新北师大九年级下24二次函数的应用(1)(最大面积)

1、九年级数学九年级数学( (下下) )第二章第二章二次函数二次函数2.4 2.4 二次函数的应用二次函数的应用-最大面积最大面积1.1.二次函数表达式的顶点式是二次函数表达式的顶点式是 ， 若若a0a0，则当，则当x=x= 时，时，y y有最大值有最大值 。y=ax+bx+c (a 0)y=a(x-h)2+k (a 0)hk2.2.二次函数表达式的一般式是二次函数表达式的一般式是 ， 若若a0a0 x0 解解得得 4x6 -40 且且对对称称轴轴是是直直线线 x=3 当当 4x6 时时，y 随随 x 增增大大而而减减少少 当当 x=4m 时时，S最最大大= - 442+244=32m2 即即墙墙

2、的的最最大大可可用用长长度度为为 8 米米，围围成成花花圃圃的的最最大大面面积积是是 32m2。 S=-4x2+24x 变式练习变式练习2.如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为24m24m的篱笆，的篱笆， 围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB=xmAB=xm，面积为面积为SmSm2 2。 (1)(1)求求S S与与x x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围； (2)(2)当当x x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)(3)若墙的最

3、大可用长度为若墙的最大可用长度为8 8米，求围成花圃的最大面积米，求围成花圃的最大面积 . .(1)(1)设矩形的一边设矩形的一边AB=xcmAB=xcm, ,那么那么ADAD边的长度如何表示？边的长度如何表示？(2)(2)设矩形的面积为设矩形的面积为ycmycm2 2, ,当当x x取何值时取何值时,y,y的最大值是多少的最大值是多少? ?例例2 2：如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD， 其中其中ABAB和和ADAD分别在两直角边上分别在两直角边上. .MN40cm30cmABCDABCDMN40cm30cmxcm b cm例例2

4、2：如图如图, ,在一个直角三角形的在一个直角三角形的内部作一个矩形内部作一个矩形ABCDABCD，其中，其中ABAB和和ADAD分别在两直角边上分别在两直角边上. .(1)(1)设矩形的一边设矩形的一边AB=xcmAB=xcm, ,那么那么ADAD边的长度如何表示？边的长度如何表示？(2)(2)设矩形的面积为设矩形的面积为ycmycm2 2, ,当当x x取何值时取何值时,y,y的最大值是多少的最大值是多少? ?ABCDMN40cm30cmxcm b cm例例2 2：如图如图, ,在一个直角三角形的在一个直角三角形的内部作一个矩形内部作一个矩形ABCDABCD，其中，其中ABAB和和ADAD

5、分别在两直角边上分别在两直角边上. .(1)(1)设矩形的一边设矩形的一边AB=xcmAB=xcm, ,那么那么ADAD边的长度如何表示？边的长度如何表示？(2)(2)设矩形的面积为设矩形的面积为ycmycm2 2, ,当当x x取何取何值时值时,y,y的最大值是多少的最大值是多少? ?解解：（1）AD=( - 34x + 30 )cm (1).(1).设矩形的一边设矩形的一边BC=xmBC=xm, ,那么那么ABAB边的长度如何表示？边的长度如何表示？(2).(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ymym2 2, ,当当x x取何值时取何值时,y,y的最大值是多少的最大值是多少? ?变式练习变

6、式练习3 3：如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其顶点，其顶点A A和点和点D D分别在两直角边上分别在两直角边上,BC,BC在斜边上在斜边上. .ABCDEGF40m30mxmbmPQ(1).(1).设矩形的一边设矩形的一边BC=xmBC=xm, ,那么那么ABAB边的长度如何表示？边的长度如何表示？(2).(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ymym2 2, ,当当x x取何值时取何值时,y,y的最大值是多少的最大值是多少? ?变式练习变式练习3 3：如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形

7、ABCDABCD，其顶点，其顶点A A和点和点D D分别在两直角边上分别在两直角边上,BC,BC在斜边上在斜边上. .ABCDEGF40m30mxmbmPQ解解 ： (1)AB =(- 1225x + 24 )m 如图如图,已知已知ABC是一等腰三角形铁板余料是一等腰三角形铁板余料,AB=AC=20cm, BC=24cm.若在若在ABC上截出一矩形零件上截出一矩形零件DEFG,使得使得EF在在BC上上,点点D、G分别在边分别在边AB、AC上上.问矩形问矩形DEFG的最大面积是的最大面积是多少多少?CFEBGDAMN变式练习变式练习4 4：例例3 3：某建筑物的窗户如图所示某建筑物的窗户如图所示

