大学物理第03章动量与角动量

1、1第第3 3章章 动量与角动量动量与角动量主要内容主要内容.冲量与动量定理冲量与动量定理. 动量守恒定律动量守恒定律. 火箭飞行原理火箭飞行原理. 质心质心. 质心运动定理质心运动定理.质点的角动量和角动量定理质点的角动量和角动量定理.角动量守恒定律角动量守恒定律.质点系的角动量定理质点系的角动量定理. 质心参考系中的角动量质心参考系中的角动量23.1 冲量与动量定理冲量与动量定理 1.力的冲量力的冲量dF t无穷小时间间隔内的冲量无穷小时间间隔内的冲量冲量是反映力对时间的累积效应。作用力与作用时间的乘积。作用力与作用时间的乘积。恒力的冲量：恒力的冲量：)(12ttFI变力的冲量：变力的冲量：

2、21d)(ttttFI单位：单位：Ns32.质点的动量定理质点的动量定理车辆超载容易车辆超载容易引发交通事故引发交通事故车辆超速容易车辆超速容易引发交通事故引发交通事故4结论：结论： 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物体的质量有关。体的质量有关。 动量：动量：运动质点的质量与速度的乘积。运动质点的质量与速度的乘积。vmp 单位：单位：kgms-1由由n个质点所构成的质点系的动量：个质点所构成的质点系的动量： n nn ni ii ii ii i 1 1i i 1 1Ppmv5牛顿运动定律：牛顿运动定律：amFdtpdtmFd)(dv动量定理的微分式：动

3、量定理的微分式：tFpdd如果力的作用时间从如果力的作用时间从 ，质点动量从，质点动量从 tt 0pp0ttppootFpdd00dvvmmpptFItto6质点动量定理：质点动量定理：质点在运动过程中，所受合外力的质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。冲量等于质点动量的增量。说明：说明：（1 1） 冲量的方向冲量的方向 与动量增量与动量增量 的方向一致。的方向一致。Ip动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加原理。因此在计算时可采用平行四边量叠加原理。因此在计算时可采用平行四边形法则。或把动量和冲量投影在坐标轴上以形法则。或把动量和冲

4、量投影在坐标轴上以分量形式进行计算。分量形式进行计算。（2 2）7ttzozzzttyoyyyxoxttxxooommtFImmtFImmtFIvvvvvvddd平均冲力：平均冲力：ttotFttFd10 tFttFI8结论：结论：物体动量变化一定的情况下，作用时间越长，物体动量变化一定的情况下，作用时间越长，物体受到的平均冲力越小；反之则越大。物体受到的平均冲力越小；反之则越大。 海绵垫子可海绵垫子可以延长运动员下以延长运动员下落时与其接触的落时与其接触的时间，这样就减时间，这样就减小了地面对人的小了地面对人的冲击力。冲击力。 9逆风行舟逆风行舟龙骨龙骨Vvvf mviu pfpi pf|f

5、 f10河流拐弯处的堤坝 河流拐弯处外侧的堤坝要比内侧堤坝更加坚固,这是由于内侧堤坝仅需要承受流水的静压强.而外侧堤坝,除了需要承受水的静压强外,由于河流弯曲,外侧堤坝不仅受到水流的冲击,还要承受附加的动压强.物理学原理在工程技术中的应用P27补充！11补充补充: 质点系的动量定理质点系的动量定理设设 有有n n个质点构成一个系统个质点构成一个系统第第i个质点：个质点：外力外力iF内力内力if初速度初速度iov末速度末速度iv质量质量im由质点动量定理：由质点动量定理：ioiiittiimmtfFovvdiFif12F1f12m1m2f21F2 ioiiittiimmtfFovvd 0if其中

6、：其中：系统总末动量：系统总末动量：iimPv系统总初动量：系统总初动量：ioimPv0合外力的冲量：合外力的冲量： ttitF0d13PPPtFtti 00d微分式：微分式：iPFtd dd d质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。注意：注意：系统的内力不能改变整个系统的总动量。系统的内力不能改变整个系统的总动量。 14例例1、质量质量m = 1kg的质点从的质点从o点开始沿半径点开始沿半径R = 2m的的圆周运动。以圆周运动。以o点为自然坐标原点。已知质点的运动点为自然坐标原点。已知质点的运动方程为方程为 m。试求从。试求从 s到到 s

