第六章一阶电路知识分享

1、81第六章一阶电路 经典分析法（微分方程描述） 运算分析法（代数方程描述）见第十三章一、重点和难点1. 动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；2. 一阶电路时间常数、零输入响应、零状态响应、冲激响应、强制分量、自由分量、稳态分量和暂态分量的概念及求解；3. 求解一阶电路的三要素方法；电路初始条件的概念和确定方法；1. 换路定理（换路规则）仅对动态元件（又称储能元件）的部分参数有效。 电容元件： uC (0-) = uC(0+)；（即： qC(0 -) = qC(0 +)）；i C(0-) i C(0+)。 电感元件： i L -L(0+L(0-L(0+C -C +)。(0 ) = i)；（

2、即： ) = )）；u (0) u (0 电阻元件： uR(0-) uR(0+ )； i R(0-) i R(0 +)。因此，又称电容的电压、电感的电流为状态变量 。电容的电流、电感的电压、电阻的电压和电流为非状态变量。如非状态变量的数值变化前后出现相等的情况则视为一种巧合，并非是一种规则。2. 画 t=0+ 时刻的等效电路画 t=0 +时刻等效电路的规则： 对电容元件， 如 uC (0-) = 0 ，则把电容元件短路；如 uC(0-) 0，则用理想电压源 （其数值为uC(0-) ）替代电容元件。 对电感元件， 如 i L (0-) = 0 ，则把电感元件开路；如 i L (0-) 0，则用理

3、想电流源 （其数值为i L (0-) ）替代电感元件。画 t=0 +时刻等效电路的应用：一般情况下，求解电路换路后非状态变量的初始值，然后利用三要素法求解非状态变量的过渡过程。3. 时间常数 物理意义：衡量过渡过程快慢的技术指标(即等于一阶微分方程的特征方程的特征根) 。仅取决于电路的结构和元件的参数。-81-82 几何意义：状态变量变化曲线中时间坐标轴上任意一点次切距的长度（即曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化率衰减，则经过 时间后为零值） 。 单位： m(秒 )、 ms(毫秒 )。 的计算： RC 电路， RC = ReqC ； RL 电路， LC =L/Req。 注意问题： Re

4、q 是状态元件两端的等效电阻。如含有受控电源，在求等效电阻时需采用“加压求流法”。4. 零输入响应（又称放电过程）所谓零输入响应，即输入信号为零，而是由电路中动态元件的初始值（初始储能）引起的响应。 RC 电路： uC(t) = uC(0+)e-(1/ )t 。 LC 电路： iL(t) = iL(0 + )e-(1/)t 。5. 零状态响应（又称充电过程）所谓零状态响应，即初始状态为零，输入不等于零，而是由电路中输入信号引起的响应。 RC 电路： uC(t) = US（1-e-(1/ )t）。 LC 电路： iL(t) = IS（ 1-e-(1/ )t）。6. 全响应（又称充放电过程）所谓全

5、响应，即初始状态不为零，输入不等于零，而是由电路中输入信号和初始值（初始储能）引起的响应。三要素法： f(t)= f( )+ f(0+)- f( ) e-(1/ )t 或f(t)= f(0+)e-(1/ )t+ f( )(1- e-(1/)t )。 RC 电路： uC(t) = uC( )+ uC(0+uC( ) e-(1/ )t。 LC 电路： iL(t) = i L( )+ i L(0+)- iL( )e-(1/ )t。以上两个式子是三要素法公式的具体应用。对于非状态变量同样适用。7. 阶跃响应所谓单位阶跃响应，就是动态电路对于单位阶跃函数输入 ( t) 的零状态响应。所谓阶跃响应，就是动

6、态电路对于阶跃函数输入A (t) 的零状态响应。理解单位阶跃函数的数学表达形式，以及任意时刻t0 的阶跃函数 A ( t-t 0)，也称为延迟阶跃函数。单位阶跃函数的主要性质： 可以用来“起始”任意一个函数f(t)。 可以用来描述矩形脉冲。 阶跃函数对时间的一阶导数等于冲激函数。-82-83单位阶跃响应与直流激励的响应相同。8. 冲激响应所谓单位冲激响应，就是动态电路对于单位冲激函数输入 ( t) 的零状态响应。所谓冲激响应，就是动态电路对于冲激函数输入A (t) 的零状态响应。理解单位冲激函数（又称 函数）的数学表达形式，以及任意时刻t0 的冲激函数 A (t- t0) 。单位冲激函数的主要

