fdb1不定积分ppt课件

1、不定积分重点：重点：1.不定积分的概念、性质不定积分的概念、性质 2.积分方法凑微分、变量代换、分部积分法）积分方法凑微分、变量代换、分部积分法）)()1(12bxadxddxx)2(1xddxx)()()()(tdtfdxxftxCtFdtttf)()()(5 5变量代换法第二换元积分法）变量代换法第二换元积分法）注：要求熟悉某些常用代换，如)(1倒代换分母次数较高时用tx 6.6.分部积分法分部积分法)( dd抵消型Cuvuvvu)( dd转化型uvvuvu解题技巧解题技巧:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的顺序, 前者为 后者为u.v,sin ,

2、cos ;kxkkxexxxx1 1,1 arcsin ,1 arctan ;nxxxln ,arcsin ,arctan ,.kkkxxxxxx 常见搭配是：常见搭配是： 7特殊类型函数的积分只要求简单的）特殊类型函数的积分只要求简单的）1有理函数的积分有理函数的积分dxxR)(dxxxR)cos,(sin2三角函数有理式的积分2tanxuxucosxusinxutan 万能变换：常用变换：（考研几乎不用）3简单无理函数的积分要熟练掌握常用 代换）（凑微分）【典型归类】【典型归类】偶？【注】偶函数的原函数只有一个是奇函数NM （2019设设F(x)是连续函数是连续函数f(x)的一个原函数，的

3、一个原函数，（AF(x)是偶函数是偶函数 f(x)是奇函数是奇函数.f(x)是偶函数是偶函数.f(x)是周期函数是周期函数. 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. （B） F(x)是奇函数是奇函数(C) F(x)是周期函数是周期函数(D) F(x)是单调函数是单调函数 f(x)是单调函数是单调函数.表示表示“M的充分必要条件是的充分必要条件是N”，则必有，则必有 A 【注】【注】 函数函数f(x)与其原函数与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过已多次考查过. 问：问：f(x)与其原函数与其原函数F(x)的有界性之间有何关

4、系？的有界性之间有何关系？分段函数的原函数要处理好常数C【注】初等函数的原函数不一定是初等函数，因此不一【注】初等函数的原函数不一定是初等函数，因此不一, ,定都能积出定都能积出. .例如：例如： ,d2xex,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4 xx,d13xx, ) 10(dsin122kxxk此类积分函数多在定积分和二重积分中出现，用变上限积分的导数或交换积分次序来处理。二、不定积分的计算题二、不定积分的计算题.凑微分法凑微分法9.121xe dxx求.)1(. 111Cexdexx原式方法2112., t dxdtxt 方法令.)1(122Cedtedttetxtt原

5、式( ( )( )( ( )( )fxx dxfx dx 【注】凑微分法最常用，要优先考虑，且往往与其【注】凑微分法最常用，要优先考虑，且往往与其 它方法相结合它方法相结合10.(01)(1)dxIxxx (1)/ .txx21/(1)xt222 (1)dxttdt 1/222221121122arctan2arctan11(1)1tdtxIdttCCttttx 1(2)dxdxx2222arcsin1 ()1 ()dxdxIxCxxx若是套用标准代换：若是套用标准代换： 以上计算并简单以上计算并简单解：解：注意到注意到11.Cxdxxxxx) 1(ln12.13.14.15.Ceedxeee

6、exxxxxx)ln(Cxdxxx22)1(arctan2111arctanCxaaaxdxaxxarcsin1)( 122Cxxdxxx241arcsin21) 1( 11Cedxexexxxx22sin222sin41sin16.变量代换法第二换元法）：变量代换法第二换元法）：( )( )( ( )( )xtf x dxftt dt Ceedxexxx)1arctan1(211xet令dxex 12dxxx231Cxexxdxxexxxx1ln)1 (1texttuln21 tanxttx或17.18.20.19.以下是一些特殊代换以下是一些特殊代换tdtxf tdxxfxntxn2tan

