2021届高考数学人教B版一轮考点测试52椭圆

1、考点测试52椭本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题， 高考概览分值为5分或12分，中、高等难度1 .掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）考纲研读2 . 了解椭圆的简单应用3 .理解数形结合的思想第1步狂刷小题基础练一、基础小题1.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为尸（1,0）,离心率等于;，则C的方程 是（）x2 v2A? + Z=l答案C解析依题意，所求椭圆的焦点位于v轴上，且c= 1, e = （=a = 2, b2 = a2 2 = 3,因此其方程是5 + =1,故选C.2.到点4-4,0）与点8（4,0）的距离之和为10的点的

2、轨迹方程为（）B.上£25- 16X2 V2A25+16=1D.会得二1答案C解析 由椭圆的定义可知该点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，而c = 4, “=5,故 / = / _= 9.故选 C.3.已知48C的顶点8, C在椭圆、+尸=1上，顶点A是椭圆的一个焦点, 且椭圆的另外一个焦点在8C边上，则48C的周长是()A. 23B. 6C. 4小D. 12答案C解析 依题意，记椭圆的另一个焦点为尸，则aABC的周长等于L48 + L4CI + BC= L4BI + L4CI + BF + CF = (LABI + IBFI) + (LACI + ICFI) = 4小,故选 C.4 .椭

3、圆好+ 2 = 1的焦点在V轴上，长轴长是短轴长的2倍，则/等于()A2 1 - 4B,D.答案D解析 由始+>1及题意知，2y = 2X2X1, m = 故选D. m5 .已知动点M(x,)，)满足，(x + 21+ y2 + ". 一 2)2 +)，2 = 4,则动点M的轨迹 是()B.直线A.椭圆C.圆D.线段答案D解析 设点爪-20),尸式20),由题意知动点M满足IMQI + IMF2l = 4 = IQF2l,故动点M的轨迹是线段为尸2.故选D.6.设品,二1的两个焦点，点尸在椭圆上，若线段PR的中点在y轴上，则箫的值为()CD Ej 91y 9答案B解析 由题意知

4、b二4.由椭圆定义知PRI + IPF2l = 6.在PQB中，因 为尸为的中点在y轴上，。为乃B的中点，由三角形中位线的性质可推得PF2_Lx 7） <1 OI o r"* I s轴，所以由x = c时可得IP4I J = ?所以IPHI = 6-PBI二手 所以鬲二百 故选B.7 .已知圆。+ 2）2+产=36的圆心为加，设4为圆上任一点，且点M20）,线 段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点尸的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案B解析 点P在线段AN的垂直平分线上，故I%I二PM,又4M是圆的半径， 所以IPMI + PM = IPMI + I%I = L

5、4MI = 6>IMM,由椭圆定义知，动点P的轨迹是椭 圆.故选B. 928 .若椭圆的方程为行一 +六二1,且此椭圆的焦距为4,则实数。二x2 7 A± + y-=l1 u - t/ a 一乙 答案4或8解析 对椭圆的焦点位置进行讨论.由椭圆的焦距为4得c = 2,当24y6时, 椭圆的焦点在x轴上，贝IJ 10-。-（-2） = 4,解得 =4;当6"<1。时，椭圆的焦 点在y轴上，贝1"/一2 （1。一”） = 4,解得。=8.故。=4或"=8.、局考小题 （2019.全国卷I ）已知椭圆。的焦点为为（-1,0）,f2（1, 0）,过B

6、的直线与C交于4, B两点.若L4F2l = 2IF28l, 148 = 1841,则C的方程为（ ）X2 y2B. + y= 1答案B解析 设椭圆的标准方程为+ *l(g»O).由椭圆的定义可得gI + L48 + BFi = 4a.： L4BI = IBFil, IAF2I = 2IF2BI,3.L4BI = IBFiI = L4F2I,LAFil + 3L4F2I = 4a.XL4Fil + L4F2I = 2a,.1441 = LABI = % 点 A 是椭圆的 短轴端点，如图.不妨设40, b),由尸2(1,0), AFi = 2FB,得5(|,冬9 b24 TX2由点8在

