2019年高考文科数学(全国II卷)

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷）文科数学1.设集合 A x|x -1 , Bx|x 2 ,则 A B ()第3页(共6页)A. ( 1,)B. (,2)C. ( 1,2)D.2 .设 z i(2 i),则 z ()A. 1 2iB. 1 2iC. 1 2iD. 1 2irrrr3 .已知向量a(2,3) , b(3,2),则 ab()A. J2B. 2C. 5.2D. 504 .生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为（）A.B.2335C.D.5 .在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测

2、甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙6 .设f(x)为奇函数，且当x 0时，f (x) ex 1,则当x 0时，f(x)()A. ex 1B. ex 1C. e x 1D. e x 17 .设，为两个平面，则 /的充要条件是()A. 内有无数条直线与平行B. 内有两条相交直线与平行C.,平行于同一条直线D., 垂直于同一平面8.x1一 ,x2 3-f(x) sin x(0)两个相邻的极值点，则 =若 44是函数A. 23B.

3、 2C. 11D.29.若抛物线22xy 2 px( p 0)的焦点是椭圆 3p21的一个焦点，则 p pA.2B.3C.4D.810.曲线y2sin xcosx在点（,1）处的切线方程为（）A.B.2xC.2xD.11.已知(0, ) , 2sin 2 cos22A.B.C.D.2.5512.设F为双曲线2A 1(a0,b0）的右焦点，0为坐标原点，以OF为直径的圆222与圆x y a交于P, Q两点，若PQOF，则C的离心率为：A. 2B. .3第6页（共6页）C. 2D.、5二、填空题2x 3y 6 013 .若变量x，y满足约束条件x y 3 0 z 3x y的最大值是.y 2 0则1

4、4 .我国高铁发展迅速，技术先进 .经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10个车次的正点 率为0.97 ,有20个车次的正点率为 0.98 ,有10个车次的正点率为 0.99 ,则经停该站的高 铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.15 . ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A acosB 0,则B .16 .中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一 .印信的形状多为长方体、 正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美 .图2是一个棱数为48的半正多

5、面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为.（ 本题第一空2分，第二空3分.）图1图2三、解答题17 .如图，长方体ABCD AB1cl D1的底面ABCD是正方形，点E在AA1上，BEXEC1.（1）证明：BE平面EBiCi（2）若AE AE1, AB 3,求四棱锥E BB1C1C的体积.18 .已知an是各项均为正数的等比数列，ai 2自 2a2 16.求an的通项公式： (2)设bn log 2 an ,求数列bn的前n项和.19 .某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100个企业，得到这些企业第一季度相对于

6、前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.y的分组0.20,00,0.200.20,0.400.40,0.600.60,0.80企业数22453147(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%勺企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01 )附：.74 8.602.22一，一 x y一一20 .已知f1，F2是椭圆C： 2r 1(a 0,b 0)的两个焦点，P为C上的点，。为坐 a b标原点.(1)若 POF2为等边三角形，求 C的离心率；(2)如果存在点 P,使得PF1PF2,且 F1PF2的

7、面积等于16,求b的值和a的取值范围.21 .已知函数f(x) (x 1)ln x x 1.证明：(1) f(x)存在唯一的极值点；(2) f (x) 0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.四、选做题(2选1)22.在极坐标系中，O为极点，点 M( 0, 0)( 0 0)在曲线C: =4sin 上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为 P .(1)当01时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.23.选彳4-5 :不等式选讲已知 f(x) |x a|x |x 2|(x a)(1)当a 1时，求不等式f(x) 0的解集：(2)若x (,1)

8、时，f(x) 0,求a得取值范围.第8页(共6页)2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 II卷）文科数学答案1 .答案：C解析:A x | x -1x | x 2 , A B (1,2).第1页（共7页）2 .答案：D解析:因为z i(2i)2i ,所以 Z 1 2i .3 .答案:解答:由题意知1,1),所以ab 行.4 .答案: 解答:计测量过的3只兔子为1、2、3,设测量过的2只兔子为A、B则3只兔子的种类有(1,2,3)(1,2,a)(1,2, b)(1,3,a)(1,3,b)(1,a,b)23A 2,3,B 2,AB 3,A,B 则恰3好有两只测量过的有6种，所以其概率为5

9、55.答案：A解答:根据已知逻辑关系可知,甲的预测正确,乙丙的预测错误，从而可得结果6 .答案：D解答:f(x) e1 ,又f （x）为奇函数,有 f(x) f ( x)7 .答案：B解析:根据面面平行的判定定理易得答案8.答案：A解答:由题意可知T 3244万即丁=，所以=29.答案：D解析:抛物线2 Px(p20）的焦点是（-,0）,椭圆23p1的焦点是（q2p,0）,8.10.答案：C解析:因为y 2cos x sin x ,所以曲线y 2sin x cosx在点,1）处的切线斜率为2,故曲线y 2sin xcosx在点（，1）处的切线方程为2x0.11.答案：B解答:(0,2) , 2