7、这这段时间内质点所受合外力的冲量。段时间内质点所受合外力的冲量。25 . 0ts21t22t解：解：o21221s211Rs222122sRs22ttsddv)(211smv)(212smv15)smkg(211vm)smkg(212vm)(12vvvmmmI)smkg(6421222221vvvmmm)(69. 761smkgI22tan12vvmm44541vm2vm)( vm16例例2. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F = 400-4 105 t/3，子弹从枪口射出时的速率为，子弹从枪口射出时的速率为300 m/s。设子弹离开枪口处合力刚好

8、为零。求：（设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（1）子弹走）子弹走完枪筒全长所用的时间完枪筒全长所用的时间t。（。（2）子弹在枪筒中所受力）子弹在枪筒中所受力的冲量的冲量I。（。（3）子弹的质量。）子弹的质量。（1）031044005tFs003. 010440035t（2）sN6 . 032104400d3104400d003. 0025003. 005tttttFI（3）0vmIg2kg002. 03006 . 0vIm17例例3.一根柔软链条长一根柔软链条长l,单位长度质量为单位长度质量为. .链条放在桌链条放在桌上上, ,桌上有一小孔桌上有一小孔, ,链条的一端由小孔垂下链条的一端由小

9、孔垂下, ,其余部份其余部份堆在桌面上小孔周围堆在桌面上小孔周围. .由于某种拢动由于某种拢动, ,链条因自身重量链条因自身重量开始下落开始下落. .求链条下落速度与落下距离之间的关系求链条下落速度与落下距离之间的关系. .如图在竖直向上方向建坐标如图在竖直向上方向建坐标Fdtygdtdp0m2ym1Nm2gm1g系统沿系统沿y方向受到合外力的冲量为方向受到合外力的冲量为Fdt,由动量定理可得由动量定理可得:1pm vyv1()()dpd m vd yv18()ygdtd yv()d yvygdt2()()yd yv dyy gdyyvd yvdt200()yyvy gdyyvd yv3211

10、()32gyyv323vgy19例例4.一辆装煤车以一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下面通过的速率从煤斗下面通过,每每秒钟落入车厢的煤为秒钟落入车厢的煤为m=500kg.如果使车厢的速率如果使车厢的速率保持不变保持不变,应用多大的牵引力拉车厢应用多大的牵引力拉车厢?vdmmFx以以m表示时刻表示时刻t煤车和已落进煤车的煤煤车和已落进煤车的煤的总质量的总质量.0mvdmmvt+dt时刻水平总动量为时刻水平总动量为:()mvdm vmdm v此后此后dt时间内又有质量为时间内又有质量为dm的煤落入车厢的煤落入车厢.取取m与与dm为研究的质点系为研究的质点系,则在则在t时刻水平总动量为时刻水平总

11、动量为:20dt时间内水平总动量的增量为时间内水平总动量的增量为:()dpF dtmdm vmvdm v由此可得由此可得:dmFvdt31.5 10FN不能单纯从数学上来理解导数的不能单纯从数学上来理解导数的形式形式,而是要加入物理思想而是要加入物理思想!“单位时间质量变化单位时间质量变化”211. .质点系的动量定理：质点系的动量定理：3.2动量守恒定律动量守恒定律00dPPtFtti 0iF0PP系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。常矢量iimPv条件：条件： 0iF22说明：说明：（2 2）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个）系统的总

12、动量守恒并不意味着系统内各个质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。（4 4）当外力作用远小于内力作用时，可近似认）当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。如：碰撞，打击为系统的总动量守恒。如：碰撞，打击, ,爆炸等爆炸等（5 5）系统内所有质点的动量都必须对同一个惯）系统内所有质点的动量都必须对同一个惯性参考系而言。性参考系而言。（3 3）系统所受合外力不为零，但在某一方向上）系统所受合外力不为零，但在某一方向上的分量为零，则在该方向上动量守恒。的分量为零，则在该方向上动量守恒。（6 6）动量守恒在微观领域仍然适用）动量守恒在微观领域仍

13、然适用, ,比牛顿定律比牛顿定律意义更为深远。意义更为深远。（1 1）有）有 内力的作用不改变系统的内力的作用不改变系统的总动量总动量 d0iif t23动量守恒的分量式：动量守恒的分量式：常量常量常量iziziyiyixixmPmPmPvvv动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。24例例5. 宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行，尘埃密度为尘埃密度为 。如。如果质量为果质量为mo的飞船以初速的飞船以初速vo穿过尘埃穿过尘埃，由于尘埃粘在由于尘埃粘在飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与其飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的