7、椭圆上，得了十京=1,得= 3, 2 = c/2-c2 = 2.,.椭圆c的方程为G +弓=1 .故选B.I一 I10. (2019.北京高考)已知椭圆展+ "=1(">/>0)的离心率为2,贝IJ( )A. a2 = 2b2C. a = 2bB. 3a2 = 4/rD. 3“ 二 4答案BC 1解析 因为椭圆的离心率6 = 7 = 5,所以/ = 402.又/ = /N + c2,所以3a2 = 4b2. Ct 4故选B.11.(2018.全国卷I )已知椭圆C:TI +V= 1的一个焦点为(2,0),则C的离心B.1 -2D.答案C解析 根据题意，可知c =

8、 2,因为廿二4,所以2s? + /= 8,即。=2也， 所以椭圆c的离心率为。=素=喙故选C.12. （2018.全国卷II）已知Q, B是椭圆C的两个焦点，尸是C上的一点，若PFJPF?,且NPF2a =60。，则C的离心率为（）B. 2-小答案DAC1 - 2 1 - 4 B,D.D. y/3-l解析 在QPB 中，/ FiPF? = 90% Z PF2Fl = 60°,设IPBI = m,则 2c = 1F局 =2m, TPFilfm,又由椭圆定义可知 * = IPFil + IPF2I =（审+ 1）加，则离心率e 4二号瑞二小一上故选D.13. （2018全国卷II）已知

9、Q, B是椭圆C: % + %=1（。乂0）的左，右焦点,A是C的左顶点，点尸在过A且斜率为坐的直线上，人入为等腰三角形，ZBBP=120。，则C的离心率为（）答案D解析 依题意易知P&l = IF|F2l = 2c,且尸在第一象限内，由/为尸2尸=120。91 - 4 =6可得尸点的坐标为（2c,5c）.又因为k”=平，即普，二*，故选D.14. （2017全国卷III）已知椭圆C:"=1（。比0）的左、右顶点分别为4,A2，且以线段4A2为直径的圆与直线bx- ay + lab =。相切，则C的离心率为（）A.平B,也1C.D. "答案A解析 由题意知以4A2为

10、直径的圆的圆心为（0,0）,半径为“,又直线法-缈+2ah = 0与圆相切,圆心到直线的距离d 二2ab f 不， b 1后再明解传仁小".片声牛“丁二M寿=y1-府二坐故选A.v2 V215. （2019全国卷III）设为，尺为椭圆C：石+记=1的两个焦点，M为C上 一点且在第一象限.若为等腰三角形，则”的坐标为.答案（3, V15）解析 设F为椭圆的左焦点，分析可知点M在以为为圆心，焦距为半径的 圆上,即在圆（X +4）2+）,2=64上.炉,2f（x + 4）2+/ = 64,因为点M在椭圆点二1上，所以联立方程可得也解得x 二 3, j = +V15.36 + 20=又因为点

11、M在第一象限，所以点M的坐标为（3, V15）.16. （2019.浙江高考）已知椭圆5 + 9=1的左焦点为R点尸在椭圆上且在x轴的上方.若线段尸尸的中点在以原点。为圆心，IOFI为半径的圆上，则直线尸尸 的斜率是.答案屏解析 如图，左焦点凡-2,0）,右焦点尸（2,0）.线段尸尸的中点M在以0(0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此IOMI = 2.在尸尸尸中，OMPF',所以 IPF 1 = 4.根据椭圆的定义，得PF1 + IP尸1 = 6,所以 IPFI = 2.又因为炉尸I二4,所以在RtZiMF尸中，,MF' I ylFF' P-IMFI2 tanZPFF

12、-= w/fc = v 15,ImFI IMF1 y '即直线尸产的斜率是小. 7217. (2016.江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆%+卓二 l(a>/»0)的右焦点，直线丁二?与椭圆交于8, C两点，且/8fC = 90。，则该椭圆 的离心率是.,夕，F(c,0),所以标二 乙)解析由已知条件易得答案坐2)c +噂a, -z), CF=(c-(i, -zl,由尸C = 90°,可得".次=0,|«2 + 1/? = 0,即 4c2 - 3a2 + （a2 - c2） = 0,亦即 3c2 = 2a所以1则e二，嚓三、

