基础知识要点-函数与方程

1、第 4 讲函数与方程知识梳理一、函数的零点方程的实数根又叫做函数的零点。方程有实根函数的图像与 x 轴有交点函数有零点；如果函数在区间上的图像是连续不断的，且有，则函数在区间上有零点。二、二分法1如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，且，通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（ 1）确定区间，验证，给定精度；（ 2）求区间的中点；（ 3）计算：若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）（ 4）判断是否达到精度；即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤（

2、2）-（ 4）重、难点突破重点：函数零点的概念，掌握用二分法求函数零点的近似值难点：用二分法求函数的零点近似值重难点： 1函数零点的理解函数的零点、 方程的根、 函数的图像与x 轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数的零点的个数，亦即函数的图像与x 轴交点的个数变号零点与不变号零点若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点若函数在区间上的图象是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题（ 1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方

3、程的根（ 2）求曲线和的交点的横坐标，实际上就是求函数的零点，即求方程的根3关于用二分法求函数的零点近似值的步骤须注意的问题：（ 1）第一步中要使：区间长度尽量小；的值比较容易计算且；（ 2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是等价的。对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即方程的根。热点考点题型探析考点 1 零点的求法及零点的个数题型 1：求函数的零点 . 例 1 求函数的零点 . 解题思路 求函数的零点就是求方程的根解析 令 ，即函数的零点为-1， 1，2。 名师指引 函数的零点不是点，而是函数函数的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个1 / 5实数。题型 2

4、：确定函数零点的个数. 例 2 求函数 f(x)=lnx 2x 6 的零点个数 . 解题思路 求函数 f(x)=lnx 2x 6 的零点个数就是求方程lnx 2x 6=0 的解的个数 解析 方法一：易证 f(x)= lnx 2x 6 在定义域上连续单调递增，又有，所以函数 f(x)= lnx 2x 6 只有一个零点。方法二：求函数 f(x)=lnx 2x 6 的零点个数即是求方程 lnx 2x 6=0 的解的个数即求的交点的个数。画图可知只有一个。 名师指引 求函数的零点是高考的热点，有两种常用方法：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图像联系起来，并

5、利用函数的性质找出零点题型 3：由函数的零点特征确定参数的取值范围 例 3 (2007 广·东 )已知 a 是实数 ,函数 ,如果函数在区间上有零点，求a 的取值范围。 解题思路 要求参数a 的取值范围，就要从函数在区间上有零点寻找关于参数a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为的系数，故要对a 进行讨论 解析 若 ,显然在上没有零点, 所以.令,解得当时 ,恰有一个零点在上;当，即时，在上也恰有一个零点.当在上有两个零点时, 则或解得或综上所求实数的取值范围是或. 名师指引 二次函数、 一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函

6、数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键 . 二次函数 f（ x）=ax2+bx+c 的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据 . 新题导练 1（ 09 年浙江五校联考）函数有且仅有一个正实数的零点，则实数的取值范围是（）A ； B； C； D 解析 B ；依题意得（1）或（ 2）或（3）显然（ 1）无解；解（ 2）得；解（ 3）得又当时，它显然有一个正实数的零点，所以应选B2（中山市 09 届统测）方程的实数解的个数为_ 解析 2；在同一个坐标系中作函数及的图象，发现它们有两个交点故方程的实数解的个数为 2考点 2 用二分法求方程的近似解 例 4（斗门一中 09届

7、模拟）利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：0.20.61.01.41.82.22.63.03.41.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.5562 / 50.040.361.01.963.244.846.769.011.56那么方程的一个根位于下列区间的（） .A. （ 0.6， 1.0）；B. （ 1.4， 1.8）；C.（ 1.8， 2.2）；D.（ 2.6， 3.0） 解题思路 判断函数在各个区间两端点的符号 解析 由，故排除A ；由，故排除B ；由，故可确定方程的一个根位于下列区间（1.8， 2.2），所以选择C 名师指引 用二分法求方程的

8、近似解的关键是先寻找使得函数在两端点异号的某区间，然后依次取其中点， 判断函数在中点的符号， 接着取两端函数值异号的区间作为新的区间， 依次进行下去，就可以找到符合条件的近似解。 新题导练 3用二分法研究函数的零点时，第一次经计算， ，可得其中一个零点，第二次应计算，这时可判断 解析 ，；由二分法知，这时，故考点 3根的分布问题 例 4 已知函数 f（x） =mx2+ （ m 3） x+1 的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数 m 的取值范围 解题思路 由于二次函数的图象可能与x 轴有两个不同的交点，应分情况讨论 解析 （1）若 m=0，则 f （ x） =3x+1 ，显然满足

9、要求.（ 2）若 m 0，有两种情况：原点的两侧各有一个，则 m 0；都在原点右侧，则解得 0 m 1，综上可得 m（， 1 . 名师指引 二次方程根的分布是高考的重点和热点， 需要熟练掌握有关二次方程 ax2+bx+c=0 （a0）的根的分布有关的结论：方程 f（ x）=0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小 a·f（ r） 0. 二次方程 f （x） =0 的两根都大于 r 二次方程 f （x） =0 在区间（ p， q）内有两根二次方程f （x） =0 在区间（ p， q）内只有一根f （ p） ·f（ q） 0，或 f （p） =0，另一根在（ p， q）内或

