滤波分析详细

1、滤波分析概述大气运动是多种时间和空间尺度的系统组成的， 空间尺度与时间尺度有基本上对 应的关系，空间尺度越大的系统时间也会越大，或活动周期越长。因此，大气运动系 统中的气象变量序列通常都包含着复杂的周期成分，具有多尺度特征。如，年、季、 月、周、日的平均气温、海温、气压等等。不同气象要素的规则或不规则振荡周期是 不同的，在指定尺度下某些规则周期占有的分量不同。由于研究目的不同，经常需要 将我们感兴趣的周期成分从原序列中识别和提取出来，或把不感兴趣的周期成分从原 序列中去掉，这一过程就是序列滤波。滤波是分离不同频带大气变化和分离各种天气尺度系统，研究其对天气的不同影响及各种尺度系统间的相互作用的

2、常用方法。数字滤波器原理从数学角度上看，滤波过程实际上是原始序列经过一定的变换转化为另一序列的 过程。时间序列使用的是数字滤波器，它是一个线性运算系统，从输入的时间序列(时间函数)x(t)，后到输出新的时间函数y(t),所经过运算是y(t) = _.c(k)x(t -k)dk其中，c(k)是脉冲函数，也称为脉冲响应。此外，称输入时间函数的谱为X(f),输出时间函数的谱为Y(f)，脉冲函数的谱为频率响应H (f),则有Y(f)=.顼t)Ldt= .J.c(k)x(t-k)dk顼2%tL2fki2ft i2fkj=!二c(k)e.=x(t-k)e e dtdk=c(k)LkX(f)dk= X(f)

3、.c(k)e2fkdk= X(f)H(f)般而言，H(f)是复数，实部和虚部分别是Re (H(f)=c(k)cos2二fkdk-idIm (H(f)= -c(k)sin2二fkdk由此可见，H(f)的模|H(f)|是频率为f的成分在输出序列中的振幅较之输入序 列中的振幅增长的倍数，称为振幅响应函数或增益函数，|H(f)| =1的频率成分滤波前后振幅将不变。根据功率谱的定义有，对于输出y(t)的功率谱有Sy(w) =|Y(w)|2=|H(w)f|X(w)|2=|H(w)2Sx(w)通常对某一频率振动，通过过滤后，它的方差有所削减，其削减量就是输入与输 出的功率之比。在一般气象应用中，不希望滤波后

4、产生位相移动，这要求argH(f)=0,这往是不能完全做到的，实际应用中可先使H(f)虚部为0,并取偶函数c(-k) = c(k)以达到接近 效果。另外，实际应用中时间t时离散的等间距的，输入序列X的长度有限，则输出序 列yt可表达为有限项求和的形式mckJ k =-m当c( -k) =c(k)，且k从-m到m对称，H(f)的虚部为零，则响应函数也可表达为mmH(f) = ckcoS_kf =c2qcoRkfk =-mk W如果理想化地要求把原序列中包含的我们需要的频率成分振幅和位相都不变地滤出，而把不需要的频率成分完全滤去，那么原理上要求在需要的频率上，H(f) = 1,在不需要的频率上H(

5、f) =0。但实际上，这种理想的滤波器是不能实现的，所以实际应用中的滤波器滤波后输出的序列只能相对地看待和解释实际气象应用的滤波器从气象实际应用需求出发，滤波器可分为三类：用于从原序列中滤出低于某一频率 成分的滤波器，称为低通滤波器；用于滤出高于某个频率成分的滤波器称为高通滤波器； 用于滤出指定两个频率之间的一个频带成分的滤波器称为带通滤波器。因为气象应用中原序列是等时间间隔(.*t)离散取值的，它能反映出的最短周期为2At,最大频率为1/(2 At)，因此，这三类滤波器的频率参数只能在0,1/2范围内，并不 能过分接近0或1/2。一、低通滤波算法根据前述定义知，低通滤波使过滤后的序列主要含低

6、频振动分量。本模块设计了4种常用的数学模型实现：等权滑动平均模型、高斯模型、二项式系数模型和递归式单极 模型。1、等权滑动平均模型2、高斯模型3、二项式系数模型4、递归式单极模型4.1算法原理递归式单极模型是一阶惯性低通滤波方法的其中一种实现模型。一阶惯性低通滤波将是将普通硬件R0氐通滤波器的微分方程用差分方程来表示，便可以用软件算法来模拟硬件滤波的功能。一阶惯性低通滤波采用本次采样值与上次滤波输出值进行加权，得到有效滤波值，使得输出对输入有反馈作用。一阶惯性低通滤波算法描述如下：Y(n)= a X(n) + (1-a )Y(n-1)其中，a =滤波系数，它决定新采样值在本次滤波结果中所占的权