7、2sec)(sectan)1(未必容易未必容易1n2xt奇数，令当xdxtdt tdttftdxxfxknknn)(1)1(122）（dxxx211dxxax2322)(121.22.23.的积分形如dxbaxxpnm )(观察、凑微分再作代换Cxxdxxx44471621Cxdxxx326365)1 (4111Cxxxxdxxxx363363122ln311126.25.24.dxqpxxBpCpxBdxqpxxCBx222)2()3()4()2()2()2()(22222pqpxpxdBpCqpxxqpxxdB22222ln()arctan.244BCBpxpxpxqCqpqp2224pt

8、xpaq令简化！ 简单有理函数的不定积分简单有理函数的不定积分(1)ln |.AdxAxaCxa1(2).(2,3,)()(1)()nnAAdxCnxanxadxxR)(dxeeexxx6321127.tex6令29.28.dxxax66228 1xtdxxx令3xt 令)(1 )1 (128倒代换令xtdxxx30.27. .1d632xxxeeex解解: 令令,6xet 那么,ln6tx txtdd6原式原式ttttt)1 (d623tttt) 1)(1(d621331362ttttt dtln61ln3t) 1ln(232tCt arctan3Ceeexxxx636arctan3) 1l

9、n() 1ln(323简单无理函数的不定积分简单无理函数的不定积分原则：原则：简单无理函数简单无理函数变量替换变量替换有理函数有理函数符号符号 R (u, v) 表示以表示以 u 和和 v 为变量的有理函数为变量的有理函数.1. ( ,) 2 0.naxbR xdxnadbccxd型积分，其中且于是则设 ,)( ),( , dttdxtctabdtxtdcxbaxnnn( ,)naxbR xdxcxd( ( ), )( ).Rt tt dt积分积分有理化有理化12( ,)nnaxbaxbR xdxcxdcxd12 ,naxbt nn ncxd令31.7781514.xxdxxx解：解：1413

10、14 , ,14,xtxtdxt dt设 则有：1114142772131381516151414714()()1414()()ttttt dtt dttttt原式=543211414 (1).1tdtttttdtt 32.11.1xdxxx2222114 , , , 11(1)xtttxdxdtxtt设则 有222222214 =41(1)(1)(1)ttttdtdttttt 原式33.23(1)(1)dxxx311 =.11xdxxx31 1xtx令34. 21 23xdxxx22221(1 23)163411 233()331131ln 1 23arcsin.323 3dxxdxxxxx

11、xxC 22. () MxNaxbxcdx22xa dx35.2(1)25xxxdx222125 (25)2(1)42xxd xxxdx24ln(125).xxxC 32221(25)(1)253xxxxx22. () MxNaxbxcdx22xa dx三角函数的不定积分三角函数的不定积分22 tan, () 2arctan , ,21xtxxt dxdtt设则2222222tan1tan2122sin, cos,111tan1tan22xxttxxxxtt (sin ,cos ) Rxx dx只要讨论形如的积分即可.2222212(sin ,cos )(,)111.ttRxx dxRdttt

12、t:t=tan2x万能替换几乎不用分母次数太高）几乎不用分母次数太高）R(sinx,cosx) 具有某种性质时，作特殊变量替换：具有某种性质时，作特殊变量替换： 1. (sin ,cos ) cos Rxxx若是的奇函数，即(sin , cos )(sin ,cos ), sin .RxxRxxtx 设即可2. (sin ,cos ) sin Rxxx若是的奇函数, 即( sin ,cos)(sin ,cos ), cos .RxRxxtx 设即可3. (sin ,cos )( sin ,cos ), tan .RxxRxxtx若设即可43cos cossinxxdxx原式223(1)tdtt

