博士计量经济学精彩试题

1、标准文案计量经济学博士研究生入学试题(A)解答一、简答题1、指出稳健标准误和稳健 t统计量的适用条件。答：稳健标准误和稳健t统计量的适用条件是样本容量较大的的场合。在大样本容量的情况下，一般在横截面数据分析中总是报告稳健标准误。在小样本情况下，稳健t统计量不那么接近t分布，从而可能导致推断失误。2、若回归模型的随机误差项可能存在q (q 1)阶自相关，应采用什么检验？其检验过程和检验统计量是什么？答：如果模型：yt0 iXit 2X2tptt的误差项满足：t 1 t 12 t 2qt q Vt,其中vt是白噪声。原假设Ho：10, 20，q 0那么，以下两种回答都可以。1)、(1). yt对

2、X1t,X2t,Xpt( t 1,2, ,T)做OLS 回归，求出 OLS残差？；(2) . 2 对 X1t,X2t,Xpt, ?1,?2,，？4做01$回归，(1 q 1,q 2, ,T),得到 R2;(3) .计算(2)中的？ 1, ?t 2，？ q联合F检验统计量。若 F检验统计量大于临界值，则判定 回归模型的随机误差项存在q (q 1)阶自相关；否则，则判定判定回归模型的随机误差项不存在q ( q 1)阶自相关。2)、完成了 1)中的(1)、(2)两步以后，运用布劳殊-戈弗雷检验( Bresch Goldfery test)222LM T q R ,由于它在原假设 Ho成立时渐近服从

3、？ ？ q分布。当LM大于临界值，则判定回归模型的随机误差项存在q (q 1)阶自相关；否则，判定回归模型的随机误差项不存在q ( q 1)阶自相关。3、谬误回归的主要症状是什么？检验谬误回归的方法主要有哪些？在回归中使用非平稳的时间序列必定会产生伪回归吗?答：格兰杰（Granger ）和纽博尔德（Newbold ）认为在用时间序列数据进行回归估计时，如果 R2在数值上大于德宾沃特森统计量，则我们应当怀疑有谬误回归存在。检验谬误回归的方法主要是用DF和ADF检验考察回归的残差是否服从1（0）,进而判定变量之 间的关系是否为协积的，从而检验出谬误回归的存在性O回归中使用非平稳的时间序列不一定会产

4、生谬误回归，比如两个协积的变量，虽然它们可以非平稳，但是不会产生谬误回归。4、一般的几何滞后分布模型具有形式：黄iXt i大全2cov t, st,s,0如何对这类模型进行估计，才能获得具有较好性质的参数估计量?答：对一般的几何滞后分布模型ytXt i,有限的观测不可能估计无限的参数。为此，必须对模型形式进行变换:注意到:ytXt i从而:ytyt 1Xtyt1 xtyt 1由于yt 1与11相关，所以该模型不能用OLS方法进行估计,必须采用诸如i具变量等方法进行估计，才能获得具有较好性质的参数估计量。5、假定我们要估计一元线性回归模型:ytXtt , E t 0, cov t, s2t,s但

5、是担心Xt可能会有测量误差，即实际得到的Xt可能是Xt Xtt, t是白噪声。如果已经知道存在与xt相关但与t和t不相关的工具变量 zt,如何检验Xt是否存在测量误差？答：已知存在与Xt相关但与t和t不相关的工具变量Zt ,用最小二乘法估计模型Xta0aZtVt,得到残差vtXt 备台0。把残差？t作为解释变量放入回归方程ytXt q ut ,用最小二乘法估计这个人工回归，对显著性假设运用通常的t检验。Ho：0（Xt与t之间没有相关性）Hi：0（Xt与t之间有相关性）注意，由ytXt V； ut可推得 ytXtVt 山，即： tVt ut。利用对ytXtt所做回归得到的残差 2替彳弋t,对系数

