线面垂直及面面垂直典型例题

1、基础要点1、若直线a与平面所成的角相等，则平面与的位置关系是（B ）A、/B不一定平行于C、不平行于DK以上结论都不正确2、在斜三棱柱 ABC Ai B1C1, BAC90o,又BC1 AC,过Ci作CiH，底面ABC,垂足为H ,则H 一定在（B ）A、直线AC上B、直线AB上3、如图示，平面 ，平面 ，A , B过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为（A ）A、2:1 B、3:1 C 3:2,AB与两平面D、4:3D、 ABC的内部AB4、如图示，直三棱柱 ABB1 DCC1中， ABB190o,AB 4,BC 2,CC1 1 DC上有一动点巳则 APC1周长的最小值是5.已知长方体 AB

2、CD A1B1clD1 中，A,A AB 2,若棱AB上存在点 巳使得D1P PC,则棱AD长的取值范围是。题型一：直线、平面垂直的应用1. （2014,江苏卷）如图，在三棱锥 P-ABC中，D, E, F分别为棱PC,AC, AB 的中点.已知 PA AC, PA 6, BC 8, DF 5.求证：（1） PAP平面DEF; （2）平面BDE 平面ABC .证明：（1）因为D, E分别为棱PC, AC的中点，所以 DE/ PA.又因为 PA?平面DEF, DE 平面DEF,所以直线PA/平面DEF.一,， ,1(2)因为 D, E, F 分别为棱 PC, AC, AB 的中点，PA= 6,

3、BC= 8,所以 DE/ PA, DE= - PA=3, EF= B BC= 4.2又因 DF= 5,故 DF2=DE2+EF2,所以/ DEF= 90°,即 DE± EF.又 PA! AC, DE/PA,所以 DEL AC.因为A6 EF= E, AC 平面 ABC, EF 平面 ABC,所以 DEL平面 ABC.又DE 平面BDE,所以平面 BDE,平面 ABC.2. （2014，北京卷，文科）如图，在三棱柱 ABC AB1C中，侧棱垂直于底面，AB BC, AA1 AC 2, E、F分别为AG、BC的中点.（1）求证：平面 ABE 平面B1BCC1； （2）求证：GF

4、/平面ABE.证明：（1）在三棱柱ABC A B1cl中，BB1 底面 ABC, BB1 AB, AB BC, AB 平面 B1BCC1,Q AB 平面ABE, 平面ABE 平面RBCC1.（2）取AB的中点G,连接EG, FG1 _Q E、F 分别为 AG、BC 的中点， FG PAC,FG AC, 2QACPAC1, AC AC1, FG PECi, FG EC1,则四边形 FGECi 为平行四边形,C1FPEG,QEG 平面 ABE,C1F 平面 ABE, C1FP 平面 ABE.3 .如图，P是 ABC所在平面外的一点，且PA 平面ABC,平面PAC 平面PBC.求证 BC AC .分

5、析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直， 应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直.证明：在平面PAC内作AD PC ,交PC于D .因为平面PAC 平面PBC于PC ,AD 平面PAC，且AD PC ,所以AD 平面PBC .又因为BC 平面PBC ,于 是有AD BC.另外PA 平面ABC , BC 平面ABC ,所以PA BC .由及 AD PA A,可知BC 平面PAC .因为AC 平面PAC ,所以BC AC .说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直 线线垂直.4 .

6、 过点S引三条不共面的直线SA、 SB、 SC ,如图， BSC 90ASC ASB 60 ,若截取 SA SB SC a(1)求证：平面 ABC 平面BSC；(2)求S到平面ABC的距离.分析：要证明平面 ABC 平面BSC,根据面面垂直的判定定理， 须在平面 ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线.证明：. SA SB SC a,又 ASC ASB 60 ,ASB和ASC都是等边三角形, AB AC a,取BC的中点H ,连结AH，.一AH BC .在 Rt BSC 中，BS CS a,，SH BC , BC V2a,222 AH 2 AC2 CH2 a2 (巡 a)2 上，.