14、速度与其在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面积在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面积为为S的圆柱体）的圆柱体）某时刻飞船速度：某时刻飞船速度：v，质量：，质量：m动量守恒：动量守恒：0 00mmm 尘vv质量增量：质量增量：tSmddvvv00mm tSmmddd200vvvvmv25ttmSo0003ddvvvvvtmS00202)11(21vvv102000(2mStmv) vvtmSdd003vvv26例例6. 在水平面上有一静止的车在水平面上有一静止的车,车长为车长为l,质量为质量为m0,车车上有一质量为上有一质量为m的人站在车后端的人站在车后端A,如图所示如图所示,设

15、人从车设人从车的后端的后端A跑到车的前端跑到车的前端B,求此时车相对地面移动的距求此时车相对地面移动的距离离.yxOBAvv0yxOBAx0000000mmmvm v 00mvvm00()mdxdxm270000000 xxLmdxdxm 00000()mxxLm 000mxLmm28例例7. 如图如图,一个一个1/4圆弧滑槽的大物体的质量为圆弧滑槽的大物体的质量为M,停在停在光滑的水平面上光滑的水平面上,另一质量为另一质量为m的小物体自圆弧顶点的小物体自圆弧顶点由静止下滑由静止下滑.求当小物体求当小物体m滑到底时滑到底时,大物体大物体M在水平在水平面上移动的距离面上移动的距离?0()xmvM

16、VvXV系统在系统在m下滑过程中下滑过程中,水平方向水平方向受合外力为零受合外力为零,水平方向动量守水平方向动量守恒恒!yxxmvMVxmv dtMVdt00ttxmv dtMVdt29msMS由绝对位移由绝对位移,相对位移相对位移,牵连位移之间关系可得牵连位移之间关系可得:sRSmSRmM思考：木块离开滑槽瞬间对它的作用力思考：木块离开滑槽瞬间对它的作用力?30例例8. 如质量均为如质量均为m的两质点的两质点A,B.由长为由长为L的不可伸长的不可伸长轻绳连接轻绳连接,B点限制在光滑轨道内点限制在光滑轨道内,可自由滑动可自由滑动,开始开始A静止于桌面静止于桌面,B静止在轨道内静止在轨道内,AB

17、垂直于轨道距垂直于轨道距0.5L,如如A以速度以速度v在桌面上平行于轨道方向运动在桌面上平行于轨道方向运动,求证求证:当当B运运动时速度大小为动时速度大小为0.43v,并求出绳受到的冲量和轨道的并求出绳受到的冲量和轨道的反作用冲量反作用冲量.(cos )BAmvm vvL300v vA AA A0.5LB BA,BA,B小球在水平方向受小球在水平方向受外为零外为零, ,故动量守恒故动量守恒: :31对于对于B,B,绳不可伸长绳不可伸长, ,故有故有: :对于对于A,A,仅受于绳的拉力仅受于绳的拉力, ,故与绳正交方向动量守恒故与绳正交方向动量守恒! !00cos30cos(30 )BAvv00

18、sin30sin(30 )Amvmv37Bvv002 3( cos30cos(30 )7AT tm vvmv 03sin307N tT tmv 323.3火箭飞行原理火箭飞行原理Mvtm md d)(uMMd d vv d )(ttd d 时刻时刻：dm相对火箭体喷射速度相对火箭体喷射速度uMmd dd d 33)()(vvMMuvmMvd dd dd d )()(vvMMuvMd dd dd d ,ddMMuv fiifMMuvvln ffiMiMMMuvvvdd质点系选：质点系选：(M+dM , dm)设火箭在自由空间飞行，系统动量守恒：设火箭在自由空间飞行，系统动量守恒：34火箭体对喷射

19、的气体的推力：火箭体对喷射的气体的推力：t td dd dd dd d- -( (M MmuudMtvvmMd)d)(即喷射的气体对火箭体的推力：即喷射的气体对火箭体的推力：t td dd dmuF 35 3.4质心质心 质心：质心：mrmmrmriiiiiiiic第第i个质点的位矢个质点的位矢ir质点系的总质量质点系的总质量iimm第第i个质点的质量个质点的质量im质点系中一个特殊的点，位矢为质点系中一个特殊的点，位矢为36iiicmxmxiiicmymyiiicmzmzmmxxcddmmyycddmmzzcdd对于密度均匀，形状对称的物体，其质对于密度均匀，形状对称的物体，其质心都在它的几

