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1、第第6章章 微分方程模型仿真微分方程模型仿真常微分方程的数值求解常微分方程的数值求解微分方程模型的建立及仿真微分方程模型的建立及仿真6.1 微分方程的求解微分方程的求解 在现在数学研究和工程实践中，很多在现在数学研究和工程实践中，很多数学模型都是用微分方程确定的，很多基数学模型都是用微分方程确定的，很多基本方程本身就是一个微分方程，因此求微本方程本身就是一个微分方程，因此求微分方程非常重要，但是大部分的微分方程分方程非常重要，但是大部分的微分方程目前难以求得其解析解，因此人们只有利目前难以求得其解析解，因此人们只有利用计算机强大的计算功能来求其数值解。用计算机强大的计算功能来求其数值解。MAT

2、LAB主要使用龙格主要使用龙格-库塔法求解微分方库塔法求解微分方程。程。 在控制系统仿真中，常用的求微分方在控制系统仿真中，常用的求微分方程数值解的函数是程数值解的函数是ode23和和ode45。1. ode23 在在MATLAB中，函数中，函数ode23采用采用2-3阶龙格阶龙格-库塔法求解微分方程。库塔法求解微分方程。t,y=ode23(odefun,tspan,y0)t,y=ode23(odefun,tspan,y0,options)odefun：定义微分方程的形式：定义微分方程的形式y=f(t,y)tspan=t0,tfinal：表示微分方程的积分限从：表示微分方程的积分限从t0始值到

3、始值到tfinal终值），该积分限也可以是终值），该积分限也可以是一些离散的点。一些离散的点。y0:初始状态列向量初始状态列向量options：积分参数，包括：积分参数，包括RelTol（相对误差（相对误差和和AbsTol（绝对误差），可省略。（绝对误差），可省略。例：使用例：使用ode23函数求解常微分方程函数求解常微分方程y=-y+x2+4x+1，x=1 4， x=1时，时，y=1。解：首先创建函数解：首先创建函数fun1.mfunction f=fun1(x,y)f=-y+x2+4*x+1;在命令窗口中输入在命令窗口中输入 x,y=ode23(fun1,1,4,1); dy=-y+x.2

4、+4*x+1; plot(x,y,x,dy); legend(y,dy)11.522.533.540510152025ydy2. ode45 在在MATLAB中，函数中，函数ode45采用普通采用普通4-5阶阶龙格龙格-库塔法求解微分方程。其使用方法与库塔法求解微分方程。其使用方法与ode23函数的使用方法基本相同。函数的使用方法基本相同。 ode45函数是大部分场合的首选算法，函数是大部分场合的首选算法，ode23函数主要适用于精度较低的场合。函数主要适用于精度较低的场合。例：解经典非线性方程，范得波例：解经典非线性方程，范得波Van der Pol微分方程微分方程=2）。）。0)1 (22

5、2xdtdxxdtxd当当t=0时，时，x=1，dx/dt=0。0)1 (222xdtdxxdtxd解：（解：（1将高阶微分方程式等价变换成一阶微分方将高阶微分方程式等价变换成一阶微分方程组。程组。令令y1=x且且y2=dx/dt dy1/dt=y2 dy2/dt=w(1-y12)y2-y1（2编写编写M文件表示该微分方程，该文件给定时间及文件表示该微分方程，该文件给定时间及y1和和y2的值，返回上述的导数值，并将的值，返回上述的导数值，并将yy1和和y2与与导数值以列向量的形式给出。导数值以列向量的形式给出。function fun2=vdpol(t,y)fun2=y(2) 2*(1-y(1

6、)2)*y(2)-y(1)%输出结果必须是列向量，输出结果必须是列向量，w=2（3计算结果如下：计算结果如下： t,y=ode45(vdpol,0 30,1;0); y1=y(:,1); y2=y(:,2); plot(t,y1,:b,t,y2,-r) legend(位移位移,速度速度)3. 定积分的数值解法定积分的数值解法 MATLAB软件使用软件使用quad函数进行定积分的函数进行定积分的数值解法。使用格式为：数值解法。使用格式为：q = quad(fun,a,b)fun：被积分函数：被积分函数a、b：积分上下限：积分上下限例：计算下列定积分例：计算下列定积分xxxd521203funct