6、 作OLS估计，当t检验显著时就表明Xt与t之间有相关性，即 Xt存在测量误差。否则就没有。6、考虑一个单变量平稳过程yt01yti0XtiXt 1t（1）这里，t IID 0, 2以及| J 1 o由于（1）式模型是平稳的，yt和都将达到静态平衡值，即对任何 t有：y E 乂 ， x E Xt于是对（1）式两边取期望，就有y 01y0X1X（ 2）也就是y 0lx k0 kX（3）1111这里k1是y关于x的长期乘数，重写式就有：yt011yti0 Xt o i Xt i t0 i 1 yt iko kixt i o xtt（4）我们称（4）式为（1）式的误差修正机制（Error-corre

7、ction Mechanism ）表达式（ECM ）。在（4）式中我们可以发现长期均衡的正、负偏离对短期波动的作用是对称的。假如这种正、负偏离对短期波动的作用不是对称的，那么模型应该如何设计与估计？ 答：若对误差修正（ECM）模型，假如发现长期均衡的正、负偏离对短期波动的作用是非对称的话,模型可以设计如下:ytXt12 t 1 yt 1k0k1Xt 1 tXt1 yt 1 k0k1Xt 12 t 1 yt 1 k0k1Xt 1其中t1 yt f Xt一、，、口 一一为虚拟变重，表小 Y偏离的方向。0 yt f Xt当yt正偏离时,1 ,误差修正项系数为12当yt为负偏离时,t 0 ,误差修正项

8、系数为 1参数估计的方法可用MLE ,也可用OLS。7、检验计量经济模型是否存在异方差，可以用布罗歇帕甘检验（ Breusch Pagan ）和怀特（White ）检验，请说明这二种检验的差异和适用性。答：当人们猜测异方差只取决于某些解释变量时，布罗歇一帕甘检验（ Breusch Pagan ）比较适合使用；当人们猜测异方差不仅取决于某些解释变量，还取决于这些自变量的平方和它们的交叉乘积项时，怀特（White ）检验比较适合使用。虽然，有时使用布罗歇一帕甘检验无法检验出异方差的存在，但用怀特（ White ）检验却能检测出来。不过，怀特（ White ）检验要用掉很多自由度。8、在模型设定时，

9、如果遗漏重要变量，那么模型中保留下来的变量系数的OLS估计是无 偏和一致的吗？请举简例说明。OLS估计通常是有偏和答：在模型设定时，如果遗漏重要变量，那么模型中保留下来的变量系数的不一致的。例如，假定工资模型为:wagei01eduq2 exo eri3abil i如果估计时遗漏了变量 abili ,得到如下估计模型:_ _ wage01educi2 exper即使假定educ,exper无关，我们也容易证明2也都是有偏和不一致的，且有:E ineduci educ abil i i 13 n2educi educ1 1由于3并且变量educ与abil正相关，因此,1是正偏误和不一致的。1、为

10、了比较 A、B和C三个经济结构相类似的城市由于不同程度地实施了某项经济改革政策后的绩效差异，从这三个城市总计 Na Nb Nc个企业中按一定规则随机抽取 nA nB nc个样本企业，得到这些企业的劳动生产率y作为被解释变量，如果没有其它可获得的数据作为解释变量，并且A城市全面实施这项经济改革政策，B城市部分实施这项经济改革政策，C城市没有实施这项经济改革政策。如何建立计量经济模型检验A、B和C这三个城市之间由于不同程度实施某项经济改革政策后存在的绩效差异？解：把A、B两个城市中第i企业的劳动生产率 yi写成如下模型：yiDAi DBi i ,2i NO, 2i 1,2, EaEa 1, ,nA

