7.3复数的三角表示(精讲)(解析版)

1、思维导图主值概念三角 形式三种表示复数三角表示常见考法7. 3复数的三角表示（精讲）代数式z=a+bi向量0Z以x轴正半轴为始边，向量0Z所在射线为终边的角0叫做复数的辐复数的辐角是不唯一的，我们把复数z在C n ,开内的辐角叫 做辐角主值，记作arg? 我们所说的辐角一般指的是它的主值. 即-n < argzW n规定：复数0的辐角是任意值若复数:的模为沢辐角为&则汁r（cos 0 + lslnff）般地,把? = r（cos + isin）叫复数的三角形式注意：复数的三角形式须满足“模非负，角相同，余正弦，加号ZXZ2 =/r2|cos( +Q) + fsin(q +02)模

2、相乘,幅角相加。运算法则=|cos(t -2) + zsin( -02)模相除，幅角相减代数式转三角式步骤（1）先求复数的模（2）决定Z（a, b）所在的象限（3）根据象限求出辐角（4）求出复数三角式。复数的三角表示考法三复数的乘、除运算的三角表示及及其几何总义考法一复数的三角表示3 / 11【例1-1（2020 全国髙一课时练习）把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）3_品;【答案】（1）3-応=2忑11兀11兀cos+ isin6忑-751 = 2cos 空+isinH|44丿【解析】（1）广=（32+（一囘2 =2®因为» j3-y/3i对应的点、在第四象限，所以a

3、rg（3 凋）=*所以3 J亍i = 2j亍1 71.1 1兀cos+ isin6 6因为*J>/2->/2i对应的点在第四象限，所以arg（>/2-V2i） = ,7/r7龙、所以血一V2i = 2 cos + isin.44丿【例1-2】（2020 全国高一课时练习）把下列复数的三角形式化成代数形式.(1) 4 cos兰+ isi4；33丿(2) 3仏s竺+ isin竺)4【答案】<1）2 + 2血一学一半【解析】(1)4 cos + isin =4cos- +i 33 /r(4sin?=4x丄+ 4x2i=2+2屁，2：，3 cosT+isinT5兀(5迈、/=

4、3cos + 3sin i =3x+ 3x)414丿2 /X2卮_ 3近3化【一隅三反】1. （2020 全国高一课时练习）画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式:(2) 1-/.【答案】作图见解析寺”浓作图见解析；7兀.7Q cos +1 sin 44丿【解析】复吋+¥对应的向量如图所示,因为与”爭对应的点在第 像限，所以arg| 1 + /| =-12 2"1(2丿< 2=l,cos0 = 2于是+ / = cos+/sin .2 2331_y/2V2=T于是1心cos + /sinZ£j.44丿当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角&

5、;不一定取主值例如血cosrJJ+ zsin也是I的r = JF+(_1)2 =返,c o s & =因为与 I 对I应的点在第四象限，所以arg(l-i) = 4V >O-1三角形式.2. （2020 全国高一课时练习）将下列各复数的三角形式转化为代数形式:(1)4V3(cos/r+ /sin):(2)(4)4兀.4兀) cos +1 sin 33 )8 cos + /si .22 JA 11龙.11兀6 cos+ zsin6 699 / 11【答案】4° <2）373-3/ 一乎一乎,（4） -8/【解析】(1) 4>/3(cos7i + isin tv

6、) = 4笛(一1 + 几0) = -4笛(2)11龙11龙cos+1 sin6 6H专冷卜心.(3)4龙.4兀 cos+ zsin 33= 8(0-0 =-8/.8 cos+ /sin2(1)2長-2i；(2)一2（；(4)3（2020 全国高一课时练习）将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：(3) 1_后【答案】（l） 4 cos字+ fsin匕乂66 y(2) 2 cos3/r.3龙+ /sin2(4)；(3) 2 cos- +/sin>/3(cos + zsin)【解析】(1) V r = 7(2>/3)2+(-2)2 =4 -COS' = T又&曰

7、0,2兀)，& = 竺，2>A 2j = 46ll/r .1U Icos+ /sin6 6(2) ./=2 cos& = 0, sin& = -l,又。W牛.-2z = 2fcos + /sin 122 J(4) cos& = -l, sin& = 0,又6e0M, ：.O = tt.： -/3 = V3(cos7i + isin jt)洛的辐角主值为（1 O考法二复数的辅角【例2】（2020 全国高一课时练习）复数z = -sin + zcos18A.16兀C.D.17TV【答案】D【解析】故选：D 5 兀.5/r7/T .7 7TA .,丿八厶

8、 '比 7 /T = -sin + zcos = cos-+ /sin故复数z的辐角主值为一厂 1818999【一隅三反】1. （2020 全国）复数勺=1,令由向绕原点O逆时针方向旋转壬而得到则arg（毛立）的值为3 2D.【答案】C【解析】Z = 1, Z = cos0 + / sin 0, oz> = OZ (cos + z sin )=3.I色二1 =丄（二1 +L）所以复数在第.象限役幅角为& tan = -V3 ：.3 = 故选：C22 2232. （2020 -全国高一课时练习）若复数z = _l_J予（，为虚数单位），则如gZ为（）A. -120°

