li83数量积、向量积ppt课件

1、第三节第三节 数量积与向量积数量积与向量积一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积1M一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,W1. 定义定义设向量的夹角为 , 称 记作数量积 (点积) .引例引例. 设一物体在常力设一物体在常力 F 作用下作用下, F位移为 s , 则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,s,0时当a上的投影为在ab记作故,0,时当同理babj rPb2. 性质性质为两个非零向量, 则有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba则2),(ba0

2、,0ba3. 运算律运算律(1) 交换律(2) 结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事实上, 当0c时, 显然成立 ;时当0cc)(bababcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbacABCabc例例1. 证明三角形余弦定理证明三角形余弦定理cos2222abbac证证:那么cos2222abbac如图 . 设,aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,4. 数量积的坐标表示数量积的坐标

3、表示设那么, 10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,两向量的夹角公式 , 得)(MB, )(MA BM例例2. 已知三点已知三点, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1那么AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故.Pr,Pr,3),(1, 2,3,32. 3AjBj

4、BAbababaBbaABA求设例28376)3()32(.22 bbaababaBA解解.3128Pr,3728Pr,31,3722 BBAAjABABjBBBAAABA例例4 应用向量证明直径所对的圆周角是直角应用向量证明直径所对的圆周角是直角证证如下图如下图xyoABC圆的方程：圆的方程：222Ryx 设设 A 点的坐标为点的坐标为)0 ,(yx那么那么 0 , yxRAB 0 , yxRAC ACAB 0 ,0 ,yxRyxR 222Ryx 0 ACAB 二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例. 设设O 为杠杆为杠杆L 的支点的支点 ,有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则O

5、QFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力FoPFMFM 1. 定义定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩FOPM考虑考虑: 右图三角形面积右图三角形面积abba21S2. 性质性质为非零向量, 那么，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0时当baba0basinab03. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律(证明思考)abcba )(cbcaba )()( ba)(bab

6、a) 1 (证明证明:)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设那么,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbi

7、bbzyx( 行列式计算为线性代数内容 ) 向量积的几何意义向量积的几何意义ab sinbh :)1(的模的模ba sinbaba .面面积积为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的和和表表示示以以baba :)2(的方向的方向ba .的平面相垂直的平面相垂直又平行于又平行于与一切既平行于与一切既平行于baba )sin( bhha 解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj例例2. 已知三点已知三点, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面积 解解: 如下图如下图,CBA

8、SABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三解解 因因为为 () ()()()2()a bm nm nm nnm nnm m n m m n n nm n 所所以以22sin2 1 1 1 22a bm nm n . ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |521225BD |21BDS | AC. 5| BD解解 （1）211112121110101011ijka bijk ijk （2）a bij

9、k 和和()baa bijk 都是与都是与 a和和b均垂直的向量，所以与均垂直的向量，所以与 a和和 b同时垂直的单位向量为同时垂直的单位向量为 ,a bea b 而而 2223,( 1)( 1)1a b 因此因此 111(,)333e或或111(,)333e. 解解（1）作向量）作向量,BA BC 则则 ( 1 1,2 1,3 1)( 2,1,2)(0 1,0 1,5 1)( 1, 1,4)BABC 三角形三角形 ABC 的面积为的面积为 12SBABC 因为因为122221212141411114ijkBABCijk 663ijk， 所以所以2221966322S . 22)()(baba

10、 所以所以.)()(2222bababa 证证明明),(cos)(2222bababa 由由于于),(sin2222bababa .22ba 例例7 7证证),(sin),(cos2222bababa 2)(ba练习.)( )( . 2垂垂直直与与向向量量证证明明向向量量acbbcac ._)6 , 4 , 3()1, 0 , 1.(1 .,),1, 1 , 1( ),1 , 1 , 1(. 30的的夹夹角角与与求求已已知知baaba 3 2.证cacbbca )()()()(cacbcbca , 0 .)()(垂垂直直与与acbbcac 3.解, 3111|222 a 0aaa|1)1 ,

11、1 , 1(31 );31,31,31( ),cos(ba|baba 33 1,31 ),(ba.31arccos思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC证证: 由三角形面积公式由三角形面积公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因BabcACABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACB向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向