成人高考专升本高等数学公式大全

1、成人高考专升本高等数学公式 大全铁路吧与你共享免费资源铁路吧与你共享免费资源(tgx) = sec x(ctgx)二-csc2 x (secx)' = secx tgx (cscx) - -cscx ctgx (ax)'： =ax lna1 (logax) xlna(arcsin x) =1,1 -(arccos x)= -,1 -x(arctgx) = -221 x1(arcctgx) = 21 xJtgxdx = ln cosx +CJctgxdx = ln sin x +CJsecxdx =ln secx+tgx +Cdx.2-cos xdx.2 sin x2= sec

2、xdx = tgx C2= csc xdx = -ctgx CJcscxdx =ln cscx - ctgx +Csecx tgxdx = secx C萼a xdx.2 x -adx.2 a -xdx1 x入 a a arctg - Caln2aln2aax -ax +aa x 八C a - xcscx ctgxdx = - cscx Cxa xdx =Cln ashxdx = chx Cchxdx = shx C22a -x.x _=arcsin C adxx21 a2=ln(x . x2 a2) CIn7T27T2=sin n xdx =cosn -1xdx =I n 4n2fVx2 +a

3、2dx = xx2 +a2 +a-ln(x + «x2 + a2) +C 22 2|：x2 -a2dx =xdx2 -a2 -aln x + 22222 , x 22 , a .x.a -x dx - a -x arcsin C22 a导数公式:基本积分表：三角函数的有理式积分：22u - 1 -uxsin x = 2-, cosx = 2-, u=tg 一 ,1 u1 u2两个重要一些初等函数: 极限：x-x双曲正弦：shx = = 2x . x双曲余弦:chx =-2x X双曲正切:血=犯=、， chx e earshx =ln(x x2 1)archx -二 ln(xx2 -1

4、)sinx lim 一 x 0 x=1lim (1 1)x=e = 2.718281828459045 x-x1 1 x arthx In 2 1 -x三角函数公式:-诱导公式：函 数 角A sincostgctg-a-sin ocos a-tg a-ctg（90 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin o-ctg c- -tg a180 - asin a-cos o-tg a-ctg（180 + a-sin o-cos otg actg a270 - a-cos o-sin octg atg a270 + 民-cos osin a-ctg c- -tg a

5、360 - a-sin ocos a-tg a-ctg（360 + 民sin acos atg actg asin（ - 1 ） = sin-：cosI-二cos-：sin :cos（'之二 P） = cos - cos : "sin 二 sin :tg （、工二 I -）=tg 二-tg :1 "tg - tg ：n a + P a -Psin -isin - = 2sincos22r a + P a - Psin 二-sin - =2 cossinctg （, 工二 l ：'）二ctg ： ctg： "1ctg 匚，二 ctg 二22r a +

6、 P a -P cos 二 " cos - =2coscos22r a +P a - Pcos: - cos - = 2 sinsin22,和差化和差角公式:积公式:,倍角公式:sin2： = 2sin 二 cos：222 2cos2： =2cos -1 =1 -2sin =二cos 二-sin 二一一 2ctg 二1ctg2：二-2ctg：2tg ;tg2 1 -tg ;3sin3： =3sin二 一4sin，3cos3二4cos 二 一3cos：33tg： - tg 二tg3： =-1 -3tg2：1 -cos ：sn 2 一一 2,11 -cos：1 -cos： sin：tg

7、- = = =2,1 cos sin 上 1 cos.31 cos：cos二2 21 cosu1 cos： sin ：ctg =.=2 . 1 cos-isin 二二1 - cos.i半角公式:余弦定理：arctgx =arcctgx2正弦定理：q=±=，=2R sin A sin B sinC22,2c = a b -2abcosC反三角函数性质 :arcsin x =- -arccosx2高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz )公式:n(n)、C k (n -k) (k)(uv)Cnuvk=0(n)(n4) - n(n -1) (n丁)n(n -1) (n -k 1) g) (k

8、).=u v nu v u v u v uv2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b) - f (a)=f ( )(b - a)柯西中值定理：f(b) - f(a)=L() F(b) -F(a) F ()当F(x)=x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds =,1 + y1dx,其中y，= tgo(平均曲率：K=|竽卜口 ：从M点到M 1点，切线斜率的倾角变 化量；As： MM -弧长。M点的曲率：K =lim 丝=叫=111yl.2 As | ds | 虱1 + y 幺)3直线：K =0;半径为a的圆：K =-.a定积分的近似计算:b矩形法：f (x)a