13、模拟小题 V2118. （2019.上饶模拟）设椭圆层+1=l（g»O）的左焦点为Q,离心率为立，F为圆M:+ y2 + 2x15 = 0的圆心，则椭圆的方程是（）x2 /A-4+7=1B.4+上1D.答案Ac解析圆心为（一 1,。），。=1,.;二5， 1 乙7二2,，=点.故椭圆的方程为5十y = 1 .故选A.19. （2020.广州调研）在平面直角坐标系xQv中，直线x + 也2娘二0与椭72圆c： 5 + %=1（心力0）相切，且椭圆。的右焦点/（。,0）关于直线/： y二次的对称点E在椭圆。上，则。石尸的面积为（）1J3A5B.券乙乙C. 1D. 2答案C（x + 2y-

14、 2y2 = 0, 解析联立方程可得_Ur ' b"，消去x,化简得（层+ 2）y2 - 822y+ b2（8 一 /） = 0,由 / = 0 得 2庐 + / 一 8 = o.设尸为椭圆。的左焦点，连接尸石,C2 C2易知尸EW,所以尸WE又点尸到直线的距离人产岸二不所以二亍，F' E = 2a-EF = =,在 Rt尸 EF 中，F' El2 + IEFI2 = F' Fl2,化简 得 2/ 二片，代入 2/ + / 8 = 0 得 = 2,。=2,所以IEFI = I尸 E = 2,所以 S3o“=/4尸EF = 1.X2 y220. （201

15、9湖南百校联盟联考）已知椭圆U + "=的右顶点和上顶点分 别为A, B,左焦点为尸.以原点。为圆心的圆与直线8尸相切，且该圆与y轴的正 半轴交于点C,过点C的直线交椭圆于M, N两点.若四边形用MN是平行四边 形，则该椭圆的离心率为（）A. |B.12c3C, 3D,4答案A解析.咽O与直线BF相切，.圆。的半径为与即OC=7，V四边形FAMN 是平行四边形，.点M的坐标为；*,-）,代入椭圆方程得"莓1+等=1,3 ;5/ + 2e 3 = 0,又 Owl, .e =故选 A.21. （2019嘉兴二模）已知A（3,0）, 8（-2,1）是椭圆券+汽=1内的点，M是椭

16、圆上的一动点，则IMAI + IM8I的最大值与最小值之和为（）A. 20B. 12C. 22D. 24答案A解析 由题意知A为椭圆的右焦点，设左焦点为由椭圆的定义知IMAI + IMAI = 10 ,所以IMAI + MB = 10 + IM8 - IMAI.又HM8 - IM尸il忘BQI,所以一 BFxMB-MFBFx,如图，设直线8Q交椭圆于M, %两点.当M为点 Mi时，IM8-IMr|1最小，当M为点 区 时，最大.所以IM4I + IM8的 最大值为10 +立，最小值为1。-虚.故IMAI + IM8的最大值与最小值之和为20.第2步精做大题能力练一、高考大题1. (2019天津

17、高考)设椭圆5 +3=1(心">0)的左焦点为F,上顶点为8.已知椭 圆的短轴长为4,离心率为坐.(1)求椭圆的方程；(2)设点尸在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线尸8与x轴的交 点，点N在y轴的负半轴上，若IOM = IOFI(O为原点)，且OP_LMN,求直线尸8 的斜率.解(1)设椭圆的半焦距为。，依题意，得28 = 4, ? =又 二 / + c2 ,可得“二书，/? = 2 , C = 1.所以椭圆的方程为991.由题意，设P(xp,冲)(wW0), M(xm0).设直线P8的斜率为冬WO),y = kx+ 2,又8(0,2),则直线P8的方程为尸丘+ 2,

18、与椭圆方程联立/ / 整 k+L，理得(4 + 20kx = 0,曰20k可停b二一五中,8 - 10k2代入y =京+ 2得yp=4+ 5曾，yP 4一5好进而直线op的斜率为广二Fp在y二履+ 2中，令y = 0,得茏必=一1由题意，得N(0, -1),所以直线MN的斜率为-*4 - 5标(k由。P1MN,得一一5 二 -1，八 & /曰24,2病化简,付公二了,从而攵=±-所以直线PB的斜率为噌或-零.X2 V22.(2019.江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆。：滔+讲=1(0/>0) 的焦点为Q(-10), F2(1,O).过尸2作X轴的垂线/,在

