ch12离散信号频域分析

1、10102j1e 1NmmkNNmmkNWmXNmXNkx10102j-e NkmkNNkmkNWkxkxmX 不同的周期序列不同的周期序列 对应不同的加权系数对应不同的加权系数 ， 其计算表达式为其计算表达式为mXkx 任意周期为任意周期为N的序列的序列 ，可以由，可以由N项虚指数序列线性项虚指数序列线性表达，即表达，即kx 称为周期序列称为周期序列 的离散的离散Fourier级数级数(DFS)， 也称为周期序列也称为周期序列 的频谱。的频谱。mXkxkxNNW2je;周期为周期为N的任意序列的任意序列mkNkmkNNkkxkxkxmXN2jWe DFSmkNmmkNNmmXNmXNmXkx

2、-N2jW1e 1IDFSkxNNW2je :其中e10e10101102j102jkkkx系数为的可得周期序列表达式对比DFSIDFSkx，其他09 , 1 10mmXe10e10101)110(102j102jkk例：求周期序列例：求周期序列 的的DFS系数系数。) 52cos(kkx解：解： 周期序列周期序列 的周期为的周期为10。) 52cos(kkx例例: : 求如图所示求如图所示周期周期为为N的方波序列的方波序列的的DFS系数系数(N2M+1)。DFS :kxmX解kmNMMk2je当取当取m=0, N, 2N, 时，有时，有12 MmX当当m取其他值时，利用等比级数的求和公式有取

3、其他值时，利用等比级数的求和公式有mNMmNmMNmX2j)1(2j2je1eeNmMNmsin12sinN=30，M=2周期周期方波的方波的DFS系数系数N=30，M=12周期周期方波的方波的DFS系数系数 周期周期 N =30 的方波序列的的方波序列的DFS系数图形显示系数图形显示DFSDFSDFS2121kxbkxakxbkxa 周期序列位移后，仍为相同周期的周期序列，周期序列位移后，仍为相同周期的周期序列，因此，只需要观察位移后序列一个周期的情况。因此，只需要观察位移后序列一个周期的情况。周期序列的位移周期序列的位移2kxmnmnNmXmXnkxN2jWe DFSmnNmnNWmXmX

4、nkx-2je DFSWDFSe DFS-N2jlmXkxkxlklkNWDFSe DFSN2jlmXkxkxlklkNDFSmXkxDFSmXkx 若为实序列，则有若为实序列，则有mXmX | | |mmmXmX IIRRmXmXmXmX且为偶对称为实序列，mX 若若 为偶对称的实序列，则有为偶对称的实序列，则有kx 若若 为奇对称的实序列，则有为奇对称的实序列，则有kx虚部奇对称为纯虚序列，mX 周期卷积定义：周期卷积定义：211021nkxnxkxkxNnkx0nx1 nx2nxkxkx例：例：周期周期N=3的序列的序列 如图所示，试计算如图所示，试计算 。kxkxkxky0 1 2k1

5、21211021nkxnxkxkxNn32 1 00 1 2330 1 2230 1 1 23011112222222222222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx32 1 00 1 23 10 1 22 10 1 32 1032 1 011112222222222222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyy例：例：N=4DFSDFSDFS2121kxkxkxkxDFSDFS1DFS2121kxkxNkxkxNmNkmXNkx22| |1| |kkkxX jje )e (de)e(-21 jjkXkx 对于某些满足条件的非周期序列对于某些满足条件的非周期序列xk，可

6、以表达为虚指，可以表达为虚指数序列数序列 ej k 的线性叠加的线性叠加 不同的序列不同的序列xk对应不同的加权系数对应不同的加权系数X(ej ) ，其计算表达式为其计算表达式为de )e (21jj2kXkxkkkxXjje )e( 试求序列试求序列 xk=a akuk 的的DTFT。akkkXj0je)e ( 当当|a a|1时，时， 求和不收敛，序列的求和不收敛，序列的DTFT不存在。不存在。 当当|a a|1时，时，ajje11)e(X 定义定义X(ej )的部分和的部分和kNNkNkxXjje )e (kxk若绝对可和绝对可和0)e ()e (limjjNNXX则一致收敛一致收敛2k

7、xk若能量有限能量有限0d)e()e(lim2jjNNXX则均方收敛均方收敛若序列满足绝对可和，则序列存在若序列满足绝对可和，则序列存在DTFT。若序列满足能量有限，存在若序列满足能量有限，存在DTFT。（充分条件）。（充分条件）ccj0 1)e(X DTFTcc)(SakN=10时N=60时)(Sacckkx序列序列 不满足绝对可和，但能量有限。不满足绝对可和，但能量有限。序列序列 取不同的取不同的N值时，对应的值时，对应的DTFT如图所示。如图所示。)( ),(SaccNkNkkxN例：例：试求周期为试求周期为 2 的单位冲激函数的单位冲激函数 的的 IDTFT。)(2de )(21 j2

8、kkx21xkk012122133解：解：de)(21 j2k 该例说明该例说明绝对可和绝对可和与与平方可和平方可和只是只是DTFT存在的存在的充分条件充分条件，不是必要条件。，不是必要条件。)(jjje)e()e(XX相位谱相位谱 ( ) 的主值的主值(principal value)区间为区间为 序列的序列的DTFT X(ej ) 一般为一般为 的复函数，的复函数， 可表达为可表达为幅度谱幅度谱和和相位谱相位谱的形式，的形式， 也可表达为也可表达为实部实部和和虚部虚部的形式。的形式。)e(j)e()e(jIjRjXXX)e(j1DTFT1Xkx )e(j2DTFT2Xkx 若若)e()e(

