),AB = AG+BG = 4278+4=468 (m),故选：B.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角和俯角问题、坡度坡比问题，灵活运用三角函数是解答本题的关键.15.如图，等边A6C边长为。，点。是A6C的内心，ZFOG = 120°,绕点。旋转 /FOG,分别交线段A6、BC于D、E两点,连接。E，给出下列四个结论：.ODE形状不变； 4DE的面积最小不会小于四边形ODBE的面积的四分之一；四边形005石的面枳始终不变；阳周长的最小值为1.5。.上述结论中正确的 个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】连接OB、0C,利

20、用SAS证出A0DBg（）£（：,从而得出A0DE是顶角为120。的等腰三角 形，即可判断；过点0作0H_LDE,则DH=EH,利用锐角三角函数可得0H=g 0E和 DE=73 0E,然后三角形的面枳公式可得Saode=OE2,从而得出0E最小时，Saode最 小，根据垂线段最短即可求出Saode的最小值，然后证出S pmeodbe=Saobc=Y3q2即可判断 12和；求出8。石的周长=3+。£,求出DE的最小值即可判断.【详解】解：连接OB、0CA8C是等边三角形，点。是A6C的内心，AZABC=ZACB=60o, BO=CO, BO、CO 平分NABC 和NACB:.

21、ZOBA=ZOBC=- ZABC=30°, ZOCA=ZOCB= - ZACB=30° 22:.ZOBA=ZOCB, ZBOC=180°-ZOBC- ZOCB=120°VZFOG = 120°:.ZFOG= ZBOC :.ZFOG-ZBOE= ZBOC-ZBOEAZBOD=ZCOEffiAODB 和OEC 中/BOD = ZCOEBO = COZOBD = ZOCE /.ODBAOECAOD=OE/.ODE是顶角为120。的等腰三角形, 石形状不变，故正确；过点 0 作 OH_LDE,则 DH=EHVAODE是顶角为120。的等腰三角形AZOD

22、E=ZOED=- (180°-120°) =30° 2AOH=OE-sinZOED=-OE, EH= OE-cosZOED=2LLOEADE=2EH=73 OE.*.Saode=-DE-OH=20E2 24，OE最小时,Saode最小，过点o作OE，J_BC于r,根据垂线段最短，or即为OE的最小值ABE=-BC=i 22在 RtZkOBE，中OE，=BE,tanNOBE，。x 立=正 236Sa ODE 的最小值为 叵。叵出 -448VAODBAOEC'S 四边影 ODBE二SaODb + SaOBE二 Soec H Sobe=Sobc= - BCOE&

23、#39;=a484 12 SaODEW - S 四边形 ODBE 4即。石的面积最小不会小于四边形OO5E的面积的四分之一，故正确;，四边形OQ5后的面积始终不变，故正确；VAODBAOECA DB=EC:.皮花的周长=DB + BE + DE= EC+BE + DE=BC+DE=a + DE，DE最小时BD石的周长最小VDE=73 OE，0E最小时，DE最小而OE的最小值为0E，=正。6ADE的最小值为1-a26。石的周长的最小值为a+ go = 1.5。，故正确；综上：4个结论都正确，故选A.【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面 积公式和垂

24、线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三 角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键.16.已知在RtABC中，ZC= 90°, AC= 8, BC =15 ,那么下列等式正确的是（）8888A. sinA = B. cosA=C. tan A =D. cot A=17151715【答案】D【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义进行作答.【详解】由勾股定理知，AB=17； A.sinA = gg = D ,所以A错误；b.cosA = -=,所以，BAB 17AB 17错误；C. tan A =,所以，C错误；D. cot A =-,所以选D.A

25、C 8BC 15【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题关键.17.如图，八8是。的直径，弦CD_L48于£点，若AD=CD= 2下.则6c的长为（AAB.2C.亘D.也3333【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理得到。石=。石=JJ, BC = BD，ZA=30°,再利用三角函数求出0D=2, 即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图：连接0D,SB是00的直径，弦CDLAB于E点、,AD=CD= 2下,:CE = DE = ® BC = BD，NA=30。， r.ZDOE=60°,DE r/ 0D= 2 ,sin 6

26、0°60乃 x2 2A BC的长二BD的长二F， loU 3故选：B.此题考查垂径定理，三角函数,弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.18.如图，已知。0上三点A, B, C,半径OC=1, ZABC=30°,切线PA交0C延长线于点 P，则PA的长为（）A. 2B. y/3C. 72D.；【答案】B【解析】【分析】连接0A,由圆周角定理可求出NAOC=60。，再根据NAOC的正切即可求出PA的值.【详解】连接0A,VZABC=30°,:.ZAOC=60°,PA是圆的切线，AZPAO=90°,PAVtanZAOC =,OA/. PA= tan60°xl=正.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出/ AOC=60。是解答本题的关键.19.已知B港I I位于A观测点北偏东45。方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长 为lOjJkm, 一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方