9、;B. 120°C. 240°D. 210°【答案】C【解析】由z = l J5i，得复数Z对应的点在第三象限，且cos& = 所以argz = 240°.故选：C.3. （2020 -辽宁辽师大附中高一期末）耙复数7与z对应的向OA,OB分别按逆时针方向旋转?和等后,重合于向OM且模相等，已知乙2=-1-J生，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（）A. “一血,普B. “+屈手C. “-臂D.【答案】B【解析】由题可知石兀 兀cos + z sin 44)5龙.5/rcos + zsin,33则彳¥ + ¥卜（亠妁）卜乎卜2

10、 7 一 一2 _-2 迈 _-2 迈 U-i） _ 込'一近血.一市一 （1 + ：）（1 厂 7:12 2可知召对应的坐标为（-则它的佈角丄值为寸.故选：B.考法三复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义【例3】（2020 全国髙一课时练习）计算下列各式：(1) 5/J(cosf + isin彳 卜 2>/J(cos +fsin于 j:(4)(2)cos 135° +z sin 135°):2 cos竺+ isin3V2cosSsinR.33丿【答案】(1)«¥+纽_譬+佇八并一乎【解析】(1)兀 cos+ z sin32/r，cos+

11、 /sin322兀ncos U 3+ isin(f + ¥j = 6(cos;r + isin/r) = -6.2 (cos 15° +/sin 15°)x 4+1)2=2仏兰+ isin耳x1212 丿=V2cos+ isin 112+苧)U2 45/rcos + zsin3rsin- - Q(cos135°+ z sin 135)=2 cos竺+isin竺LI 33 )3兀 .3龙 cos+ isin 445tt 3龙=V2 x134丿(5/r3龙)+ zsin一I 34 )1 n . 1 n+ zsin12 12兰+ ,sin兰12 12 丿(&g

12、t;/6 + >/2 V6-V2 ?441 J血+也.2 2(4)4兀.4龙) +1 sin33丿cos +1 sin 335/r.cos + z sin3fl忑、 1I 2 2 X+isi竺一引I 33丿71龙 cos+ z sin 3【一隅三反】1.（2020 全国高一课时练Al）cost+ isinf |x3 cos+ isinC.二+婕 i2 2【答案】C6；2211 / 1171 .(兀兀)+ +isin + U 6)(26丿7Tdoes 迈+ isin 竺3i.故选：c2 2【解析】cos + isin? x3 cos + isin I 22) 6615 / 112. (20

13、20 全国高一课时练习)9(cos+isin3)-?3(cos2+isin2/r)=()A. 3B-3C. 73iD一毎【答案】B【解析】9(cos+isin3)3(cos2+isin2) = -94-3 = -3故选:B3. (2020 全国高一课时练习)(cos30° + isin30°)x2(cos60° + isin60°)x3(cos45° + isin45°)=2B.巫込 J込匹班迟2 2 2 2 2 2【答案】C【解析】(cos30° + isin30°)x2(cos60° + isin60

14、°)x 3(cos45°+isin45°) = -x2x3 cos(30° + 60° + 45。) + i sin(30° + 60° + 45°)2=3 (cos 135°+i sin 135°)V2 2.+i2 2Z故选：C.4. (2020 全国高一课时练习)计算下列各式，并作出几何解释:(1) >/2 cos年+ fsin¥x2>/j(cos彳 + isin彳(2) 2(cos75°+/sin75【答案】(1)-4,几何解释见解析並忑, 几何解释见解析(

15、3) -(>/3 + 1) + (>/3-1)/.2 2几何解释见解析 (4)丄+逼八 几何解释见解析4 4【解析】(1)原式=x/2x2V2x(cos + sin) = 4x(-l + 0/) = -4.几何解释:作打勺心対应的向OZOZ 然后把向：1(OZ1 绕原点0按逆时针方向旋转彳,再将其长度伸长 为原来的2>/2倍.得到一个长度为4,辐角为确向量OZ 则0Z即为枳Z 召=-4r W的向M.(2)原式=2(cos75° + isin75°)xz/o徑+冷卫+疤.(2 2 丿-=2(cos75° +sin75°)x-(cos315

16、° + sin315°) =V? (cos 390° +/sin 390°) = >/2 x几何解释：设 Z = 2(cos75° + Fsin75°),Z2 = *-片 / = (cos315° +sin315°)，作打石，对应的向駅%，近，然后把向h'iOZi绕原点。按逆时针方向旋转315。，再将英长度缩短为原來的丰，得到-个长度为血、能角为彳的向 ip： OZ >则迈即为积+誓所对应的向量.(3)原式=4 cos + isin)*遇竺+简辺44 )1 7T.1 1兀cos+ /sin12 1225/2 x| -cosl + jsin12inn)=2V2 x>/6 + >/2 >/6-V2 ?"4 "- +4、几何解释：设Z =4(cos300° + /sin300°) = 4cos/sin- j, z2 = >/23兀cos + zsin4手)作与Z2A ozoz然后把向量绕原点0按顺时针方向旋转手再純长度