7、重；X(n)=本次采样值；Y(n-1)=上次滤波输出值；Y(n)=本次滤波输出值。由上式可以看出，本次滤波的输出值主要取决于上次滤波的输出值（注意不是上次的采样值，这和加权平均滤波是有本质区别的），本次采样值对滤波输出的贡献是比较小的，但多少有些修正作用。这种算法模拟了具有较大惯性的低通滤波功能。用递归式单极模型实现一阶惯性低通滤波时，是将滤波算法的滤波系数a设计如下：2f t a = e心式中，a为滤波系数，f为截断频率，为采样间隔时间。说明：在本滤波分析模块中，选取递归式单极低通滤波模型时，首先需要设置的参数是nType=&然后设置nM_dE采样时间间隔，dCigma_cutOff

8、 =截断频率。参考文献：The Scientist and Engineers Guide to Digital Signal ProcessingM,1997,Author:Steven W.Smith二、带通滤波算法当需要滤出某一感兴趣的波段或频率带的振动时，可使用带通滤波器。通常可通过 使用两个简单的低通滤波器或两个简单的高通滤波器组合构成一个带通滤波器，也可以人为对某一具体问题设计制作理想的带通滤波器，还可以设计工程领域应用上的通用近似理想带通滤波器。本模块提供了气象应用上常使用的两种带通滤波方法：Butterworth滤波器模型和Lanczos滤波器模型。当接口参数nType=0时，

9、选用Butterworth滤波器模型，nType=1时选用Lanczos滤波器模型，默认选用Butterworth模型。1、Butterworth滤波器模型1.1算法原理Butterworth滤波器也叫卷积滤波器。在气象领域的应用上，专家们使用的出发公 式也是前述 有限项求和的形式，写为myt =、4为k =-m设气象要素时间序列的观测值为X(t),滤波后的值为Y(t)，则通过一个变换z = e后，可得到最后的滤波公式为y(0 =- x(t - 2)-yh - 1) - 2),(e = 1,2,，七) 其中:系数分别为=2 x m = (4+2M? +b_2( -4)1 (4 +2也2+ 用，

10、(4 -2A/2+ 奁)(Z+ 2A + /2g)其中4sino) x sin*(1 + cosfti, A() (1 + cosiMAf) 上式中，n为序列长度，白为采样时间间隔，叫、句2为通过带的两个半增益点的圆频率(可看作这个滤波器的通过带的两端截断频率)。通过带中心的圆频率为该滤波器的频率响应函数是1.1算法说明说明一由上述公式可知，求某时间序列的滤波结果时，用到该时刻的输入序列资料xt和前-iw tsin” &1 + COSt)|At1 + cos/ AtH(z)二a(1-z2)1 0z b2z22个过去时刻输入的序列资料Xt,但同时用到此时刻以前的2个滤波结果yt_i和Vt

11、2。这里将涉及到边界无法过滤问题，本算法在实现时采用了自动对原输入资料序列x进行两端填充数据的方法解决。在实现时对输入序列x初始端填充2个与实际原序列 第一个数相等的值（若第一个元素为0,则填充原输入序列的第2个元素的值），对输 入序列x结束端填充2个与实际原序列最后一个数相等的值。说明二在带中心的圆频率。上，振幅响应函数是1.0。由前述它与站、切2的关系描述可知,这三个圆频率只需要给出其中两个即可求出第三个。在调用本模块的带通滤波算法接口时把其中一个截断圆频率传递给 参数bandFrequency ,另一个截断圆频率或中心圆频率 传递给参数frequency。注意：当选用的是Butterwo

12、rth模型时，参数nType必须设置 为非1的值，且参数IsCenterF_nM =1时表示参数frequency给出的是中心圆频率，IsCenterF_nM = 0时表示参数frequency给出的是截断圆频率。说明三为保证所有的频率上位相漂移为零，先将滤波器用于一个时间方向，将得出的结果按相反方向再进行一次滤波，这个思路已经在算法内部实现。因此，用户调用本Butterworth算法进行实际滤波的结果正是这种正反方向两次滤波的结果。说明四在应用该Butterworth模型进行实际计算时，为了保证系统稳定，建议把原序列中 的平均值和线性倾向成分先消除。参考又眺：气候变率诊断和预测方法，吴洪宝等编著，P198208;天气尺度瞬变波滤波方案比较分析 ，韦晋，朱伟军，南京气象学院学报，Vo1.29,No.4, 2006,P5495542、Lanczos滤波器模型2.1算法原理Lanczos滤波器模型描述如下:XL ( o =雄* 工=() x( t-T=时其响应函数为RL(f