9、j2j1DTFT21bXaXkbxkax 则有则有DTFTkx证：kkkxje )e(j X)e( jDTFT Xkx)e ( jDTFTXkx 若若)e ( jDTFT Xkx则则DTFTkxkkkxje )e(j Xkkkxje 当当 xk是是时，由于时，由于xk=x*k，所以有，所以有)e()e(jj XX)(jj)(jje)e(e)e( XX)e()e(jj XX)()()e(j)e()e(j)e(jIjRjIjRXXXX)e()e(jRjR XX)e()e(jIjIXX2j)e1 (2cos4)e(2jX)(2cos4e2j求序列求序列xk=1,2,1；k=0,1,2的的幅度谱幅度谱

10、和和相位谱相位谱。2jjjee21)e(X024当当x k为实偶对称序列时，为实偶对称序列时，由于由于 xk=x* k =x*k ，所以所以)e()e()e(-jjjXXX)e (j)e ()e (j)e ()e (j)e (-jI-jRjIjRjIjRXXXXXX的实偶函数是 )e( ; 0)e()e(j-jIjIXXX)e ()e ()e (j-jjXXX)e (j)e ()e (j)e ()e (j)e (-jI-jRjIjRjIjRXXXXXXX(ej)是 纯虚函数, 且为奇对称当当x k为实奇对称序列时，为实奇对称序列时，由于由于xk= x*k = x* k ，所以所以XR(ej)=

11、XR(e-j)=0;试求序列试求序列yk的的DTFT。DTFTky)e()e(jjXX)e(Im2jjX10 01 kkkkykkaaaajjDTFTe11)e(: Xkukxk解kxkxky2cos21sin2 jaaa)e (ejjDTFTXnkxn )e (e)( jDTFTj00 Xkxk)e (jDTFTXkx 若若则则2/ )ee(jjkkkxky2/)e ()e ()e ()( j)( jjXXY已知已知xk的频谱如图所示，试求的频谱如图所示，试求yk=xkcos( k)的频谱。的频谱。已知已知xk的频谱如图所示，试求的频谱如图所示，试求yk=xkcos( k)的频谱。的频谱。2

12、2221X(ej( )22221X(ej( )(e)e(jjDTFTHXkhkx d)e()e(21)( jjDTFT HXkhkxd)e(212j2Xkxk 序列时域的能量等于频域的能量序列时域的能量等于频域的能量*2kxkxkxkk证证:*jjde)e(21kkXkxd-e)e(21jj*kkXkxd-e )e(21jj*kkkxXd| )e(|21d)e()e(212jjj*XXX已知已知xk为一有限长序列且为一有限长序列且 不计算不计算xk的的DTFT X(ej )，试直接确定下列表达式的值。，试直接确定下列表达式的值。 4, 3, 0 , 2 , 3 , 0 , 1, 1 , 2kx

13、dd)e (d2jX)e (0 jX(1) )e (jX (2) d)e(jX (3)d)e(2jX (4) (5) 0)e(620jkxXk(1)0) 1()e(62jkxXkk(2)202d)e(jxX(3)882d)e(2622jkxXk(4)17802dd)e(d22622jkxkXk(5)nNkxkxnN 是周期为是周期为N的序列的序列:nNNkxNkxnN证) 1(NnkxnkxN, )e( DTFT:j的函数为连续变量是序列的问题，X可否利用其样点序列表达X(ej)? xk+3-4 -3 -2 -1012345671221 x k -4 -3 -2 -1012345671221-

14、4 -3 -2 -10123456721122112214kx xk-3-4 -3 -2 -1012345671221-4 -3 -2 -1012345672222222222223kx 当序列长度不超过当序列长度不超过N时时,周周期化后的序列和原序列一个周期化后的序列和原序列一个周期内的值相同。期内的值相同。 当序列长度超过当序列长度超过N时，周时，周期化后的序列会出现混叠期化后的序列会出现混叠(aliasing)。mnNnmNnxmXX2j2je )e (ZrNkrNkn, 1, 1 , 0, 令)(10rNkmNrNkWrNkxmXmkNNNkWkx10)(DFS)e (2jkxmXXN

15、mN)(DFS)e(2jkxXNmNX(ej )在频域的离散化导致对在频域的离散化导致对应的时域序列应的时域序列xk的周期化。的周期化。x(t)在时域的离散化导致对应在时域的离散化导致对应的频谱函数的频谱函数X(jw w)的周期化。的周期化。 和和为利用数字化方式为利用数字化方式分析和处理信号奠定了理论基础。分析和处理信号奠定了理论基础。)(kxtx时域抽样 nTnXTX)2j (1)j (w周期化CTFTDTFT)e (jmXX频域抽样 nnNkxkx周期化IDTFTIDFS已知有限序列已知有限序列xk= 1, 1, 4, 3； k= 0,1,2,3，序列，序列xk的的DTFT为为X(ej )。记。记X(ej )在在 =2 m/3;m=0,1,2的取的取样值为样值为Xm，求，求IDFTXm 。IDFTXm =xk+xk+3 =2, 1, 4; k=0,1,2 X(ej )在频域的离散在频域的离散化导致对应的时域序列化导致对应的时域序列xk的周期化。的周期化。NNMMaaabbbABXjj10jj10jjjeeee)e()e()e(b 分子的系数矩阵分子的系数矩阵 a 分母系数矩阵分母系数矩阵w 在一个周期在一个周期0,2 )上的抽样频率点上的抽样频率点(至少至少2点点)计算计算DTFT的有关函数的有关函数: 的幅度频谱。画出例：ajje11)e