11、 nB,nA nB 1, Ea nB nc(1)这里，虚拟变量 D Ai可表示为:Ai1,第i个企业来自于城市 A0,其它DBi1,第i个企业来自于城市B0,其它(3)于是，参数表示城市C企业的期望劳动生产率，而参数表示城市A企业的期望劳动生产率与城市C企业的期望劳动生产率之间的差异，即 + 表示城市A企业的期望劳动生产率；参数表示城市B企业的期望劳动生产率与城市 C企业的期望劳动生产率之间的差异，即+ 表小B城市企业的期望劳动生产率，即：,DAi 1,DBi0E(yi), DAi 041,DAi0,DBi 0(4)要检验城市A企业的期望劳动生产率与城市 B企业的期望劳动生产率之间的有无显著差

12、异,写模型为:yDAi (DBi DAi)其中,i N 0, 2此时，有：E(y)DAi1,DBi0Da041DAi0,DBi0(5)运用t检验看参数是否显著地不为0,否则就认为城市 A企业的期望劳动生产率与城市B企业的 期望劳动生产率之间无显著差异2、用观测值yi, ,y20和Xo,Xi, ,X2o估计模型ytoXtiXt i et得到的OLS估计值为? 5.0 2.237 0.82.21?1 0.31.8622R 0.86 和？25括号内为t统计量。由于?的1值较小，去掉滞后回归自变量 X-重新估计模型，这时，R2为多少?解：去掉滞后回归自变量 Xt i后所估计的模型可以看作是无约束模型：

13、yt0XtiXt 1et在约束条件：R 0之下所得到的估计。这里， R 0,0,1 ,设无约束模型的 OLS残差向量为e,带约束模型的 OLS残差向量为eR,则有:212_ _一ee 25,从而可得到：ee 20?2 25 500201_ _0.0256t ?1-1?1 0.令C XXGj 一，则有 t?从而可得到：C221 . C22注意到带约束模型的 OLS残差平方和与无约束模型的残差平方和存在如下关系:eReR ee R? RXX 1R 1R? ee ?22500 3.47 503.47C222 . SSE . e ee e由 R 1 1 , 可推彳导:SST 2SST SST1 R2同

14、理，由rR 1曳团可推得：rR 1 e曳1 eReR 1 R2 SSTSST ee2 eReR 2503 47所以，RR 1 -RR 1 R21 503 0.24 0.86e e5003、对线性回归模型:Yi xi 1,2, ,n)满足 Exi i 0。假定 z可以作为xi合适的工具变量，且 Var（2|Z）2I ,请导出工具变量估计量，并给出它的极限分布。解：由于Exi i 0 ,所以参数向量的OLS估计将是不一致的。假定Z可以作为X合适的工具变量，对模型进行变换:Zi yZi 为Zi i从而有:TZi Yi i 1TZiXi i 1(3)根据:叫 i1Zii0,Zi i i 1TZi i

15、12 T一ZiZii 1并且plim(1 TZixi)plim(1ZiT i 1i)Mzx?00所以运用OLS估计方法,可得:IVZiXTZiYi i 1注意到:.T %ZXTZi1由（4）和中心极限定理，可得:的极限分布为正态N 0,2Mzz分布，其中：M zz plim1 TTiZia也就是，：？V N2一MzzT4、考虑如下受限因变量问题:1）、二元离散选择模型中的Logit模型，在给定 xi,i 1,2, , N条件之下y1的条件概率为:pi Pr Yi1|x71 exp xi在重复观测不可得的情况下，运用极大似然估计方法证明:其中,XiN?ii 1Nyii 11,Xm,X2,L ,X

16、pexp xexp x2)、为什么利用观测所获得的正的数据* .一 y来估计Tobit模型是不合理的?3)、对Tobit模型:yixi_一 一_2.1,2, ,n以及i服从正态N 0, 分布,求:答案:1 ）、yiyi ,若yi0 ；小、E yi yi0 ;0,右yi(2)、对重复观测不可得的情况详细说明Heckman提出的模型估计方法。证明：对Logit模型，其似然函数可写成如下形式:NP yi1xi * ? Pi 1(1)式的对数似然函数为:Nyii 1log F XiyiXiyi log 1F Xi(2)式关于参数的一阶导数为:yi f XiF XXi于是，一阶条件为:由(3)式可知:N

