操作型问题选

1、操作型问题选操作型问题能让学生经历观察，操作，实验，猜想，验证的探究过程.不仅能考查学生的空间观念，对图形的认识，图 形的变换，图形的设计，图形的直觉判断能力，而且还能考查学生的分析综合，抽象概括逻辑推理的能力，是学生展示个体思 维发散创新的好平台.操作型问题一般包括作图问题，分割组合图形问题，图形的折叠问题和图形移动等问题.解决这类问题，要理解掌握轴对称轴、中心对称及点的轨迹的基本性质，审清题意，学会运用图形的平移变换、翻折变换 和旋转变换.注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法，灵活地解决问题.在平时的学习中，要注重操作习题 解题训练，提高思维的开放性，培养创新能力 典型例题例

2、1如图9-1 ,在正方形网络上有一个ABC.（1 ）作 ABC关于直线 MN的对称图形（不写作法）；（2 ）若网络上的最小正方形的边长为1 ,求 ABC的面积.（2003年浙江绍兴市中考试题）分析：（1）观察图形，先作出点A、B、C关 于直线 MN的对称点 Ai、Bi、Ci,连结AiBi BiCi、CiAi 得AiBiCi.（2） S aabc等于点A、B、C所在边的矩形面积与三个直角三角形解：（i）作图（略）(2)此三角形面积为：S aabc = 2X3-2X(1ix2) N图9-i面积和的差X 3=6-2-说明：本题利用轴对称性质来作图.常见的作图题依据着轴对称、中心对称及点的轨迹的性质来

3、作图6等分,例2某地板厂要制作正六边形形状的地板砖，为了适应市场多样化需求，要求在地板砖上设计的图案能够把正六边形 请你帮助他们设计等分图案（至少设计两种）（2003年甘肃省中考试题）.设计图案的关键：以正六边形的分析：由题意得：本例属于等分分割图形问题，正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形 个顶点和正六边形的中心为顶点分割设计成6等分图案.解：（答案不惟一，在下图 9-2中任选两种）.说明：本例属于等分分割图形问题，与此例类彳炳9-2等平行四边形、矩形、正方形分割成4等分等.这类问题解决，只有抓住被分割图形的中心及图形的顶点后，发挥个人的想象力，才能创造性地设计出图案例3如图9-3,把一个

4、等腰直角三角形 ABC沿斜边上的高 CD （裁剪线）剪一刀，从这个三角形中裁下一部分，与剩下部分能拼 成一个平行四边形 A BCD （见示意图a）.（以下探究过程中有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明.）探究一：（i）想一想一一判断四边形A BCD是平行四边形的依据是 ;（2）做一做一一按上述的裁剪方法，请你拼一个与图（a）位置或形状不同的平行四边形，并在图（b）中画出示意图.(1 )试一试一一你能拼得不同类型的特殊四边形有 (2)画一画请在图(c)中画出一个你拼得的特殊四边形示意图,它们的裁剪线分别是(2003年浙江省丽水市中考试题)分析：探究二：本例属于分割图形后，再重新组合图形问题的

5、关键是找出不同类型的特殊四边形：平行四边形、矩形、等腰梯形、.由于裁剪线的不定性，使组合图形变得更加多姿多彩 直角梯形再用实验和类比的方法来寻找答案.重新组拼图形解：探究一：(1) CD = A B (或 A D 旗C 等).(2)(只要画出图9-4(1), (2)之一的 示意图).探究二：平行四边形、矩形、等腰梯形、直角梯形 出这条裁剪线是“把一条直角边分成 42 : 1DAAABC的中位线(或七条三角形的1舟线)的C段，且平行于另一条直用边-4或斜边)(2)线段”，才算正确(注：若写出直角梯形，并指.)DA A 倒只要本图9-5中(1)(6)之也法 d究二中，由于裁剪线的不别A-B短文：如

