高等数学 张明望 D8_8多元函数的极值与最值

1、目录 上页 下页 返回 结束 一、二元函数的极值一、二元函数的极值 二、二元函数的最值二、二元函数的最值 三、条件极值三、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 设函数设函数z=f (x , y)的定义域为的定义域为D，极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值 .使函数取得极值的点称为极值点。使函数取得极值的点称为极值点。则称函数则称函数f (x , y)在点在点( x0, y0)有极大值有极大值(或极小值或极小值)f (x0 ,y0),点点( x0, y0)称为函数称为函数f (x , y)的极大值点的

2、极大值点(或极小值点或极小值点) .),(),(00yxfyxfP0( x0, y0)为为D的的内点内点.若存在若存在P0的某个邻域的某个邻域 ,0DPU使得对于该邻域内使得对于该邻域内异于异于P0的任何点的任何点( x , y)，都有，都有00,yxfyxf或目录 上页 下页 返回 结束 例如例如 :在点在点 (0,0) 有极小值有极小值;在点在点 (0,0) 有极大值有极大值;在点在点 (0,0) 无极值无极值.2243yxz22yxzyxz xyzOxyzOxzyO目录 上页 下页 返回 结束 函数函数偏导数偏导数,证证:0),(,0),(0000yxfyxfyx且在该点取得极值且在该点

3、取得极值 , 则有则有),(),(00yxyxfz在点具有具有不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,在该邻域内取在该邻域内取的点而00 xxyy有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必必有有 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 使偏导数都为使偏导数都为 0 的点称为驻点的点称为驻点 . 例如例如

4、, 驻点不一定是极值点驻点不一定是极值点.有驻点有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取得极值但在该点不取得极值.yxz 推广推广 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxP具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zyxP有极值的必要条有极值的必要条件为件为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.目录 上页 下页 返回 结束 时时, 具有极值具有极值的某邻域内连续且有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内连续且有一阶和二阶连续偏导数, 令令则则: 1) 当当A0 时取极小值时取极小值.2) 当当3) 当当时时, 没有极

5、值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需另行讨论需另行讨论.若函数若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC又又目录 上页 下页 返回 结束 第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C. 第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.具

6、有二阶连续偏导数的函数具有二阶连续偏导数的函数z=f (x , y)的极值的求法：的极值的求法：目录 上页 下页 返回 结束 求函数求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0) 处处为极小值为极小值; ;解方程组解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值的极值. .求二阶偏导数求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxy

7、xf933),(2233目录 上页 下页 返回 结束 在点在点( 3,0) 处处不是极值不是极值; ;在点在点( 3,2) 处处为极大值为极大值. .,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点在点(1,2) 处处不是极值不是极值; ;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC目录 上页 下页 返回 结束 将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx驻驻点点为为)1, 1(

8、P,将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,解解例例2.目录 上页 下页 返回 结束 ,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 将将)1, 1( P代代入入原原方方程程,所所以以2)1, 1( fz为为极极小小值值；函数在函数在P有极值有极值 .有有所以所以为极大值为极大值 .目录 上页 下页 返回 结束 函数函数 f 在有界闭域上连续在有界闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点边界上的最值点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在当区域内部最值存在, 且只有一个极值点且只有一个极值点P 时时, )

9、(Pf为极小值为极小值)(Pf为最小值为最小值( (大大) )( (大大) )依据依据目录 上页 下页 返回 结束 解解先先求求函函数数在在D内内的的驻驻点点，xyo6 yxD解方程组解方程组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域得区域D内唯一驻点内唯一驻点)1 , 2(, 再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值， 目录 上页 下页 返回 结束 xyo6 yxD 比较后可知比较后可知4)1 , 2( f为最大值为最大值,64)2 , 4( f为最小值为最小值.,64)2 , 4( f得得4, 021 xx, 2|64 xxy由由 02)6

10、(42 xxxfx,于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6 在在边边界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 2( , )(4)f x yx yxy目录 上页 下页 返回 结束 解解: 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x , y m ,则高为则高为则水箱所用材料的面积为则水箱所用材料的面积为令令得驻点得驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水的有盖长方体水箱箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省才

11、能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可因此可断定此唯一驻点就是最小值点断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时, 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233目录 上页 下页 返回 结束 极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值 :条件极值的求法条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其他条件限

12、制还有其他条件限制例如例如 ,转化转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz目录 上页 下页 返回 结束 ,0),(下在条件yx分析：分析：如果函数在如果函数在(x0 , y0)取得所求的极值，取得所求的极值，.),(的极值求函数yxfz 例如例如,则有则有0,00yx0),(yx可确定隐函数可确定隐函数, )(xy方程方程将其代入将其代入函数函数yxfz,得得)(,(xxfz故极值点必满足故极值点必满足0dd,dd000000 xxyxxxxyyxfyxfxz目录 上页 下页 返回 结束 再由再由0000,dd0yxyxxyyxx