7、ion y = myfun(x) y = 1./(x.3-2*x-5); Q = quad(myfun,0,2)Q = -0.4605 F = (x)1./(x.3-2*x-5); Q = quad(F,0,2)Q = -0.46056.2 微分方程模型微分方程模型6.2.1 方法描述方法描述 微分方程模型是数学模型的一种主要微分方程模型是数学模型的一种主要形式。当采用一阶微分方程的数值积分法形式。当采用一阶微分方程的数值积分法进行数值计算时，应把高阶微分方程变换进行数值计算时，应把高阶微分方程变换成成n个一阶微分方程形式。对于微分方程而个一阶微分方程形式。对于微分方程而言，除了少数可以得到解

8、析解外，大多数言，除了少数可以得到解析解外，大多数只能采用数值解法。只能采用数值解法。 在在MATLAB中，使用中，使用ode函数求解微函数求解微分方程模型。分方程模型。6.2.2 简单电路模型仿真简单电路模型仿真例：在例：在RC电路中，电阻电路中，电阻R=5，理想电压，理想电压源为源为Vi=20V，电容，电容C=70F。分析电容元。分析电容元件的电压特性。件的电压特性。（1分析：电容电压和电流的关系分析：电容电压和电流的关系dttdVCtIdttICtVCC)()()(1)(根据基尔霍夫定律，可得出微分方程根据基尔霍夫定律，可得出微分方程iCCiCVtVdttdVRCVtVtRI)()()(

9、)(使用使用ode函数时，对微分方程进行如下假设函数时，对微分方程进行如下假设)(tVyCRCyVdtdyi（2建立导数函数建立导数函数function dy=cap(t,y)Vi=20;R=5;C=70e-6;dy=(Vi-y)/(R*C);（3使用使用ode函数进行仿真，仿真时间函数进行仿真，仿真时间00.006s，Vc初始值为初始值为0V。 t,y=ode45(cap,0,0.006,0); plot(t,y) axis(0 0.006 0 25) title(Vc-Time) xlabel(Time/sec) ylabel(Vc/V) 当电压源为直流电压源时，加载在电容上的电压当电压源

10、为直流电压源时，加载在电容上的电压随时间呈抛物线增大，稳态值为电源电压。电容电压随时间呈抛物线增大，稳态值为电源电压。电容电压在在t=0时取得最小值，最小值为时取得最小值，最小值为0；电容电压在；电容电压在t=0.0023s时达到最大值，为时达到最大值，为20V。例：用简单的例：用简单的LC谐振电路组成滤波器电路，其电路方谐振电路组成滤波器电路，其电路方程是二阶微分方程。观察该程是二阶微分方程。观察该RLC电路中，电容电压电路中，电容电压VC(t)和线路电流和线路电流I(t)的时域变化情况。假设电源为直的时域变化情况。假设电源为直流电压源流电压源Vi=20V，电阻，电阻R=5，电容，电容C=7

11、0F，电感，电感L=70mH。（1分析：根据电路分析，可以得出微分方程分析：根据电路分析，可以得出微分方程2222LCiCCLCiCCCiRI(t) V (t) V (t)V (t)dV (t)d V (t)dI(t)I(t)CV (t)LLCdtdtdtdI(t)LRI(t) V (t)V (t)dtd V (t)dV (t)LCRCV (t)V (t)dtdt在利用在利用ode函数时，对微分方程作出如下假设：函数时，对微分方程作出如下假设：)2(*) 1 ()(1)2()2(1) 1 ()()2()() 1 (yRytVLdtdyyCdtdytIytVyiC（2创建状态导数函数创建状态导数

12、函数function dy=RLC(t,y)Vi=20;R=5;C=70e-06;L=70e-03;dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2)/C;dy(2)=(Vi-y(1)-R*y(2)/L;（3使用使用ode函数进行仿真，仿真时间函数进行仿真，仿真时间00.12s，Vc初始值为初始值为0V，I初始值为初始值为0A。 t,y=ode45(RLC,0 0.12,0;0);figure(1) subplot(2,1,1); plot(t,y(:,1); title(Vc-Time) xlabel(Time/sec) ylabel(Vc/V) subplot(2,1,2); plot(t,