6、图例4c阅读 边的两端(4)拼A菱形？请说A理由.想一想C .究一中；_,9-6 (1)而示，(2) ABC里直角三角形，/ C=90,D 空D.解答此类问题，常用的方法有实验法、分析七 ABC补成矩形，使 ABC的两个顶点为矩形一第三小DL点落在矩形这一边上，那符合要求的矩形可以画出两个：矩形(6)图9-5ACBD和矩形AEFB(如图9-6 (2)所示).解答问题:CCABC(1)(2) 利用图设图9-6 (2)所示矩形 ACBD和矩形AEFB的面柢分别为SF S2,则&一富 9-6 (2) ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出图9-6 ( 如图9-6

7、(3)所示, 9-6 (3)把画出来.S2 (填AB ,按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以，一、B 一 一.(4)在(3)中所画出的96豚3),哪一个的周长最小？为信？图9-6 (4)(2002年陕西省中考试题)(4)由(1)类推(3)中的三个矩形的面积相等，设其面积为 差法类比三个矩形的周长的大小.S,用S与a、b、c三边分别表示三个矩形的周长L1、L2、L3 ,用作分析：(2)只能以AB为一边，作一个矩形；(3)可以锐角A ABC的三边作三个矩形;解：(1) Si=S2； (2) 一个(如图 9-6(5); ( 3)三个(如图 9-6 (6)小C -积相等.令其面隔为-6

8、S5)则有,Q.设矩形 BCED、ACHQ1 B 2S o , L1= +2a, L 2=b, L1 L20,即 L1L2,AE iF、ABGF的周条分别为 C2S2S至十组L3二飞f.L1-HLr L2、L3, BC=a,AC=b,AB=c.易知这三个矩形的面L2 =图 9-6 (6)2S2Sab -S一+2a- ( +2b)=2(a - b) . 而 abS, a同理L2 L3. .以AB为边的矩形周长最小说明：本例要求在熟悉按要求补图、组合图形的基础上，分析、归纳、类比一此量的变化.另外通过解答可以发现本例有三个规律：一是所画矩形个数的规律(一个、二个、三个).二是符合要求的矩形的面积的

9、规律(各图中矩形面积均为原三角形面积的2倍等).三是矩形周长的规律(以短边为矩形一边的矩形周长最短)例5已知两个等圆。Oi和。2相交A、B两点，O Oi经过O2,点C是AO2B上任一点(不与 A、。2、B重合)，连结 BC并 延长交。02于D,连结 AC、AD.(1)图9-7 (1)供操作测量用，(测量时使用刻度尺和圆规)将图 9-7 (1)按题中叙述补充完整，并观察或度量AC、CD、AD三条线段的长短，通过观察和度量，说出三条线段的长度之间存在怎样关系？(2)猜想结论(求证部分)，并证明彳的猜想，在补充完整图9-7 (1)中进行证明. 如图9-7 (2),若C点是BO2的中点，AC与O1O2

10、相交于点E.连接0心 O2C,求证 CE2= O1O2 E O2.等于60即可.(3)欲证C解：(1)(2)结论:证明：连结A- O分析：(1)画图测量,=。1 BOAC=补充完整图形如图D 图 9-7,E。2.只需证:(3),三条线段AC、CD、AD相等. ACD是正三角形.AOAO 2、BO2、。1。2.O1、。O2是等圆，且。O1过O2点,AE(2002(2)欲证CD殳 O1O2CSZBCO2E.C形.，可利用圆周角定理及其推论证明A。1B图 9-7 (3)ACD每一个内角都- A O2= OQ2=A O 1./AO 2 O1=60,/ AO 2B=120 ./ D= J /AOzB=