8、, ,它的上半部是半圆它的上半部是半圆, ,下半部下半部是矩形是矩形, ,制造窗框的材料总长制造窗框的材料总长( (图中所有的黑线的长度和图中所有的黑线的长度和) )为为15m.15m.当当x x等于多少时等于多少时, ,窗户通过的光线最多窗户通过的光线最多( (结果精确到结果精确到0.01m)?0.01m)?此时此时, ,窗户的面积是多少窗户的面积是多少? ?xxy例例4 4. .在矩形在矩形ABCDABCD中，中，ABAB6cm6cm，BCBC12cm12cm，点，点P P从点从点A A出发沿出发沿ABAB边向点边向点B B以以1cm/1cm/秒的速度移动，同时，点秒的速度移动，同时，点Q

9、 Q从点从点B B出发沿出发沿BCBC边向点边向点C C以以2cm/2cm/秒秒的速度移动。如果的速度移动。如果P P、Q Q两点在分别到达两点在分别到达B B、C C两点后就两点后就 停止移动，停止移动，设运动时间为设运动时间为t t秒（秒（0t6)0t6)，回答下列问题：（，回答下列问题：（1 1）运动开始后第几）运动开始后第几秒时，秒时，PBQPBQ的面积等于的面积等于8cm8cm2 2 ； （2 2）设五边形）设五边形APQCDAPQCD的面积为的面积为ScmScm2 2 ，写出，写出S S与与t t的函数关系式，的函数关系式，t t为何为何值时值时S S最小？求出最小？求出S S的最

10、小值。的最小值。QPCBAD解解： （1）由由题题意意得得BQ=2tcm， BP=(6-t)cm SPBQ= 12 2t(6-t)=8cm2 解解得得：t1=2,t2=4 运运动动开开始始后后2秒秒或或4秒秒时时， PBQ的的面面积积等等于于8cm2 2t cm(6-t)cm t cm例例4 4. .在矩形在矩形ABCDABCD中，中，ABAB6cm6cm，BCBC12cm12cm，点，点P P从点从点A A出发沿出发沿ABAB边向点边向点B B以以1cm/1cm/秒的速度移动，同时，点秒的速度移动，同时，点Q Q从点从点B B出发沿出发沿BCBC边向点边向点C C以以2cm/2cm/秒秒的速

11、度移动。如果的速度移动。如果P P、Q Q两点在分别到达两点在分别到达B B、C C两点后就两点后就 停止移动，停止移动，设运动时间为设运动时间为t t秒（秒（0t6)0t6)，回答下列问题：（，回答下列问题：（1 1）运动开始后第几）运动开始后第几秒时，秒时，PBQPBQ的面积等于的面积等于8cm8cm2 2 ； （2 2）设五边形）设五边形APQCDAPQCD的面积为的面积为ScmScm2 2 ，写出，写出S S与与t t的函数关系式，的函数关系式，t t为何为何值时值时S S最小？求出最小？求出S S的最小值。的最小值。QPCBAD2t cm(6-t)cm t cm1.1.理解问题理解问

12、题; ;w回顾本节回顾本节“最大面积最大面积”解决问题的过程，你能解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流流. .2.2.分析问题中的变量和常量分析问题中的变量和常量, ,以及它们之间的关系以及它们之间的关系; ;3.3.用数学的方式表示出它们之间的关系用数学的方式表示出它们之间的关系; ;4.4.做数学求解做数学求解; ;5.5.检验结果的合理性检验结果的合理性, ,拓展等拓展等.课堂总结41.1.一根铝合金型材长为一根铝合金型材长为6m6m，用它制作一个，用它制作一个“日日”字型的窗字型的窗框，如果恰好用完整条铝合金型材，那

13、么窗架的长、宽各框，如果恰好用完整条铝合金型材，那么窗架的长、宽各为多少米时，窗架的面积最大？为多少米时，窗架的面积最大？课堂训练5 3. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m，如果水位上升，如果水位上升3米，则水面宽米，则水面宽CD=10m（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）有一条船以）有一条船以5km/h的速度向此桥驶来，当船距离此的速度向此桥驶来，当船距离此桥桥35km是，桥下水位正好在是，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨处，之后水位每小时上涨0.