20、何中心。心都在它的几何中心。37例例9. 一段均匀铁丝一段均匀铁丝, 线质量密度为线质量密度为,现将其现将其弯成半圆弯成半圆形形,半径为半径为R,求此半圆形铁丝的质心求此半圆形铁丝的质心.dldRydmdlcy dlymsinyRdlRd20sin2cRRdRymmmR 2cRy38 3.5 质心运动定理质心运动定理i icm rrM质心位置公式：质心位置公式：trmtrMiicddddiicmMvv质点系的总动量等于总质量与其质心运质点系的总动量等于总质量与其质心运动速度的乘积。动速度的乘积。 由质点系动量定理的微分式可得：由质点系动量定理的微分式可得：iPFtd dd dci iMrm r

21、iimtd dd dvcMtd dd dv39ciaMF 作用于质点系上的合外力等于质点系的总质量作用于质点系上的合外力等于质点系的总质量与质心加速度的乘积。与质心加速度的乘积。系统在外力作用下，质心的加速度等于外系统在外力作用下，质心的加速度等于外力的矢量和除以系统的总质量。力的矢量和除以系统的总质量。（2 2）系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒矢量，内力既不能改变质点系的总动量矢量，内力既不能改变质点系的总动量, ,也也就不能改变质心的运动状态就不能改变质心的运动状态 。（1 1）40例例10. 有质量为有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落的

22、弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为地点为xc 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。在爆炸的前后，质心在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地一抛物线，它的落地点为点为xc c 。xc212211mmxmxmxc0,121xmmmmmxxc22cxx22x2ox41例例11. 在水平面上有一静止的车在水平面上有一

23、静止的车,车长为车长为l,质量为质量为m0,车车上有一质量为上有一质量为m的人站在车后端的人站在车后端A,如图所示如图所示,设人从车设人从车的后端的后端A跑到车的前端跑到车的前端B,求此时车相对地面移动的距求此时车相对地面移动的距离离.yxOBAvv0yxOBA1020Cmxm xxmmx0X1XCCX2X2X1x1020mxm xmm42202xxx 02000020()CmLm xxmmmxm xxmm00mxLmm10 xx yxOBAvv0yxOBAx0X1XCCX2X2X1x43例例12. 水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球的水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球的质量质量M，纸

24、被拉动时与球的摩擦力为，纸被拉动时与球的摩擦力为 F，求：，求：t 秒后秒后球相对桌面移动多少距离？球相对桌面移动多少距离？caMF 22ccd xFaMdt221tMFxc 沿拉动纸的方向移动沿拉动纸的方向移动221tMF443.6 质点的角动量和角动量定理质点的角动量和角动量定理1.质点对固定点的角动量质点对固定点的角动量mxyzrLpO设：设：t t时刻质点的位矢时刻质点的位矢r质点的动量质点的动量vm运动质点相对于参考原运动质点相对于参考原点点O O的的角动量角动量定义为定义为vmrprL单位：单位：Kg m2s-145sinsinvmrrpL 位位矢矢 和动量和动量 的矢积方向成的矢

25、积方向成 右手螺旋右手螺旋vmr如果质点绕参考点如果质点绕参考点O作圆周运动作圆周运动rpormprLv角动量与所取的惯性系有关；角动量与所取的惯性系有关；角动量与参考点角动量与参考点O的位置有关。的位置有关。 46质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的投影，称为质点投影，称为质点对轴线的角动量对轴线的角动量。 LOALAcosLLA质点系的角动量质点系的角动量设各质点对设各质点对O点的位矢分别为点的位矢分别为nrrr,21动量分别为动量分别为nppp,21niniiiiprLL11)(472.力对固定点的力矩力对固定点的力矩质点的角动量质点的角动

26、量 随时间的变化率为随时间的变化率为 LtprptrtprtLdddddddd0ddpptrv式中式中FtpddFrtLdd48 质点角动量的改变不仅与所受的作用力质点角动量的改变不仅与所受的作用力 有有关，而且与参考点关，而且与参考点O到质点的位矢到质点的位矢 有关。有关。 rF定义：定义：外力外力 对参考点对参考点O的力矩：的力矩：FxyzrOMF力矩的大小：力矩的大小：sin0rFM FrM0mN力矩的方向由右手螺旋力矩的方向由右手螺旋关系确定，垂直于关系确定，垂直于 和和确定的平面。确定的平面。rF49设作用于质点系的作用力分别为：设作用于质点系的作用力分别为：nFFF,21作用点相对