10、sin2 cos2 124sin cos 2cos则 2sincostan1 一,所以cos2HO?2.55所以sin. 1 cos212.答案:解析：设F点坐标为（c,0）,则以OF为直径的圆的方程为2/%2(X 2)圆的方程x2y2，则-，化简得到x2a ，、，r，代入式，求得 cab一,c第4页（共7页）一一 a2 ab ，则设P点坐标为（a_, ab） , Q点坐标为 c cab 拓一），故cPQ2ab，又 cPQOF ,则2ab一 .2 c,化简彳#到2ab c a cb22-2a b3 .2.a故选A.二、填空题 13.答案：9解答:根据不等式组约束条件可知目标函数3xy 在 3,

11、0处取得最大值为9.14.答案：0.98解答:平均正点率的估计值0.97 100.9840200.99 100.98.15.答案：4解析:根据正弦定 理可得 sin Bsin A sin AcosB 0 ,即 sin A sin B cosB3sin A 0 ,所以 sin B cosB 0 ,故 B 416.答案：2672 1解析:由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据 对称性列方程求解.三、解答题 17.答案:（1）看解析（2）看解析 解答:(1)证明：因为 BiCiC 面A1B1BA, BE 面 A1B1BABCBE 又 C1E B1C1C ,

12、. BE 平面 EB1C1 ；2设AA1 2a则BE2_2_2_2a , C1E2 18+a2, C1B24a222_ _ 2因为 C1B=BE C1E3, VE BB1cle1S h八 SteB1C1C h33二1818.答案： (1) an 22nn2解答:已知a12, a3 2a2162故 a1q2alq16,求得第5页(共7页)22n 1(2)把an代入bn,求得bn2n,故数列bn的前n项和为1 (2n21)n19.答案:详见解析解答:(1)这类企业中产值增长率不低于114 740%勺企业比例是710021，100这类企业中产值负增长的企业比例是2100(2)这类企业产值增长率的平均

13、数是0.10 2 0.10 24 0.30 530.50 140.70 7100 0.30这类企业产值增长率的方差是 222220.10 0.3020.10 0.3024 0.30 0.3053 0.50 0.3014 0.70 0.307100 0.0296所以这类企业产值增长率的标准差是 0.02962 ,74 8.602 0.17204 0.17.10010020.答案：详见解析解答：(1)若POF2为等边三角形，则P的坐标为 c, c，代入方程 6 W 1,可得2,2a2b22 c 4a23c2彳2r 1 ,解得e 44b22卮所以e * 1.(2)由题意可得uuuurPF1ULULT

14、PF22a,因为PR PF2,所以uuir 2PF1uuur 2PF2所以LUUPF1uuuuPF2uuirPF1uuuuPF22 -uuu-4c ,所以 2 PF1uuuuPF24a24c24b2,所以因为所以uiur uuuuPF1 PF2uuurPF1uuuuPF22b2 ，所以SPF1F21 uuir2 PuuurPF22-b 16,解得b 4.uuir4 PF1uuurPF2 ,即2auuir4 PF1uuuuPF2即a2uuuruuurPF1 PF2 ，a2 32 ,所以4.2.21.答案:见解析解答:(1) f (x)ln x1(x x0)，设 g(x)In x1,、一，g (x

15、) x则 g(x)在(0,）上递增,g(1)1 0, g(2) ln220，所以存在唯一xo(1,2),使得 f(%) g(x0) 0,x x0 时,g(x) g(x。)0 ,当 x x0 时，g(x)g(x0) 0,所以f（x）在（0,x0）上递减，在（x,）上递增，所以f（x）存在唯一的极值点.(2)（1）知存在唯一 x0(1,2),使得 f (%)0,即In x01x0f(x0)(% 1)ln % % 111)x0 1x。(%工)xO0,f(-?)e11(丁 1)( 2)1ee2(e21)e2 1 e2 3 0 ,所以函数f (x)在(0,%)上,(%,）上分别有一个零点.设 f (x1

16、)f(x2) 0, f(1)2第9页（共7页）有(x1 1)ln x1 X| 1 0In x1x11X11(x2 1)lnx2x2 1 0In x2x2 1x2 1设 h(x) In x x_1,当 0 x,x 1 时，恒有 h(x) h(-)0 ,x 1x则 h(x1)h(x2) 0时，有 x#2 1.22.答案：（1） 0 2瓜 l的极坐标方程：sin（ -） 2；（2） P点轨迹的极坐标方程为=4cos （，一 ）.4 2解析:(1)当 一时, 30=4sin 0 4sin 3以O为原点，极轴为x轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有M (V3,3) , A(4,0),koM . 3 ,则直线的斜率k ，由点斜式可得直线l3.3(x 4),化成极3坐标方程为 sin（ 一） 2 ； 6(2) .1 OMOPA 一,则P点的轨迹为以2OA为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为（x 2）2 y24,化成极坐标方程为=4cos ，又P在线段OM上，由4sin4cos可得 一，P点轨迹的极坐标方程为=4cos