7、性质： 单位冲激函数对时间的积分等于单位阶跃函数。 取样性质，即冲激函数可以把一个函数在某一时刻的“筛”出来。 当把一个单位冲激电流 i (t)A 加到初始电压为零且C = 1F 的电容上，其电容电压瞬间从零跃变到 1V。 当把一个单位冲激电压 i( t)V 加到初始电流为零且L = 1H 的电感上，其电感电流瞬间从零跃变到1A 。二、典型例题分析【例题 1】：动态电路换路后初始值的求解。图 6.1(a)所示电路在t 0 时电路处于稳态，求t = 0 时闭合开关后电感电压uL (0+)。解： (1) 首先由图6.1(b) t=0 电路求电感电流，此时电感处于短路状态，图 6.1(a)图 6.1

8、(b)(2) 由换路定律得：则：i L (0+ ) = i L (0 )= 2A(3) 画出 t = 0+时刻的等效电路如图 6.1(c) 所示，电感用 2A 电流源替代，解得：；而 uL (0-)=0V图 6.1(c)-83-84注意： 电感电压在换路瞬间发生了跃变，即：【例题 2】：直流稳态时电感相当于短路，电容相当于断路。图 6.2(a)所示电路在t 0 时处于稳态，t=0 时闭合开关，求电感电压uL (0 +)和电容电流i C(0+ )图 6.2(a)图 6.2（ b）解： (1) 将电路中的电感短路，电容开路，画出t=0-时刻的等效电路如图6.2(b) 所示，则：；(2) 画出 t=

9、0+等效电路如图 6.2(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得：则：图 6.2(c)【例题 3】：求图 6.3(a)所示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。图 6.3(a)图 6.3(b)解： (1) 把图 6.3(a)电路中的电感短路，电容开路，如图6.3(b) 所示，则：(2) 画出 t=0+等效电路如图6.3(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得：-84-85图 6.3(c)【例题 4】：图 6.4 所示电路在t=0 时，闭合开关K，已知 uC(0 )=0 。求： (1)电容电压和电流；(2) 电容充电至uC 80V 时所花费的时间t 。图 6.4解： (1)

10、 这是一个 RC 电路零状态响应问题，时间常数为：t 0+后，电容电压为：充电电流为：(2)设经过 t1 秒， uC 80V ，即：解得： t1=8.045ms【例题 5】：图 6.5 所示电路原来处于稳定状态，t=0 时打开开关K，求 t 0 后的电感电流i L 和电压 uL。图 6.5解：这是一个一阶RL 电路全响应问题，电感电流的初始值为：时间常数为：因此零输入响应为：-85-86零状态响应为：全响应为：也可以求出稳态分量：则全响应为：代入初值有：6 2 A ，得： A=4【例题 6】：图所示电路原来处于稳定状态， t=0 时开关闭合，求 t 0 后的电容电压 uC 并画出波形图。图 6

11、.6.1图 6.6.2解：这是一个一阶RC 电路全响应问题，应用三要素法，电容电压的初始值为：稳态值为：时间常数为：代入三要素公式：随时间变化的波形如图所示。【例题 7】：图所示电路原来处于稳定状态，t=0 时开关由1 合到 2，求换路后的电容电压uC(t)。-86-87图图 解：这是一个一阶RC 电路全响应的问题，应用三要素法求。初始值：稳态值：时间常数为：由于含有受控源，所以应用图所示电路求等效电阻：代入三要素公式得：【例题 8】：图所示电路原本处于稳定状态，t=0 时开关闭合，求换路后的电流i( t) 。图解：开关闭合后电路分为两个一阶电路，应用三要素法，电容电路的三要素为：初始值：稳态