9、b梯形法：f (x)abb - a(y° Viyn)nb -a 1-(Vo Vn) Viynln 2抛物线法：f (x)a：»(V0 5 2(V2 "" 4(V1 V3yn)定积分应用相关公式:功：W =F s水压力：F = p A引力：F=km普,k为引力系数r函数的平均值：y =1 bf(x)dx b - a aa均方根:b2.f (t)dta空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：d = M 1M 2 = J(x2 -x1)2 +(y2 -y1)2 +(z2 -z1)2向量在轴上的投影:Pr ju AB - |ab|cosQ中是aB与u轴的夹角。P

10、rju(a a?)二Pr ja Pr ja2a b = a b cos6 =axbx +ayby +azbz,是一个数量两向量之间的夹角:c = ab = ax ay bx bycos1=axbxaybyazbz222axayaz,2, 2, 2,bxbybzkaz, c =|a'b sine.例：线速度： V = wM1.bzax ay向量的混合积：abc = (amb) c = bx byCx cyazbz =aMb，ccos«户为锐角时,cz代表平行六面体的体积平面的方程：1、点法式:A(x-x0)B(y-y0)C(z-)= 0,其中n = A,B,C,M。d,y。4)

11、2、一般方程：Ax By Cz D =03、截距世方程：- =1 a b c平面外任意一点到该平 面的距离：dAx。+By。+刍旦 , A2 B2 C2x = x0 mt空间直线的方程： x°- =y0 =z0 =t,其中s =m,n, p;参数方程：* y = y0 + nt m n p、z= z0 + pt二次曲面：1、椭球面： J =1a b c222、抛物面： 匕=z,（p,q同号）2p 2q3、双曲面：222单叶双曲面：xy T-zy =1a2 b2 c2222双叶双曲面：=1（马鞍面）a b c多元函数微分法及应用全微分：dz = dx dy；:x；yuuu .du =d

12、x dy dz；:x；y；:z全微分的近似计算：z dz = fx(x, y). x fy(x,y). y多元复合函数的求导法：z = fu(t),v(t)dzz :u:z :vdt 一 ；:u FtA Ft一心血心加f=jz*fx+| lx当口 = u(x,y), v = v(x, y)时，uuvv .du =dx dy dv = dx dy jxFy；xjy隐函数的求导公式：2隐函数 F(x,y)=0,dy= _-x,d-y= (-Fx)+ (-Fx)dydx Fydx2；x Fy Z Fydx才dvFucGGu£FJ_c(F,G)_7Jc(u,v)£Gcu:vGv隐函

13、数 F(x，y，z)=Q f =隐函数方程组：*x,y,U,vX0、G(x,y,u,v) =0:u1 f(F,G),:xJ ：:(x,v).v 1 ；:(F,G):x J ：:(u,x)ju _ _2 ：(F,G)y J ：:(y,v)卫”F,G)-y J Mu,y)微分法在几何上的应用:X-'xoy-'yoz ' zo= ,(to) = (to)X = (t)空间曲线+ y3(t)在点M (x0,y0, z0)处的切线方程: z = ©(t)在点 M处的法平面方程：邛(t0)(x x0)+中'(t0)(y y0) +8 r(t0)(z-z0) = 0

14、若空间曲线方程为：F(X，y，Z)=0则切向量丁.=- Fz,Fz Fx,FxFyG(x,y,z)=0lGy Gz Gz Gx Gx Gy曲面 F (x, y,z) =0上一点 M (x0, y0,z0),则：1、过此点的法向量:n =Fx(x0, y0,z0), Fy(x0,y0, zj, Fz(x0, y。/。)2、过此点的切平面方程 ：Fx(x0,y0,z0)(xx0)+Fy(x0,y0,z0)(y y0) + Fz(x0,y0,z0)(z 。)=03、过此点的法线方程:x -x0_ y - y°_z-z0Fx(x0,y0,z0) Fy(x0,y0,z0) Fz(x0,y0,z

