常见不等式通用解法

1、常见不等式通用解法常见不等式通用解法总结一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二 次不等式的不等式基础一元二次不等式如2x2 -X -6 0 ,对于这样能够直接配方 或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注 解区间的“形状”。当二次项系数大于0,不等号为小于（或小于 等于号）时，解区间为两根的中间。2X2.X-62,令t=3x,原不等式就变为t2-3t+2V0,再 算出t的范围，进而算出x的范围又如x2ax4+| ,令t=x2 ,再对a进行分类讨论来确 定不等式的解集含参数的一元二次不等式解法步骤总结:序 号步骤1首先判定一次项系 数是否为0,为0则 化为一元一次不等 式，再分类讨论2二次

2、项系数非0,将 其化为正的，讨论判 别式的正负性，从而 确定不等式的解集3若可以直接看出两 根，或二次式可以因 式分解，则无需讨论 判别式，直接根据不 同的参数值比较两 根大小4综上，写出解集如不等式x2+ax+lA0,首先发现二次项系数大于 0,而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨 论八-，的正负性即可。 0,( q, 2 ( ,收)、22又如不等式x2-(a2+a)x+a30,发现其可以通过因式 分解化为支-虫-声对，所以只需要判定a2和a的大小 即可。,、a = 0or a =1,x 三 R|x ；a此不等式的解集为 ha -,a2)u(a+)c,，_、，2， _、a 1,(-i,a)

3、5a ,)又如不等式 ax2 -2(a +1)x +40 , 注意：有些同学发现 其可以因式分解，就直接写成 (ax-2)(x-2)0 , 然后开 始判断两根2和2的大小关系，这样做是有问题a的。事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是 一元二次不等式，所以参数a是有可能为0的。 讨论完a=0的情况再讨论a0的情况。所以此 不等式的解集应该是：a=0,(g,2)a0,(2,2) a2a 1,( 一匚-1,一). (2, )aa=1,xW R|x#22，20 a 0和a,S)步骤：将不等式化为标准式，一段为0,另一端为 一次因式的乘积(注意！系数为正)或二次不可 约因式(二次项系数为正)。画出数

4、轴如下，并从最右端上方起，用曲线 自右向左一次由各根穿过数轴。记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的 符号写出解集。例如，求不等式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)0的解集，画出 图如下，发现解集为S1)u(2,3)u(4,收)33为什么数轴标根法是正确的呢？对于不等式 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)0来说，要满足四项相乘为正，说 明四项均正，解集为(4人)两正两负，只能是 (x-1),(x-2)正，(x-3),(x-4)负，此时解集为(2,3)四项均 负，解集为S1)。综上，解集为这三种情况的并 集。当不等式左侧有奇数项的时候同理。由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情 况，

5、如果不把系数化为正的，结果一定是错误的。注意，这种方法要灵活使用，若不等式为 (x-1)2(x-2)(x-3)(x-4)0 ,使用数轴标根法得到的解集显 然和上述不一样，因为(x-1)2是偶次项，必然非负, 所以在“穿针引线”时，可以忽略，或者可以记 住口诀“奇穿偶不穿”。三、解分式不等式分式不等式的解题思路，前面讲了一些不等式 的求解，都是讲不等式的一边化为0,另一边为含x的多项式。把一个分式不等式经过移项和通 分处理，最终总能化为 震。(或,空的形式)，此 g (x)时解f(x)g(x)。就可以解出原不等式的解集。特别地，若要解 四M。，则解收量。即可。g(x)g(x):。例如，1,移项化

6、简得 之丝鼻0,使用穿针 x-x-6x-x-6引线法得到解集为x|x3,一定要注意分母不为零，而分子可以为零。例：一道比较复杂的题，求 小口)的解集， 7x -27现写出此题的完整解题过程。解：原不等式通过移项通分可化为(a-1)x-(a-2)0,x-27a -2由于a #1,所以可以进一步化为 fl。,两根 7x-27为二和2。a -1当a1时，解集为两根的两边，显然有 好2, 77a-17所以此时解集为一,)一 (2,二)a -1当a1时，解集为两根中间，此时必须根据a的取值判断两根范围。当0a2,此时解集为(2,当a -1a -1当a=0时，*=2,此时解集为0a -1当a。时，=1的解

7、集x求1 1的解集 x求1 一1的解集 x求1*1的解集 x求与2的解集 x解答：(0,1) S,0)S1，也)(-1,0)(口,-1)30,收)(一 1)1，二)，注意的区别 32四、绝对值不等式对于含有绝对值的不等式，解题思想为直接脱去绝对值符号f(x) g(x)u -g(x) f (x) g(x)|f(x) Ag(x)u f (x) Ag(x)或 f(x) -g(x)构造函数，数形结合在不等式的一端有多个绝对值时，使用零点分段法分类讨论(分类讨论思想随处可见)平方法(不等式两边都是非负时才能用，慎 用)例：图形法某经典问题，解不等式1-1 a,先x 7画出f(x)=1-1的图像如下，然后

8、分类讨论a的取值, x通过观察y = f(x)和y=a的图像，来确定不等式的解集情况4.5I ；44：;三3.5小, Ig(x) = 12.5：/ Ily2 二: I1.5-三：一一 0.5 I 11, TH I F I B+HT+埠 1打IJM I III liqi I EB + IJ+T kN 卜14 4M 卜+HT-H 111 I “ I B11 I I 厂 I I I I I I E I k I I/早-HT+HT 卜 M H “ MB 丫 川”-0.5-1_1.5当aV0时，y = f(x)的图像在y=a的图像上方，除了点(1,1),此时显然不等式无解当a=1时，y=f(x)的图像与

9、y=a的图像交点为(11),此时的解集为(J二)当0a1时，y = f(x)的图像与y=a的图像交点横坐标为：，*,此时解集为 5六)，(去土)1 -a 1 a1 -a 1 a当然此题使用| f (x) g(x)tt -g(x) f(x) Mg(x)也可以做,化成f 15 ,发现不等号左边有两个绝对值，所以应该根据两个不同的零点分段讨论当xzl时，原不等式化为2x+1Z5,解得XZ2 当心x1时，原不等式化为3Z5,显然无解 当xN时，原不等式化为-1-2x25,解得XV4 综上，原不等式的解集为三种情况下的并集（注意，为什么是并集而不是交集？），（。一32,收） 技巧：可以将绝对值看成距离，

10、也就是将|x-1看 成数轴上点x到点1的距离，将|x+2看成x到-2的 距离，若画出数轴，发现位于区间 BE的点（绿 色点）到区间端点的距离之和为 3,位于区间-2,1 之外的点到区间端点的距离之和大于 3,特别地， 在2处和-3处距离之和为5,所以令x继续远离 区间3,发现距离之和大于5。2 11.O*11-21也就是说|x -1 + x +2的取值范围是3, F同理，遇到减号的情况，例如381,发现其 取值范围是 44此技巧常用于填空题，既可以求不等式解集， 又可以求参数的范围。例1：若存在实数x使得不等式，x+1+ix-aM1成立， 则a的取值范围是?（答案-2,0）例2：不等式x+2-x-1文的解集是?（答案（-2）五、无理不等式无理不等式能出的考题较少，主要是要注意偶 次根号下式子要非负。（终于可以用平