12、值：时间常数：电感电路的三要素为：初始值：稳态值：时间常数：代入三要素公式得：-87-88因此：【例题 9】：用阶跃函数表示图6.9 所示函数f（ t）。(a)(b)(c)图 6.9解： (a)图：(b)图：(c)图：三、典型习题【题 1】：图 6.12 所示电路为t0时的电路 ,已知 uC 02 V, i L 01A, 则 i 0 =_A ； uL 0_V 。图 6.12图 6.13【题 2】：图 6.13所示电路中，已知i L 00， uC 05 V ，则 d uC_； d i L_。d t0d t0【题 3】：图 6.14所示电路在换路前处于稳态，t0 时开关接通，则uC 0_； i1

13、0_；i20_； i C0_。-88-89图 6.14图 6.15【题 4】：图 6.15 所示电路在 t0 时已达稳态， t0时开关断开，则 i L 0=_， uC 0_ _，i 0_ _。【题 5】：图 6.16 所示电路中， t0 时开关打开，打开前电路已处于稳态。t 0时 u 和 du 之值分别为：d t答（）A.3V，3 V；B. 1V，1 V；C. 1V，0；D.1V ，-1V22s33 s333 s图 6.16图 6.17【题 6】：图 6.17 所示电路在t0 时已达稳态，t0 时开关接通，则i L 0=_ ， uL 0=_。【题 7】：电路如图6.18 所示，则电路的时间常数

14、等于答（）A. 1. 4 s ；B. 11. s ；C. 1 s ；D.3. 8 s+61gu3+()Vt61214Hu_0. 2 F_图 6.18图 6.19【题 8】：图 6.19 所示含受控源电路中转移电导g 05. s，电路的时间常数为答（）A. 43 s ; B.0.5s;C.1s; D. 1.1s。【题 9】：图 6.20 所示含受控源电路的时间常数为_ 。R i+U SC_i图 6.20图 6.21【题 10】：一阶电路的电压按指数律衰减，当t0 时为 15V ， t2 s 时为 6V ，则电路的时间常数为A. 0.458s ；B. 2.18s ； C. 0.2s； D. 0.1

15、s答（）-89-90【题 11】：电路如图6.21 所示，开关闭合后电路的时间常数为 _。【题 12】：若如图6.22 所示 RL 电路的零输入响应i8 e 20t A ， t0 ； u240 e 20t V ， t0 则电路的 .R_， L_H ，_ms， 电感的初始储能=_J 。图 6.22图 6.23【题 13】：图 6.23 所示电路中 uC (0)15 V ，则 t0 时的 i ( t) 等于答（）A. 2 e 0. 05t A ；B. 3 e 20tA ；C.2 e 20 t A ；D. 2 e 20 t A【题 14】：电路如图 6.24 所示，开关于 t0 时闭合，闭合前电路已

16、处于稳态，求t 0 时的 i (t) 。t0I S+RiC_u图 6.24图 6.25【题 15】：若图 6.25 所示 RC 电路的零状态响应i ( t)5e50tmA（ t 0 ）；u(t)(200200 e50t ) V （ t0 ）。则 I S_mA ， R=_k， C=_ F ，_ms。tt【题16】：电路某一阶原来的零输入响应分量为33uCx5eV ，零状态响应分量为uCx(e )V。当21激励电源电压变为原值的三倍时，则全响应uC (t ) _ 。【题 17】：图 6.26所示电路在 t0 时，（ 1）若 ut)0，i L (0)3 A，i L ( t)_ 。S (（ 2）若 u

17、S (t)10 V ， i L (0)0 ， i L (t )_ 。（ 3）若 uS (t)20V ， i L (0)1A ， i L ( t)_ 。【题 18】：已知一阶电路响应的三要素为：（ 1） f (0)10， f ()20 ，10s；（ 2） f (0)10 ， f ()20，10s。则它们的波形图为：（ 1） _ ；（ 2）_ 。-90-91【题 19】：图 6.27 所示电路中 i L (0)1A ，则 t0 的 i()t等于：答()A.5 (1 e 3t ) A ；B.( 31 e 3t ) A ；C.( 51 e 3t ) A ；D. (51 e 3t ) A3263636图 6.26图 6.27图 6.28【题 20】：图 6.28所示电路原已处于稳态，当t0 时开关闭合，求i (t) ， u(t ) ， t0 。【题 21】：