17、yiXi i 1yi f XiNyii 1NpiXii 1XiXiyiexp xXi1 exp Xiexp Xi1 exp xiXi(4)式可得到:由于xi1,xi1,2,L ,& 中第一分量为常数1 ,所以根据?iyii 12)、假定我们考虑的 Tobit模型为： y2N 0, 分布，满足y yi ,右yi则有：E yi yi 0 Xi E i irr 一八XiIP： E yi yi 0Xi 1XiXii, i 1,2, ,n以及i服从正态0 ； yi 0,若yi0。Xi /xi 1XT-/Xi / XiXi / Xi也就是仅仅考虑利用观测所获得的正的数据* . . . 一, yi来估计To

18、bit模型，所获得的参数 的估计是有偏的，并且其数值大于Xi ,并且依赖于,这就是仅仅运用正观测值子样本来估计Tobit模型的不合理性。3)、我们知道，对于Tobit模型有这样的结论:E yi | yi0 XXi(1)Xi-XiXii这里,如果有关于i的估计，就可得到的一致估计。James Heckman 设计出了一种相对比较简单的两步估计法，但这个估计法能够得到的一致估计。(1)在重复观测不可得的条件下，具体的估计步骤如下：- *第一步，我们通过Probit模型来区分“ yi 0”的观测和“ yi 0”的观测，可以得到:一,一*一-P zi1 xiP y0 xPi X xixi,运用极大似然

19、估计方法有:ZiZiXiXiziZiXi对数似然函数为:ZiInXi0 XiziZiZiIn 1(2)Xi(3)l根据：一ZiXiXiXi0,利用数值运算方法可以求得?pb,这样就很容易获得Xi pbXi ?pb第二步，我们在获得了？之后，考虑下述模型:V X其中，我们假定Ui满足高斯一马尔可夫条件。于是，运用OLS方法可以得到Tobit模型的参数估i 1,2,L ,N)计？。但是，需要注意的是，Ui完全可能不满足高斯一马尔可夫条件，出现序列相关或异方差的现象，因此，需要运用广义最小二乘法（GLS）或可行的广义最小二乘法 （FGLS）。一般情况下，由 OLS方法得到的t检验是有偏的。另外，He

20、ckman的二步估计法不如 Fair的极大似然估计法那样有效。因此，只要可能的话，最好采用极大似然估计法。计量经济学博士研究生入学试题（B）解答一、简答题1、说明随机游动过程和单位根过程的联系与差异？如何检验某个经济变量具有单位根？答：随机游动过程在形式上与单位根过程完全一样，但它们之间的本质性差异在t上。当t是白噪声时，我们就称该过程为随机游动过程（ random walk ）;当t是平稳过程时，该过程就是单位根 过程。随机游动过程是单位根过程的一种特殊情形，它是非平稳过程。如果某个经济变量的数据发生过程满足ytyt 1 Ut，假定随机干扰项Ut独立同服从于均值为0,方差为 2的分布时，检验

21、它是否具有单位根可以用迪基和富勒（ DF）检验；如果放宽对随机干扰项的限制，允许随机干扰项Ut服从一个平稳过程，即 UtCj t j ,在这种j o的情况下，它是否具有单位根可以用增广的迪基和富勒（ ADF）检验。2、协积的概念是什么？如何检验两个序列是协积的？答：如果yt和Xt都是非平稳I 1过程变量，则我们自然会预期它们的差，或者诸如 et yt12Xt 一类的任何线性组合也是I 1的。但是，有一种很重要的情形就是et yt12%是一个平稳的I 0过程。这一情形我们称 yt和是协积的。协积意味着yt和Xt拥有相似的随机趋势，于是它们的差et就是平稳的，它们相互之间绝不会偏离太远。协积变量y