27、于参考点作用点相对于参考点O的位矢分别为：的位矢分别为： nrrr,21相对于参考点相对于参考点O的合力的合力矩为：矩为：iiFrMOxyz1rir2r1F2FiF50力对轴的矩力对轴的矩OAAM0M力力 对轴的力矩：对轴的力矩： FF力力 对点的力矩对点的力矩 在过点的在过点的任一轴线上的投影。任一轴线上的投影。0McosOAMMAOrFF/FMFrFrM/力力 对轴对轴OA的力矩：的力矩： FFrM51tLMdd0120d21LLtMtt质点的角动量定理：质点的角动量定理： 质点对某一参考点的角动量随时间的变化率质点对某一参考点的角动量随时间的变化率等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。

28、等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。 角动量定理的积分式：角动量定理的积分式：21d0tttM称为称为“冲量矩冲量矩”3.质点的角动量定理质点的角动量定理52质点系的角动量：质点系的角动量：niniiiiprLL11)(两边对时间求导：两边对时间求导：tprptrtLiiiidddddd0ddiiptr上式中上式中iiiiifFrtprdd0iifr上式中上式中iiiifrFrtLdd为什么为什么? ?53tLFrMiidd 质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于系统所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。于系统所受各个外力对同一参考点力矩之矢

29、量和。质点系角动量定理：质点系角动量定理： 质点系对质点系对z 轴的角动量定理：轴的角动量定理： tLMzzdd54质点系角动量定理的积分式：质点系角动量定理的积分式： 2112dttLLtM 作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时间内的角动量的增量间内的角动量的增量 。552112dttLLtM如果如果0M则则恒矢量L质点或质点系的角动量守恒定律：质点或质点系的角动量守恒定律： 当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。 3.7/3.8

30、(质点系质点系)角动量守恒定律角动量守恒定律56质点系对质点系对z 轴的角动量守恒定律：轴的角动量守恒定律： 系统所受外力对系统所受外力对z z轴力矩的代数和等于零，轴力矩的代数和等于零，则质点系对该轴的角动量守恒。则质点系对该轴的角动量守恒。 恒量zL0zM角动量守恒定律是自然界的一条普遍定律，它有着广泛的应用。 补充补充: : 质点所受外力的作用线始终通过某定点时质点所受外力的作用线始终通过某定点时, ,该外力称为有心力该外力称为有心力, ,有心力对该定点的力矩为零有心力对该定点的力矩为零, ,质点对该定点的角动量守恒。质点对该定点的角动量守恒。 57证明开普勒第二定律：证明开普勒第二定律

31、：行星和太阳之间的连线在相行星和太阳之间的连线在相等时间内扫过的椭圆面积相等等时间内扫过的椭圆面积相等 。rrSd21drrdvrtrrtS21dd21ddLmmrmtS2121ddv恒矢量tSdd有心力作用下角动量守恒有心力作用下角动量守恒 证毕证毕 证证58例例14. 哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，它离太阳哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，它离太阳最近的距离为最近的距离为 时，时， 它距离太阳最远时，它距离太阳最远时， ，这时，这时mr1011075. 8 ?2 rsmv/1046. 541 smv/1008. 922 1v?2 r1r2v解解：2211vmrvmrL mrvvr1

32、212121026. 5 能用万有引力公式计算吗？为什么能用万有引力公式计算吗？为什么? ?59例例15. 一轻绳绕过一轻滑轮一轻绳绕过一轻滑轮,两个质量相同的人分别抓两个质量相同的人分别抓住轻绳的两端住轻绳的两端,设开始时设开始时,两人在同一高度上两人在同一高度上,此时左边此时左边的人从静止开始上爬的人从静止开始上爬,而右边的人抓住绳不动而右边的人抓住绳不动,问哪个问哪个人先到达滑轮人先到达滑轮?如果两个人质量不相等如果两个人质量不相等,情况又如何情况又如何?将人与滑轮看成一个系统将人与滑轮看成一个系统.以滑轮中心为参考点以滑轮中心为参考点,系统系统所受外力矩分别为两人所所受外力矩分别为两人所受重力矩受重力矩,大小相等大小相等,方向方向相反相反,故对中心点故对中心点,系统角系统角动量守恒动量守恒!00LL1 122m v Rm v Rv1v2Rr6012vv故同时到达故同时到达!若两人质量相同若两人质量相同,则有则有:12mm故系统角动量不守恒故系统角动量不守恒!若若:21()Mmm gR外1 122()Lm vm v R由角动量定理可知由角动量定理可知:21()dLMmm gRdt外假设假设:12mm000dLLdt( )0L t1 122()0Lm vm v R12vv所以在任何