10、 f（ q） =0，另一根在（p， q）内 .方程 f（ x）=0 的两根中一根大于p，另一根小于q（ p q） 新题导练 3已知二次函数f(x)=4x2 2(p2)x 2p2 p+1,若在区间1，1内至少存在一个实数c,使 f(c)>0, 则实数 p 的取值范围是 _. 解析 ( 3，） 只需 f(1)= 2p2 3p+9>0 或 f( 1)= 2p2+p+1>0 即 3 p或 p 1. p( 3, ).4若方程 x2+(k-2)x+2k-1=0 的两根中 ,一根在 0 和 1 之间 ,另一根在 1 和 2 之间 ,求实数 k 的取值范围 . 解析 ；令，则依题意得，即，解

11、得5.(2007 韶·关 )若关于 x 的方程 4x+2x a+a+1=0 有实数根，求实数a 的取值范围 . 解析 令 t=2x ，t>0 关于 x 的方程 4x+2x a+a+1=0 有实数根等价于方程t2+at+a+1=0(t>0)有正实数根 ,令 f(t)= t2+at+a+1 ，且故方程t2+at+a+1=0(t>0) 有正实数根等价于（1）方程有一3 / 5个正根一个负根：由f(0)<0, 得 a<-1（ 2）方程有两个相等的正数根：由（ 3）方程有两个不相等的正数根或有一个零根一个正根时：由求（ 1）（ 2）（ 3）的并集，得实数a 的取值

12、范围： 备选例题 （佛山市三水中学 09届）下图是函数和图象的一部分 ,其中时,两函数值相等 .(1) 给出如下两个命题 :当时 ,;当时 ,.判断命题的真假并说明理由.(2) 求证 : 解析 (1)命题是假命题,反例 :,则 ,但是,不成立 .命题是真命题,因为在上是减函数,函数在上是增函数,所以当时 ,.(2) 构造函数 ,则 ,所一在区间有零点 .有因为在区间是增函数 ,所以在区间有唯一个零点 ,即 ,所以.抢分频道基础巩固训练：1.（深圳九校09 届联考）下图是函数的图像，它与轴有个不同的公共点.给出下列四个区间，不能用二分法求出函数在区间（）上的零点A ；B C；D 解析 B ；由于

13、用二分法判断函数在区间上有零点的必要条件是，而从图可以看出，在区间的两端的符号相同，故不能用二分法求出函数在这个区间上的零点2（华侨中学09 届月考）设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（）A ； B； C； D 解析 B ；令，则，可见所在的区间是3方程 2x=2 x 的解的个数为 _. 解析 1 ；方程 2x=2 x 的解可看作函数 y=2x 和 y=2 x 的图象交点的横坐标 ,分别作出这两个函数图象（如下图） .由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.4（湛江市09 年高三统考）方程的解所在区间是（）A.（ 0，1）B.（ 1， 2）C.（ 2， 3）D. （ 3， 4） 解析

14、A ；令，则，所以方程的解所在区间是（0，1）5（金山中学 09 届月考）用二分法求方程在区间上的近似解，取区间中点，那么下一个有解区间为 解析 ；令，则，故下一个有解区间为6（ 09 年韶关市第一次调研考）已知函数，若实数是方程的解，且，则的值（）A 恒为正值；B等于零； C. 恒为负值；D. 不大于零4 / 5 解析 A 在同一坐标系中作出函数和的图象，发现，并且当时，综合提高训练：7（ 09 年深圳宝安中学）定义域和值域均为-a,a (常数 a>0)的函数 y=f(x) 和 y=g(x) 的图像如图所示，给出下列四个命题中：(1) 方程 fg(x)=0 有且仅有三个解；(3) 方程

15、 ff(x)=0 有且仅有九个解；那么，其中正确命题的个数是（)A 1;B. 2;C. 3;D. 4ya( )y f xaOa x(2) 方程 gf(x)=0 有且仅有三个解；(4)方程 gg(x)=0 有且仅有一个解。yay g(x)aOaxaa 解析 B ；由图可知， ，由左图及fg(x)=0得，由右知方程fg(x)=0 有且仅有三个解，即(1) 正确；由右图及gf(x)=0得，由左图知方程 gf(x)=0 有且仅有一个解， 故 (2)错误；由左图及 ff(x)=0 得，又由左图得到方程 ff(x)=0最多有三个解， 故 (3)错误；由右图及 gg(x)=0 得，由右图知方程 gg(x)=0 有且仅有一个解，即(4) 正确，所以应选择 B8（ 2008 ·惠州调研）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（） .A 1.2; B 1.3;C 1.4 ; D 1.59已知关于x 的二次方程x2+2mx+