22、t和Xt之间表现出一种定义为 yt12Xt的长期均衡关系，而 et是均衡误差，表示对长期均衡关系的一种短期偏离。通过检验误差et yt12Xt是否平稳，我们判断 yt和xt之间是否协积。因为我们不能观察et,所以就使用迪基富勒（DF）检验，通过检验最小二乘估计的残差? 乂 ？i ?2天的平稳性来替代。3、在二元离散选择的模型中解释变量为卜变化作用的符号与其系数k的符号有什么关系？为什么？至少写出二点关于Tobit模型与二元离散选择的模型的区另ij?答：在Probit模型、Logit模型中的参数是无法直接解释的。我们可以通过如下微分来考察这些模 型:Xik( 1 )Xi112exp - XiXi

23、k-：/22x内xixixiG Xie 1 e e e exik1 eXi 21eXi这里，Xi 表示标准正态密度函数。这些微分度量了Xik变化的边际作用。Xik变化的边际作用都依赖于Xik的数值。在（1 ）和（2）两种情况下，Xik变化作用的符号与其系数k的符号是相致的。Tobit模型与二元离散选择的模型的区别：（1）概率单位模型和Tobit模型的区别是前者因变量使用的是哑变量，后者因变量使用的是删尾的连续变量；（2）Tobit模型中y 0要比yi0时yiyi有更重的权数，因为有Pr yi 0|XiPryi0 | Xi ,这是其它离散选择模型所不具备的。4、海德拉斯（Hildreth ）和卢

24、（Lu） （1960） 检查分析了 30个月度的时间序列观测数据（从1951年3月到1953年7月），定义了如下变量：cons = 每人冰激凌的消费量（按品脱计）income =每周平均的家庭收入（按美元计）price =每品脱冰激凌的价格（按美元计）temp = 平均气温( F)1)、用cons对income , price , tem和常数作线性回归模型，得到DW 统计量的数值为 1.0212 ,请说明模型存在什么病态？答：说明模型的随机误差项可能存在序列相关，因此，用 cons对income , price , tem和常数作 线性回归模型所得到的参数估计可信度低。2)、上述模型中加入平

25、均气温的一阶滞后项tem(-1),得到DW 1.5822,并且该项的系数估计为负，请说明加入该项的作用以及系数为负的经济含义。答：模型中加入平均气温的一阶滞后项tem(-1)后，有助于改善随机误差项存在序列相关所带来的干扰和影响；该项系数为负说明，如果上月的平均气温很高，当月趋于正常的话，当月每人冰激凌的消费量不会保持上个月的高水平，只会有所下降，并与当月的平均气温呈正向因果关系；反之也一样。3)、请写出2)中模型的另一种表达式，说明该表达式中变量系数的符号，解释符号的经济意义。答：若 const01 pricet2incomet3tempt4tempt 1 t ,且其参数满足：10,20,3

26、0,40 ,且有 34 ,因为，一般当月的平均气温对每人当月冰激凌的消费量影响最大。我们可以把上述模型进行变形，即：const01 pricet2incomet ( 34)tempt4(tempt tempt 1) t01 price t2incomettempttemptt其中，各个变量的系数满足10,20,0,0。这说明每人月冰激凌的消费量受价格的抑制影响，而收入与当月的平均气温与每人冰激凌消费量的走向一致，当月平均气温的变化量与每人冰激凌消费量的变化也是一致的。2224、说明R2和调整的R2之间的差异，为什么在多变量线性回归模型的拟合评价中人们主要用R2,而不是一般的决定系数 R2呢?答