19、X轴的上方，/与圆B：(X -1)2 + V=4/交于点A,与椭圆C交于点D连接AF1并延长交圆F1于点B,连接交椭圆C于点巳 连接。见已知= *(1)求椭圆。的标准方程；求点E的坐标.解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为“-1,0),尸2(1,0),所以下尸21 = 2, c=.又因为lg = |, AF2_Lx轴，所以 lOFzl =DFiLP因此 2 = IOQI + IO&I = 4,从而 “ 二2.由 b2 = a2-c2,得/ = 3.因此椭圆C的标准方程为5+91.x2 y2(2)解法一：由(1)知，椭圆C：区+5=1，。= 2.因为4F21X轴，所以点A的横坐标为L 将工

20、二1代入圆用的方程1)2 + )，2= 16, 解得y = ±4.因为点A在x轴上方，所以A(l,4).又产i(l,O),所以直线。:y = 2x + 2.(y = 2x + 29®t(x-l)2 + y2=16,解得x= 1或X=-y.11I?将代入y = 2x + 2,解得了二-亍因此一3，_).又 F2(l,0),所以直线 8F2： y = 1(x-l).得76"- 13 = 0,13解得x = - 1或x =亍又因为E是线段8F2与椭圆的交点，所以“二-1.将X二 一 1 代入)，=永X-1),得)，二一|.因此1, _弓).解法二：由知，椭圆c： f +

21、 f =1.如图，连接因为 18户2l = 2a, EFi + EF2 = 2a9所以底为1 二比8,从而NBRE 二 NB.因为庐2A1 = 1F赤1,所以N4二NR所以24 二 N8QE,从而 EQ/BA.因为AF21x轴，所以E_U-轴.x= - 1,3因为为(一 1,0),由便£_ 得产±全彳+ 3 = 1，3又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以3. (2018.全国卷III)已知斜率为攵的直线/与椭圆C:yr 3 二 1交于A,点.线段的中点为M(l,m)(>0).(1)证明:kv-豆;(2)设f为C的右焦点，尸为C上一点，且尸产+尸了 +尸万二0.证明：

22、IMI, FPI, 彷成等差数列，并求该数列的公差.解(1)证明：设A(xi, yi), 8(X2, ”),贝4+¥=1,>两式相减，并由"二二&得与*+*萨次=0. XI -X24、x+X2 y +yi3由题设知1=1,一厂= ?，于是攵=-而.由题设得7 V331X 3 = 5，且>。，即 0</?/<2,故 kv 5,(2)由题意得Q1,O).设P(X3, V3),则由及题设得(X3-设>)+ 8-1, J1) + (小 T ,竺)二(0,0),X3 = 3 - (xi + m)=1,)'3 = 一。'1 + yi

23、) = - 2m<0.又点尸在C上，所以?二(,从而凡1,3、 一 3 2r IFPI = 2,于是炉了I = j(x - l)2 + y?=-1)2 + 3(1-jXlf X2=2.同理麻”二2-不.一 一 1所以 IF A l + IFBI = 4- 2(xi + X2)= 3.故2尸百二I尸了I + I尸角,BPIMI, FP, I或成等差数列.设该数列的公差为"，则一 12k/l = IIFBI-IMII = 5lvi-X2l=2 '(XI +X2> - 4X1X2. 将?=(代入得攵二1.7所以/的方程为y=-x + Z，3®28 ,代入。的方

24、程，并整理得7-14工+ ； = 0.故 xi + X2 = 2, xX2 = 2g，代入解得HI =所以该数列的公差为噜或-嚼4. (2018天津高考)设椭圆5的右顶点为A,上顶点为8.已知椭 圆的离心率为坐，148二行.(1)求椭圆的方程;（2）设直线/:）=日代<0）与椭圆交于尸，。两点，/与直线A8交于点M,且点 P, M均在第四象限.若8PM的面积是BP。面积的2倍，求攵的值.c2 5解（1）设椭圆的焦距为2c,由已知得了 二 §,又由/=从+ /,可得2“二3%.由L48=，/+从二正,从而=3, b = 2.厂 V所以椭圆的方程为3+1=1.（2）如图，设点尸的坐