15、°)方向导数与梯度：函数z = f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为：更=且cos中+巨sin中；:l ；xFy其中中为x轴到方向l的转角。f 开函数z= f (x, y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf(x,y) = i +j；x Z、r 、 ， 一一 rf.=、，,，匕与方向导致的关系是：一=grad f (x,y) e,其中e = co/i +sin中j,为l方向上的 Fl单位向量。，f 是gradf (x,y)在l上的投影。.:l多元函数的极值及其求法：设 %(*0,丫0)- fy (x0, y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x

16、0,y0)=B,fyy(x0 , y0 )= Cac.b2>0时k 0,(x0,y0)：EA>0,(x0,y0 )为极小值则：1ACB2<0时，无极值AC -B2 =0日t,不确定重积分及其应用:11 f (x, y)dxdy = f (r cos,r sin )rdrdDD '曲面z=f (x, y)的面积A =y：(x,y)d 二DII ' :(x, y)d二DF _ f P(x,y)xd仃Fx - f !3，D . 222 2(x y a )2F _ fP(x,y)yd仃Fy - f !3D / 222.2(x y ' a )2Fz-aD(x,y

17、)xd1D (x2 y2 a2)2x：(x,y)d 二平面薄片的重心：x =MS =_DMii”(x,y)d。D平面薄片的转动惯量：对于x轴I x = JJy2 P(x, y)d。， 对于y轴I y = Jfx2P(x, y)dcrDD平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M (0,0,a),(a >0)的引力：F =Fx,Fy,Fz,其中:柱面坐标和球面坐标:|x = r cos柱面坐标：< y =r sin 8,JJJ f (x, y, z)dxdydz = JJJ F(r ,8, z)rdrd 6dz,z = z 6A其中：F (r,1,z) = f (r cosi, r s

18、ini, z)|x = r sin cos 二球面坐标： y =r sin 中sin, dv = rd 中 rsin中 d日 dr = r2sin 中drd中d8z = r cos 中J2 二 二 r(111 f (x, y,z)dxdydz = F(r, , 1)r2sin drd d 二- d>d: F (r, , 1)r2 sin dr:：000一、 1 一1 一1重心：x - - !x：dv, y - - !y：dv,z - - !z： dv,其中 M =x： Hl Pdv- M - M - -转动惯量：I x =(y2 z2) ;?dv,I y =(x2 z2) ;?dv,I

19、z = (x2 y2);?dvQQQ曲线积分:第一类曲线积分(对弧 长的曲线积分)：设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：/x(t), (otEtwP),则：J =中(t) P,y=<p(t)f(x,y)ds =开呼(t),中(t)dt)+中'2(t)dt (« <P)特殊情况:L：第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为/=中，则：7小t)PP(x,y)dx Q(x,y)dy = P ：(t); (t) (t) Q(t)J (t)'- dtL、工两类曲线积分之间的关 系：JPdx+Qdy = J(Pcosa+QcosP)ds其中a和P分

20、别为 LLL上积分起止点处切向量 的方向角。Q ，PQ ，P格林公式：(一 -一)dxdy = ： Pdx Qd册林公式：(一 -)dxdy= Pdx QdyD 二x 1yLD 二x ：yL,一二 Q 二 P1当P=_y,Q=x,即：一二2时，得到 D的面积：A= Jfdxdy = qxdyydx：x ZD 2 L平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且义=亘。注意奇点，如(0,0),应 二 x二 y减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：二 Q 二 P在=一时，Pdx + Qdy才是一兀函数u(x,y

21、)的全微分，其中：；x jy(x.y)u(x,y) = P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常设 x0 = yO = d(x0,y0)曲面积分：对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds= fx, y,z(x,y) 1 z2(x, y) z2(x, y)dxdy'Dxy'对坐标的曲面积分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy 其中：ZH R( x, y, z) dxdy = ± H Rx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号；7DxyP(x, y, z)dydz = ± JJPx(y,z),

22、y,zdydz,取曲面的前侧时取正 号；、DyzHQ(x,y,z)dzdx = ±HQx,y(z,x),zdzd为 取曲面的右侧时取正 号。、Dzx两类曲面积分之间的关 系：Pdydz+Qdzdx+Rdxdy= "(Pc0sz +QcosP +Rcos')ds ZZ高斯公式:11 i()dv =，Pdydz Qdzdx Rdxdy : ii(Pcos 二，Qcos : Rcos )ds；：xZ：zq"高斯公式的物理意义通量与散度：散度：diV J = 2 +经+空，即：单位体积内所产生的流体质量，若 diVJM0,则为消失；x：:y；z通量：JJA nds