13、x0),(yx用隐函数的求导公式，有用隐函数的求导公式，有代入，得代入，得0dd,dd000000 xxyxxxxyyxfyxfxz0,00000000yxyxyxfyxfyxyx设设0000,yxyxfyy0,00yx目录 上页 下页 返回 结束 引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数L (x , y) 称为拉格朗日称为拉格朗日( Lagrange )函数函数.0 xxxfL0yyyfL0L极值点必满足极值点必满足0,0000yxyxfxx0),(00yx则极值点满足则极值点满足:利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(,y

14、xyxfyxL0,0000yxyxfyy目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形个约束条件的情形. 设设解方程组解方程组得到可能的极值点得到可能的极值点 . 例如例如, 求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfL021xxxxfL021yyyyfL021zzzzfL00目录 上页 下页 返回 结束 要设计一个容量为要设计一个容量为0V则问题为求则问题为求x , y ,令令解方程组解方程组解解: 设

15、设 x , y , z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高,下水箱表面积下水箱表面积最小最小.z 使在条件使在条件xL02zyyzyL02zxxzzL0)(2yxyx00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱, 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxLxyz试试问问目录 上页 下页 返回 结束 得唯一驻点得唯一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省倍时，所用材料最省.因此因此 , 当高为当高为

16、,340Vxyz思考思考:1) 当水箱封闭时当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何长、宽、高的尺寸如何?提示提示: 利用对称性可知利用对称性可知,30Vzyx2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价欲使造价 应如何设拉格朗日函数应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何长、宽、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxL2长、宽、高尺寸相等长、宽、高尺寸相等 .最省最省,目录 上页 下页 返回 结束 解解设设),(000zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxF,则则202|axFPx ， 20

17、2|byFPy ， 202|czFPz 过过),(000zyxP的切平面方程为的切平面方程为例例6 在第一卦限内作椭球面在第一卦限内作椭球面1222222czbyax体积最小，体积最小，求切点坐标。求切点坐标。的切平面，的切平面， 使切平面与三个坐标面所围成的四面体使切平面与三个坐标面所围成的四面体目录 上页 下页 返回 结束 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化简为化简为 1202020 czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ，02yby ，02zcz ,所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661zy

18、xcbaxyzV ,目录 上页 下页 返回 结束 在条件在条件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxG 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax ,由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxGGGzyx目录 上页 下页 返回 结束 当当切切点点坐坐标标为为(3a，3b，3c)时时,四面体的体积最小四面体的体积最小abcV23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz 目录

19、 上页 下页 返回 结束 1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步第一步 利用必要条件在定义域内找驻点利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组即解方程组第二步第二步 利用充分条件利用充分条件 判别驻点是否为极值点判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法简单问题用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法一般问题用拉格朗日乘数法目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数设拉格朗日函数如求二元函数如求二元函数下的极值下的极值,解方程组解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及

20、边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值根据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数找目标函数, 确定定义域确定定义域 ( 及约束条件及约束条件)在条件在条件求可能的极值点求可能的极值点 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfL0 xxxfL0yyyfL0L目录 上页 下页 返回 结束 已知平面上两定点已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆试在椭圆圆周上求一点圆周上求一点 C, 使使ABC 面积面积 S最大最大.解答提示解答提示: 设设 C 点坐标为点坐标为 (x , y), 21031013yxkj

21、i)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx则则 ACABS2110321yxCBAyxEDO目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数设拉格朗日函数解方程组解方程组得驻点得驻点对应面积对应面积而而比较可知比较可知, 点点 C 与与 E 重合时重合时, 三角形三角形面积最大面积最大.)491 ()103(222yxyxL092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2EDSS目录 上页 下页 返回 结束 P130-131 1，4, 10 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 注 解解: 设内接三角形各边所对的圆心角

22、为设内接三角形各边所对的圆心角为 x, y, z, ,2zyxzyx它们所对应的三个三角形面积分别为它们所对应的三个三角形面积分别为,sin2211xRS ,sin2212yRS zRSsin22130,0,0zyx设拉氏函数设拉氏函数)2(sinsinsinzyxzyxL解方程组解方程组0cosx, 得得32zyx故圆内接正三角形面积最大故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为最大面积为 32sin322maxRS.4332R0cosy0cosz02zyx注则 目录 上页 下页 返回 结束 因此前者不可能为圆内接三角形中面积最大者因此前者不可能为圆内接三角形中面积最大者. BCA1A若若ABC 位于半圆内位于半圆内(如图如图) , 则其则其BC 边上的高边上的高小于小于A1BC 同边上同边上的高的高, , 故前者的面积小于后者，故前者的面积小于后者， 目录 上页 下页 返回 结束 为边的面积最大的四边形为边的面积最大的四边形 ,试列出其目标函数和约束条件试列出其目标函数和约束条