27、：由于R2 1N (p 1)N20i 1SSE/ N p 1SST/ N 1R21N 2Si 1IN_ 2yi yi 1SSESST因此，当模型中引入另外的回归变量时，无论这个变量是否合理,R2值永远不会减小。 R2是用于修正自由度的拟合优度度量，即:1N2eiR21)i1112小 yN 1 i 1SSE/ N p 1SST/ N 11R2于是，当模型中引入另外的回归变量时,R2值也许就会减小。因此,R2并不依赖于模型中解释变量的个数，这也就是在多变量线性回归模型的拟合评价中人们主要用-2R ,而不是用一般的拟合2 优度R 。5、对于一种简化的异方差模型，即假定：Var i / Xi2h：,这

28、里假定hi可以被?估计的。那么关于参数的可行的广义最小二乘估计（FGLS）量如何得到？它是否还具有广义最小二乘估计的优良性质?答：假定Var i /Xi2.2hi , hi是已知的。于是，关于参数的广义最小二乘估计（GLS）量适用于下述转换了的模型:Xiihi(L)ihihi很明显，转换了的模型的随机扰动项具有同方差。这样，就产生了 GLS估计量：N1 N22GLShi XiXihi m由于hi可以被I?估计，则得到参数 可行的广义最小二乘估计（FGLS ）量，即N1 N?fglsh?2Xi xi?2xyii 1i 1显然，7GLs不再具有无偏性的性质，但一致性继续保持。7、在美国有人对密歇根

29、的 Ann Arbor 的大学生进行调查，认为男生和女生对空间（用ROOMPER 度量）和距学校的距离（用 DIST度量）具有不同的观点。试问如何利用租金（用 RENT度量） 数据对下述模型：RENT 12 SEX 3 ROOM PER 4 DIST1234用F检验法检验假设Var男 Var女？注：SEX为虚拟变量 一一（1；如果是女生；0；如果是男生）。答：假定被调查的男大学生和女大学生人数分别为Ni和N Ni,利用被调查的男大学生和女大学生的数据分别对下述模型:RENTi 12 ROOMPER i 3 DIST进彳t OLS估计，得到)2男2 eiii 1N1 3)2女N N1 2 e)i

30、i 1(N N1) 3于是，对原假设Ho：22和备择假设H1:22 o.、?2.22检验统at量为F - 在原假设Ho：男 女 成立时服从F N1 3, N N1 32女分布。若F F1 N1, N N1 3 ，则拒绝原假设设Ho,认为Var男 Var女成立；否则,就认为Var男 Var女不成立。8、为了研究美国住房需求情况，我们利用对3120个家庭调查的截面资料资料，对以下回归模型:log Q 12 log P 3 log Y其中 Q=3120个家庭中的任何一个家庭每年所需要的住房面积平方英尺数；P=家庭所在地住房的价格；Y=家庭收入。假设我们认为住房需求由两个方程组成，一个描述黑人的住房需

31、求，另一个描述白人的住房需求，这个模型可以写成：log Q 12 log P 3 log Y ；白人家庭log Q i 2 log P 3 log Y ；黑人家庭我们希望对黑人需求方程的系数等于白人需求方程的系数的原假设进行检验。这个假设是联合假设：112233为了对上述假设进行检验，我们首先对上述模型进行估计，并将每个方程的误差平方和相加,得到ESSur 13640。现在，假设原假设为真，则模型简化为logQ 12 log P 3 log Y所有家庭对这个模型进行估计，得到它的误差平方和ESSr 13838。我们能否认为系数全相等是正确的?答：对于黑人需求方程的系数等于白人需求方程的系数的原

32、假设进行检验，我们采用邹检验（ChowESSp ess 3test ）。在原假设成立时，F R7F 3,3114 ,计算检验统计量ESSur 3114F 3,3114的临界值，所ESSr ESSur 3198 3F 15.1 ,远大于5%显者性水平时ESSUR 311413640 3114以拒绝黑人需求方程的系数等于白人需求方程的系数的原假设，它们之间存在显著差异。、综合题1、假定模型的矩阵形式y X ，其中 E 0, EX 0；21）、假定EIt,求在R r条件下，参数的最小二乘估计量。222）、假定E1T且 是正态向量 N 0,1T，构造检验原假设 Ho：R r q rank（R）3)、4