13、223(1 sin)(sin )sinxdxx32.dtdttdttt36.64tan cossinxxdxx解：解：6543tan coscos(sin ,cos ) cos sinsinxxxRxxxxx是的奇函数. sin , cos, txdtxdx设则有1. (sin ,cos ) cos Rxxx若是的奇函数，即(sin , cos )(sin ,cos ), sin .RxxRxxtx 设即可2. (sin ,cos ) sin Rxxx若是的奇函数, 即( sin ,cos)(sin ,cos ), cos .RxRxxtx 设即可37.334sincosxdxx解：解：334

14、sin(sin ,cos ) sin cosxRxxxx是的奇函数，cos , sin,tx dtxdx 设 则2341 cos ( sin)cosxxdxx 原os.55costtCxCx42233431 tdttdtt dtt 3. (sin ,cos )( sin ,cos ), tan RxxRxxtx若设38.2sincossincosxxdxxx解：解：21 tan , , costx dtdxx设有252tancos sincoscosxxdxxxx原式2222tan(1tan )(1tan)cosxdxxxx222(1)(1)tdttt22222222

15、11(1)(1)(ln |1|2)4121(1)(1)dtdtdtdtttttt222(1)(1)tdttt222111(2)411(1)dtttdtdtttt22111(ln|).411ttCtt39.3tancosxdxx解：解：732 cossinxxdx原式7322coscoscoscosxdxxdx51222cos2cos.5xxC722cos(1 cos)(cos )xxdx三角函数的不定积分其它特殊形式三角函数的不定积分其它特殊形式40.44sincosxxdx解：解：441 sin 22xdx原式66111cos8(12cos4 )222xx dxdx1sin8(3sin 4)

16、.1288xxxC2411cos4()22xdx41.cos4 cos7xxdx1(cos11cos3 )2xx dx原式解：解：sin11sin3.226xxC42.dxx4sin1dxxx)cot1 (csc22xdxxxdx222csccotcsc)(cot xd .cot31cot3Cxx结论结论通过以上各例可知，万能代换不一定是最佳方通过以上各例可知，万能代换不一定是最佳方法法, , 故三角函数有理式积分的计算中先考虑其故三角函数有理式积分的计算中先考虑其它手段它手段, , 不得已才用万能置换不得已才用万能置换. .分部积分法分部积分法)( dd抵消型Cuvuvvu)( dd转化型u

17、vvuvu43.cos2xdxx44.ln3xdxx,ln xu )(ln414xdxdxxxxx141ln4144.161ln4144Cxxx45.arctanxdxx)(arctan2arctan222xdxxxdxxxxx222112arctan2dxxxx)111 (21arctan222.)arctan(21arctan22Cxxxx)2(arctan2xdx46. .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 . . 多种积分方法结合使用多

18、种积分方法结合使用dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecCtt tanseclnCxx )1ln(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2Cxx .darctanxeexx解解:xearctan原式xedxxeearctanxexeexxd12xxeearctanxeeexxxd1)1 (222xxeearctanxCex)1 (ln221（92.4）xeexxdarctan2同类题：同类题：（01.3）47.48.xeexxdarcsin（06.2）49.xexexxd150.xxxxdsin2

19、cos3451. . 不定积分的典型技巧不定积分的典型技巧1. 加减函数法加减函数法xeeexexxxxd11d11222252.xxxxeedxxee22221) 1(21d)11 (Cexx)1ln(212xdxxxarctan1222. 乘除函数法乘除函数法Cexeexeexxxxxarctand)(1d1253.54. xxxxdcos1sin3. 抵消法抵消法xxxxxd2cos22cos2sin222tandxxxxd2tanCxx2tan分部积分)( dd抵消型CuvuvvuCxedxxexxtan)tan1 (22255. dxxxexcos1sin156.56.)sin(ln

20、 dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 4. 4. 还原法解方程法）还原法解方程法）57.57.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式有时候使用若干次分部积分可导出所求积分的方程式，然后有时候使用若干次分部积分可导出所求积分的方程式，然后解此方程求出积分。解此方程求出积分。58.58.dxxbxaxcossincos5. 5. 解