11、1x120=600./ ACB= ZAO 2B=120,./ACD=60. .ACD 是正三角形.(3)(如图 9-7 (2) ) C 是ZO2 的中点，/ C O1O2=30/ Z ACO 2=30./ C OO2=/ACO2、0102c=/ CO2EAO1O2CA CO2E.OO2 =-CO2 .O2CEO2 O1O2=O1C,/O1O2 C = /OCO2=/CEO2 .1. CO2=CE.CE2= O1O2 - E O2.，着重考查动手操作变换图形和推理论证的能说明：本例是一道以相交两圆为背景，集操作、测量、猜想、证明于一体探究性问题 力.本例以留空回填命题的思路，解答时应顺向. .逐

12、层进行.例6取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形 ABCD对折，折痕为 MN ,如图9-8 (1);第二步：再把 B点叠在折痕线 MN上，折痕为 AE ,点B在MN上的对应点为 B,得 RtAA B E,如图 9-8 (2);第三步：沿E B线折叠得折痕 EF,如图9-8 (3).利用展开图9-8 (4)探究：(1) AAEF是什么三角形？证明你的结论.(2) 对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由(1)(2)图9-8B, NB，D , (2003年山西省中考试题)分析：(1)经过操作测量易判定 AEF是正三角形.再运用平行线等分线段定理、直角三角形

13、的性质来证明AEF是正三角形；(2)不一定.运用由特殊到一般的思路来解答：若矩形恰好能折出等边三角形，先找出矩形长a与宽b的关系，再按 b(日a、aba的情形分类讨论. 2解：(1) AEF是正三角形.证法一：(如图右图)由平行线等分线段定理知：PE=PA,.B P 是 RtAA B E 斜边上的中线，PA=P B , /1=/3. 又: PN/AD ,/ 2=/3.而 / BAF=2 / 1+/ 2=900, / 1 = / 2=300. .在 RtAA B E, / 1+/ AEF=90 0,./AEF=60 0, / EAF= / 1 + /2=600,.AEF 是正三角形.证法二： A

14、BE 与 A B E 完全重合，.A ABE A B E, /BAE=/1.由平行线等分线段定理知 ：EB =B F.又/ A B E=900, AB E A A B F,AE=AF. .1 = /2=)/ BAD=30 0. .A AEF 是正三角形.3(2)不一定.由上推证可知当矩形的长恰好等于AEF的边AF时，即 矩形的宽：长 AB : AF=sin60 0=6：2时正好能折出.如果设矩形的长为a,宽为b，可知当b 3a时，按此法一定能折出等边三角形；当与ab2+10=-,333F (2, 8).又F在抛物线上，8=1及2+h.抛物线的解析式为：y= - A x2+3.331212将y=

15、- 1x+ 10代入y=1x2+3.得x2+x 1 =0. ,=()24X(一)1)=0. 直线AD与抛物线只一个交点 331212333123(3) 例如可以猜想：折痕所在直线与抛物线x2+3.得 x2+x- 3=0.1212y= - x2+312只有一个交点；验证：在图 1中折痕为 CG.将y= - x+6代入y=-. ,，1,、=.4 (-3) X- 1-)=0,，折痕CG所在直线的确与抛物线y=x2+3只有一个交点.12说明：本例在直角坐标系中，以轴对称折叠为变化情境，探究折痕的动态变化，引其函数变化，并用特殊的( 证.若不用(1)中的情形验证，请猜想：D G所在直线与中的抛物线会有什

16、么位置关系？1)中的情形加以验【习题9】1 ,只利用一把有刻度 的直尺，用度量的方法，按下列要求画图:(1)在图9-10 (1)中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴:量出底边BC的长度，将线段 BC二等分，即画出 BC的中点D;画直线AD ,即画出等腰三角形 ABC的对称轴.(2)在图9-10 (2) 中画出/ AOB的对称轴，并写出画图和方法2.如图9-11 的距离相等且,107国道OA图 9-10 ;2 4B参考答纸.如果学生画出的两个36,置360任画一720 )C9-19所示的四种方案4=2(4)B0提供了 336限是同7 1/EDDDAAAAPCPPDE=1)又PDEs BCP. . a PDE 和4C2./ 1 = / 2国角边与证明 又/-E=、。匚2E 不 :在 PCE如