33、)、解:的检验统计量，并说明该检验统计量服从F分布。如何判断参数线性约束条件是否成立，请做说明。证明：对模型显著性检验的统计量F是模型y X1 ）、要求在约束R2 kl，请说明原假设是什么？其中，R21 R2 T k 1在无约束条件下作OLS估计所得到的拟合优度。条件R r下，参数向量的最小二乘估计量,目标是求向量函对上述函数求导可得:因为,所以,2)、r达到最小时的参数向量2X y2Xy1XX XyR XXR OLS2 XX1 _XX ROLSXX1R(2)R ?OLSR XX1R(3)R 1R ?ols1XX R R XXR XX R1?R OLSR ,oLS根据上式中带约束参数向量的最小

34、二乘估计公式,我们有:R?OLSXX 1R R XX 1R1?R OLS从而，可以得到带约束参数向量模型的最小二乘估计残差公式:eReoLsX XX R R XX ROLSeR eReDLS eOLSR ZlSr R X X_1R R XXXeOLSeoLsX1 _ _1 _XX R R XX R1 nR OLSR ?OLSeReReOLS eOLSR ?olsr R X X 1R 1 R ?olsr 0(7)_1 _1 _11 _ _1 _1r R XX R R XX XX XX R R XX RR?lsr整理以后可得到:也就是说，带约束参数向量模型的最小二乘估计残差平方和相对于无参数向量约

35、束模型的最小 二乘估计残差平方和会变大，即：eReR eUOLS eUOLS（8）要检验原假设 H0： R r是否成立，需要构造检验统计量。根据（8）式中所体现的性质，我们构造F检验统计量：eReR eUOLS eJOLS qF ；- , 这里 q rank（R）。eUOLS eJOLS N p 1（9）当原假设H0： Rr成立并且误差向量不仅满足高斯一马尔柯夫条件，还满足正态分布时，可以得到：FeReR eUOLS电0-：q服从自由度为q,N p 1的FeUOLS eUOLS N p 1分布，即F q, N p 1。3）、对于给定的检验水平，若FF1q,N p 1时，说明带约束参数向量模型的

36、最小二乘估计残差平方和eReR与无参数向量约束模型的最小二乘估计残差平方和eUOLS OJOLS之间差异显著，此时，我们对参数向量的约束条件rr不成立，也就是说在原始模型中并不存在参数之间的这种约束关系。因此，我们拒绝原假设 H。若F F1 q,N p 1时，说明带约束参数向量 模型的最小二乘估计残差平方和eReR与无参数向量约束模型的最小二乘估计残差平方和 eUOLSeUOLS之间在统计上没有什么差异，此时，我们对参数向量的约束条件R r是合理的，也就2Rj和参数向量带约束条是说在原始模型的参数之间确实存在着这种关系。因此，我们接受原假设H。4）、注意到无参数向量约束条件时模型的拟合优度（或

37、称决定系数）2.件时模型的拟合优度（或称决定系数）Rr分别为:R21 鬻，RR1SSErssTU22从而有：SSE 1 RU SST, SS& 1 RR SST可以推得：SSER SSEJ eReR eJOLS eUOLS R RR SST这样，残差形式的 F检验统计量:eR eReUOLS eUOLSqeJOLS eJOLSN P 1又可以写成拟合优度形式的 F检验统计量:R2RR qR2N p 1RJ2 p因此，当对模型显著性检验的统计量数都为零，即Ho :12F 2-7,则原假设指的是所有解释变量的系1 RJ2 T p 1P 0。也就是当Ho成立时，有rR 0。这时，对模型显著性检验的统