7、 SH222222在 SHA中，. AH2 a-, SH2 a-, SA2 a2, 22SA2 SH2 HA2, AH SH , . AH 平面 SBC. AH 平面ABC,，平面ABC 平面BSC.或：: SA AC AB, .顶点A在平面BSC内的射影H为 BSC的外4又 BSC为Rt，.一H在斜边BC上，又 BSC为等腰直角三角形， H为BC的中点， AH 平面BSC.AH 平面ABC，.平面 ABC 平面BSC.(2)解：由前所证：SH AH , SH BC, . SH 平面 ABC , BC. 2 SH的长即为点S到平面ABC的距离，SH a,222点S到平面ABC的距离为 a .2

8、SFGEDBC5、如图示，ABCD为长方形，SA垂直于ABCD所在平面，过 A且垂 直于SC的平面分别交 SB、SG SD于E、F、G,求证：AE± SB(AG±SD成的角 PAM为45，与面 所成的角大小为30 ,求二面角MN的大小.6 .在四锥P-ABCD中，侧面PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面是面积为 26的菱形， ADC 60 , M是PB中点。(1)求证：PA CD(2)求证：平面 PAB 平面CDM7 .在多面体 ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1CD=2,AE 面ABC, AE 图示，在正四棱柱ABCD AB1clD1中，AB 1,BB1

9、 通 1 , E为 BBi 上使 BiE 1的点，平面AEC1交DD1于F,交A1D1的延长线于G,求：(1)异面直线 AD与CG所成的角的大小(2)二面角A C£A的正弦值8 .如图，点A在锐二面角MN 的棱MN上，在面 内引射线AP ,使AP与MN所分析：首先根据条件作出二面角的平面角,然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解.解：在射线AP上取一点连结AH ,则BAH为射线AP与平面所成的角,BAH 30.再作BQMN，交MN于Q ,连结HQ，则HQ为BQ在平面 内的射影.由三垂线定理的逆定理,HQ MN ,BQH为二面角MN的平面角.中,

10、设 BQ a ,在 Rt BAQ 中,BQA 90 ,BAM45 ,ABJ2a,在 RtA BHQBHQ 90 ,BQ a,BH,2a, sin 2BQHBHBq.2 a2aBQH是锐角,BQH45，即二面角MN等于45 .说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角,要根据各个.面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存, 平面角的定义添加适当的辅助线.9 .正方体ABCD AB1C1D1的棱长为1, P是AD的中点.求二面角A BD1 P的大小.分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的

11、垂线， 方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用.在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到AB垂直于平面AD1 , BD1在平面ADi上的射影就是 ADi .再过P作ADi的垂线PF ,则PF 面ABD1,过F作D1B的垂线FE ,PEF即为所求二面角的平面角了.解：过P作BDi及ADi的垂线，垂足分别是 E、F ,连结EF . AB面 ADi , PFABPF ,又 PFAD1，PF 面 ABD1.又 PE BDi, . EFBDi,PEF为所求二面角的平面角. RtADQs pfa,PF APDDi ADiDDi iAD1 &l

12、t;2, PF在 PBD1中,PDirc-L i rcBDi ,BE BD2.32在 Rt PEB 中，PEPB2 BE2"在 Rt PEF 中，sin 2PEFPFPEPEF 30 .垂直于矩形ABCD所在平面,M、E、N分别是 AB、CD和PC的中点,(1 )求证:MN / 平面 PADc(2 )若二面角 P- DC A为一，求证：平面 MND，平面PDC45.已知正方体中 ABCD AiBiCiDi , E为棱CCi上的动点，(1)求证：AiE ±BD (2)当E恰为棱CCi的中点时，求证：平面(3)在CCi上是否存在一个点 E,可以使二面角 A BD E的大小为45o如果存在，试确定E在棱CCi上的位