13、y(:,2); title(I-Time) xlabel(Time/sec) ylabel(I/A) figure(2) plot(y(:,2),y(:,1) title(Vc-I) xlabel(I/A) ylabel(Vc/V) 在电容电压与时间曲线中，可以得出如下结论：在电容电压与时间曲线中，可以得出如下结论：当电压源为直流电压源时，加载在电容上的电压随时当电压源为直流电压源时，加载在电容上的电压随时间呈震荡衰减；在电路电流与时间曲线中，可以得出间呈震荡衰减；在电路电流与时间曲线中，可以得出结论，当电压源为直流电压源时，流经电路的电流随结论，当电压源为直流电压源时，流经电路的电流随时间呈

14、震荡衰减；在电容电压与电路电流的曲线图中时间呈震荡衰减；在电容电压与电路电流的曲线图中可以得出如下结论：当处于稳态时，电容电压为可以得出如下结论：当处于稳态时，电容电压为20V，电路电流为电路电流为0A。6.2.3 直流直流/直流变换器系统的仿真直流变换器系统的仿真 直流直流/直流变换器又称为直流变换器又称为DC/DC变换器广泛变换器广泛应用于开关稳压电源以及直流电动机的控制。它主应用于开关稳压电源以及直流电动机的控制。它主要利用开关器件进行通断控制，将直流电源断续地要利用开关器件进行通断控制，将直流电源断续地加在负载上，通过控制开关开通与关断时间的变化加在负载上，通过控制开关开通与关断时间的

15、变化来改变负载电压平均值，实现输出电压的可调。来改变负载电压平均值，实现输出电压的可调。常用的主要有以下几种类型：常用的主要有以下几种类型：（1降压型降压型Buck变换器变换器（2升压型升压型Boost变换器变换器（3升升-降压型（降压型（ Buck- Boost变换器变换器通过控制变换器的输出可得到用户所期望通过控制变换器的输出可得到用户所期望的电压值，实现直流电压的有效调节，比如用的电压值，实现直流电压的有效调节，比如用直流直流/直流变换器控制电机，可有效实现直流电直流变换器控制电机，可有效实现直流电机的调压调速。机的调压调速。闭环闭环DC/DC变换器的结构框图如下：变换器的结构框图如下：

16、基本原理：给定弱电信号基本原理：给定弱电信号Uo*,闭环调节。就可对应闭环调节。就可对应一个固定的占空比一个固定的占空比d值，也对应一个输出电压值，也对应一个输出电压Uo值，值，首先将给有初始值的输出电压首先将给有初始值的输出电压Uo采样，得到反馈信采样，得到反馈信号与给定弱电信号进行比较得到偏差，经过号与给定弱电信号进行比较得到偏差，经过PI调节调节器产生占空比值。调用器产生占空比值。调用DC/DC变换器微分数学模型，变换器微分数学模型，并且使用龙格并且使用龙格-库塔算法，可得到输出电压库塔算法，可得到输出电压Uo值，如值，如此反复直到占空比此反复直到占空比d与输出电压都达到稳定值。与输出电

17、压都达到稳定值。(1)当当S=on：时：时间长度为间长度为d*T:状态方程以两个状态元件状态方程以两个状态元件 i和和uo作状态变量作状态变量000idiLdtdiCdtRuuuu000ididtLLdidtCRCuuuuCS+-DR+-u0uiLi00110110iiiLLCRCuuu 1.建立建立Buck型型DC/DC变换器的数学模型变换器的数学模型0000diLdtdiCdtRuuu 000didtLidtCRCuduu C CS S+ +- -D DR R+ +- -u0uiL Li iT TdTdT(2)当当S=off：时间长度为：时间长度为: （1-d)*T:00100110iii

18、LCRCuuu （3状态空间平均状态空间平均(SSA)： 00110110iiiLLCRCuuu UBXAXUBXAX221121AddAA 21BddBB BUAXX1dd S=OFFS=ON1dd d为为PWM占空比，得占空比，得DC/DC的统一的统一SSA模型为：模型为：uuuiLdiRCCLi0111000有上述有上述SSA模型得：模型得：RCCiLdLiuuuui000 当当d=1时，时，A=A1，B=B1，此时为开关开通的状态模型；，此时为开关开通的状态模型； 当当0d1 ?d1000) R=10; %在采样过程中突减负载在采样过程中突减负载 end T(n)=(n-1)*Tc; %对系统进行计时对系统进行计时 vot(n)=vo0;%反馈