38、计量FR2 P1R2T p 12、对线性回归模型：y X ,其中随机误差向量满足高斯-马尔可夫条件。1）、定义最小二乘估计量 b .2）、如果X的第一列每个元素都是1,证明最小二乘残差和为零，即e 0。3）、令 （1, 2） RK1 K2,b（b1,b2）, 和 X（X1,X2）,推导 b 和 b2 的表达式。4）、如果E 2与单位矩阵不成比例，试推出b和？（GLS）方差形式。解：1）、按照最小二乘的思想，我们定义该模型最小二乘估计量1b XX X y注意，这时我们认为 XX是可逆的矩阵。112 ）、 令 X , X1 ，其中，则根据残差向量的矩阵形式11e y Xb I X XX X y ,

39、可以得到：Xe 0,于是可推得：e 00X e ei,即有：30。X1 X1eX1e0113）、令 M1 I1 X1 X1X1 1X1 , M2 I2 X2 X2X2 1X2根据 y X1 1 X2 2 (1)由(1)式左乘 M1，可得：M1y M1X1 1 M 1X2 2 M 1 (2)1 .注意到：MiXi0 ,可得：b2X2M1X2X2M1y (3)1.同理：M2X20 ,可得：bX1M 2X1X1M2y (4)4）、如果E与单位矩阵不成比例，则根据:P ,满足P P I ,也就是22I 。因此，对变换了的模型运用最Var b Var X X 1X y XX 1 X Var y X X

40、X可得： Var b 2 XX 1 X X XX由于E 2为对称正定矩阵，所以存在非奇异矩阵11 .、P P 。根据这一性质，我们对模型进行变换:_一一_2_Py PX P ,显然，Var P P P小二乘估计，得到：?GLS XPPX 1XPPy X 1X 1X 1y11112111211从而，Var ?GLS XXX()XXX XX。3、假设年轻男性职员与年轻女性职员的工资之间存在着恒定的差别，为检验年轻男性职员与年轻女性职员受教育的回报是否相同以及方便起见，在模型中只包含受教育水平和性别二个定性的解释变量。试设计模型既能体现存在恒定的工资差别，又能反映存在受教育回报上的差别，并对模型参数

41、的估计及其所蕴涵的意义进行讨论。解：假设年轻男性职员与年轻女性职员的工资(wage)之间存在着恒定的差别，同时为方便起见，在模型中只包含受教育水平(edu)和性别(female)二个定性的解释变量。为进行模型分析，我们把定性的解释变量转换为可进行定量分析的虚拟变量，即：female1,第i个被观测者是年轻女性 职员0,否则0,1,edui2,第i个被观测者没有受过初 等教育 第i个被观测者受过初等教 育 第i个被观测者受过中等教 育 第i个被观测者受过高等教 育由于本问题涉及的解释变量多于1个虚拟变量，因此，当被解释变量取为log wage时，这些虚拟的解释变量系数就具有一种百分比的解释。为检

42、验年轻男性职员与年轻女性职员受教育的回报是否相同，考虑到加入解释变量交互项能够产生不同的斜率这一作用，我们设计如下模型：log wage i 00 femalei 11 femalei eduii (1)在(1)式中代入femalei 0 ,就会发现，年轻男性职员这一组的截距为0,而受过初等教育的斜率为 1。对于年轻女性职员这一组，代入femalei 1 ；于是其截距为0,而受过初等教育的斜率为11。因此，0度量了年轻男性职员与年轻女性职员在截距上的差异，1度量了年轻男性职员与年轻女性职员在受过初等教育回报上的差异。要估计*II型（1）,我们可以把它改写成：log wage i 00 femalei iedui 1 femalei ?edui i （2）对模型（2）中我们可以用 OLS方法估计出参数0, 0, 1, 1。对于0, 1的取值可以分成如下四种情况： 0 0, 1 0；（2） 0 0, 1 0;（3） 0 0, 1 0;