25、标为（XI, >1）,点M的坐标为（X2,，由题意，X2>Xl>0, 点Q的坐标为（-xi,卧 8-9= LK 当x2= -9<0,不符合题意，舍去;由aBPM的面积是8P。面积的2倍，可得 IPM = 2IPQ,从而 X2-XI = 2xi -（-Xl） , EP X2 = 5X1.易知直线AB的方程为2x + 3y = 6,2x + 3y = 6,6由方程组 J 消去y,可得小=不行y = kx3K + z 9汇+J 由方程组9 4' 消去），可得由二J = kx由 X2 = 5xi,可得 q9k2 + 4=5（3攵 + 2）, 两边平方，整理得18好+ 2

26、5攵+ 8 = 0, 1解得女二一,或k = 一,当时，X2=12, xi =y,符合题意.所以攵的值为-5. (2017.北京高考)已知椭圆。的两个顶点分别为A(-2, 0), 8(2,0),焦点在 x轴上，离心率为里(1)求椭圆C的方程；(2)点。为x轴上一点，过。作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M, N,过 。作4M的垂线交8N于点E.求证：BDE与8ON的面积之比为4 : 5.解(1)设椭圆C的方程为=二2,由题意得应 解得C二小，所以店二病-C二 2，所以椭圆。的方程为5 + 丁=1.(2)证明：设 M(帆,)，则。(?,0), N(m, 一)，由题设知?W±2,且W0.直

27、线AM的斜率如 ， I4m + 2故直线OE的斜率攵叱二,m + 2所以直线。E的方程为丫= -(x-m),直线BN的方程为y =六;(X - 2).Z 111'm + 2y= -F-(x 加)，联立jy=六*-2),”(4 - nr)解得点E的纵坐标=F加+Q4由点M在椭圆。上,得4-/2 = 4所以二一甲?.12又Sbde =引8。11)任1 =518。11川,1Sbdn = zIBDI- Ini,所以8。石与BON的面积之比为4 : 5.二、模拟大题6. （2019长春四校联考）已知平面上一动点尸到定点网5，0）的距离与它到直 线工二啖的距离之比为苧，记动点P的轨迹为曲线C求曲线

28、C的方程;设直线/： ）=6 + ?与曲线C交于M, N两点，。为坐标原点，芳kawkoN 二;，求MON面积的最大值.设如，力则叵耳直邛7化简，得5 + )2= 1.y = kx + m,(2)设 M(m, yi), Ng,心)，联立口) 得(4k2 + I)%2 + Skmx + 4/?2 -4 = 0,依题意,得/=(Skm)2 - 4(4标 + l)(4m2- 4)>0,化简，得/V4R+1,Skm4户 一 4二一* 2EPyyi = (kxi + ni)(kxi + in) = k2xxi + km(x + xi) + nr,若 ko.M- koN = 7,则若=£

29、即 4yly2 二 5xiX2, 人I人2.4k2xX2 + 4km(x + xi) + 4nr = 5xxi,4(m2 - 1)( 8kM .(4K - 5)- 4茨+ + 4km - 4k2 + 1 + 4? = 0,即(4R 一 5)( 一 1) 一 8标/ + nr(4k/(6 - r)(5r- 6) i / - 36 + 36r - 5Z2 SdMONj 77 + 1) = 0,化简，得IMNl = yJl +k2bci-X2l/ 64 M 24加-4' (4+- 4, 4/ + ii；/ - 6nr + 64k2 + 16存、(")2IZ4(20)1 +k N (

30、4R+ 1)2 '原点。到直线,的距离公罚,1,1/(5-4-)(2。-1).Sjmon= 21MM二)(43+1)2.设就2 + 1 = /,由得0W/(，6-5H土1-61-2 -1 - / 当MON的面积取最大值，最大值为1.7. (2019.三明高中联盟模拟)设椭圆E的方程为j +1(心0),点O为坐标原点，点A, 8的坐标分别为(0), (0/)，点M在线段AB上，满足=直线OM的斜率为5(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为攵的直线/交椭圆E于C,。两点，交)，轴于点7(0, 0QW1),问 是否存在实数，使得以CO为直径的圆恒过点8?若存在，求/的值；若不存在, 说明理由.解(1)设点M的坐标为(x。，州),OM=OA+AM = , I),1 - 4 =VOJAO 又51 - 3 一一?0 -xo椭圆E的方程为1 + )2=1.(2)设直线/的方程为)，=H + r,代入+产=1,得(4