14、25m当水位到当水位到CD处时，将禁止船只通行，如果该船按原处时，将禁止船只通行，如果该船按原来的速度行驶，那么它能否能安全通过此桥。来的速度行驶，那么它能否能安全通过此桥。 E B D C A4.4.如图如图, , 在在RtRtABCABC中中,ACB=90,ACB=90,AB=10,BC=8,AB=10,BC=8,点点D D在在BCBC上上运动运动( (不运动至不运动至B,C),DEAC,B,C),DEAC,交交ABAB于于E,E,设设BD=x,BD=x,ADEADE的面的面积为积为y y (1)(1)求求y y与与x x的函数关系式及自变量的函数关系式及自变量x x的取值范围的取值范围;

15、 ;(2)y(2)y为何值时为何值时, ,ADEADE的面积最大的面积最大? ?最大面积是多少最大面积是多少? ?5.5.正方形正方形ABCDABCD边长边长5cm,5cm,等腰等腰PQRPQR中中,PQ=PR=5cm,PQ=PR=5cm,QR=8cm,QR=8cm,点点D D、C C、Q Q、R R在同一直线在同一直线l l上，当上，当C C、Q Q两点重合时，等腰两点重合时，等腰PQRPQR以以1cm/s1cm/s的速度沿直线的速度沿直线l l向左方向开始匀速运动，向左方向开始匀速运动，tsts后后正方形与等腰三角形重合部分面积为正方形与等腰三角形重合部分面积为ScmScm2 2，解答下列

16、问题：解答下列问题：(1)(1)当当t=3st=3s时，求时，求S S的值；的值；(2)(2)当当t=5st=5s时，求时，求S S的值的值(3) (3) 当当5st8s5st8s时，求时，求S S与与t t的函数关系式，并求的函数关系式，并求S S的最大值。的最大值。(4) (4) 当当0st13s0st13s时，求时，求S S与与t t的函数关系式，的函数关系式， MABCDPQRlNABCDlMPQRHN5.5.正方形正方形ABCDABCD边长边长5cm,5cm,等腰等腰PQRPQR中中,PQ=PR=5cm,PQ=PR=5cm,QR=8cm,QR=8cm,点点D D、C C、Q Q、R

17、R在同一直线在同一直线l l上，当上，当C C、Q Q两点重合时，等腰两点重合时，等腰PQRPQR以以1cm/s1cm/s的速度沿直线的速度沿直线l l向左方向开始匀速运动，向左方向开始匀速运动，tsts后后正方形与等腰三角形重合部分面积为正方形与等腰三角形重合部分面积为ScmScm2 2，解答下列问题：解答下列问题：(1)(1)当当t=3st=3s时，求时，求S S的值；的值；(2)(2)当当t=5st=5s时，求时，求S S的值的值(3) (3) 当当5st8s5st8s时，求时，求S S与与t t的函数关系式，并求的函数关系式，并求S S的最大值。的最大值。(4) (4) 当当0st13

18、s0st13s时，求时，求S S与与t t的函数关系式，的函数关系式， 解解： （1）抛抛物物线线 y=12x2+mx+n经经过过 A（1，0） ，C（0，2） 解解得得： m=32c=2 ， 抛抛物物线线的的解解析析式式为为： y=12x2+32x+2； （2014兰兰州州）如如图图，抛抛物物线线y=12x2+mx+n与与x轴轴交交于于A、B两两点点，与与y轴轴交交于于点点C，抛抛物物线线的的对对称称轴轴交交x轴轴于于点点D，已已知知A（1，0） ，C（0，2） （1）求求抛抛物物线线的的表表达达式式； （2）在在抛抛物物线线的的对对称称轴轴上上是是否否 存存在在点点P，使使PCD是是以以CD为为 腰腰的的等等腰腰三三角角形形？如如果果存存在在，直直 接接写写出出P点点的的坐坐标标；如如果果不不存存 在在，请请说说明明理理由由； P 抛抛物物线线的的对对称称轴轴是是 x=32 P1（32，4） ，P2（32，52） ，P3（32，52） ； （2014