23、= JjAnds=仃(Pcosot +QcosP +Rcos?)ds,z z z因此，高斯公式又可写成：HdivAdv = qAndsQZ斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:/ ：R: QP: RQ:P11(-)dydz (-)dzdx (-)dxdy 二：Pdx Qdy Rdz r ；y；z；z；x；xNdydzdzdxdxdycosacosP上式左端又可写成：H=HyczZdx小PQRPQcos?$zz. R空间曲线积分与路径无关的条件：, 二 y 二 z:z ；xQ:x2 yi j k旋度：rotA=£色- 反 勾 & P Q R向量场A沿有向闭曲线的环流量：gP

24、dx +Qdy + Rdz=A tds fr常数项级数：n等比数列：1 , q , q2, q=1 -q等差数列：1 2 3，,，n = (n 1)n2调和级数：1 J T 1是发散的级数审敛法:1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判 别法）： :二1时,级数收敛设：PTimJun, n ： ,则P>1时，级数发散”时,不确定2、比值审敛法:设：口=1M叱 n >:Un'p<1 时, ,则p>1时,级数收敛级数发散3、定义法：S =u1 +u2 +un;lim sn存在,则收敛；否则发 散。 n j二二交错级数u1 -u2 +u3 -u4 +（或-u1 +u2

25、-u3 +，un A 0）的审敛法莱布尼兹定理： 一 Fn 之 un 书一一，“，一.，如果交错级数满足n,那么级数收敛且其和swui,其余项rn的绝又t值rn Mun书 lim un =u'n：绝对收敛与条件收敛:u1 +u2+un+，其中un为任意实数；（2）ui +口2|+用| +|un +如果（2）收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果（2）发散，而（1）收敛，则称（1）为条件收敛级数。调和级数：1发散，而、（-1）n-收敛； nn级数：、。收敛; n品级数:,23n1 x x x-xx <1时，收敛于1 -xx至1时，发散对于级数(3)a0 +a1x +a2

26、x2+一 +anxn +,如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全:二R时收敛数轴上都收敛，则必存 在R,使> R时发散，其中R称为收敛半径。=R时不定41：;0时,R= P求收敛半径的方法：设liman 1n ：'| anan书是(3)的系数，则f P = 0时,P = " 时，R=0f (xo)n(x-xo) n!函数展开成品级数:函数展开成泰勒级数：f (x) = f (x0)(x -x0) + ( (x0)(x -x0)2 +' 2!八十f(n 1)( )t”,、，- USn!余项：Rn = ； +；，(x-x0)n*, f (x)可以展开成泰勒级数的充要条

27、件是：眼Rn=0x0 =0时即为麦克劳林公式：f (x) -f(0) f (0)x ,工&x2 2!些函数展开成品级数:(1 x)m = 1 mxm(m-1) x2 +十 m(m-1)(m-n+1)/ +2!n!(-1 ：二 X ：二 1)35x x sinx = x 一3!5!2n 4(-1)nJ - (-二：x：:：二)(2n -1)!欧拉公式:ix ixe +ecosx =_ iX _ _ _ 一 一 e =cosx isinx或.2 .Iix-4xe -esin x :2三角级数:一 一 ：一a 二f (t) = A0 八 An sin(n t n) =- % (an cosn

28、x - bn sin nx) n 12n .1其中， a。=aAo，an=AnSin中n， bn = An cos 平 n， cot=x。正交性：1,sin x, cosx,sin 2x,cos2xsin nx,cosnx”任意两个不同项的乘积 在_n上的积分=0傅立叶级数:f (x)=曳 八(an cosnx bnsin nx),周期 =2二 2 n4n =1,2,32=(相力口)6_ 2=(相减)12余弦级数:bn = 0，2 二an = f (x)cosnxdx二 0n =0,1,2f(x)=", bnsinnx是奇函数f(x)=a°，.= an cosn娓偶函数2周期为21的周期函数的傅立叶级数:a。n：；,x n '： x、f(x)=- % (an cos bn sin) 周期 =2l2 n 3ll其中1 l 一、an =- f (x) cosl i1 lbn = - f (x)sinl in 二xln 二 xldxdx(n =0,1,2 )(n =1,2,3 )微分方程的相关概念：一阶微分方程：y'=f(x, y) 或 P(x,y)dx + Q(x, y)dy = 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy= f