D15--极限运算法则少课时ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节极限运算法则目录 上页 下页 返回 结束 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因因,)(lim,)(limBxgAxf则有BxgAxf)(,)(其中,为无穷小) 于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小BA的关系定理 , 知定理结论成立 .定理定理1 . 假假设

2、设目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 . 假假设设,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf说明说明: 定理定理 可推广到有限个函数相乘的情形可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数 )BA目录 上页 下页 返回 结束 ,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA,)(lim,)(limBxgAxf且.BA),()(xgxf定理定理3 .3 .假假设设定理

3、定理4 .4 .假假设设目录 上页 下页 返回 结束 定理定理5 . 假设假设,lim,limByAxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA提示提示: 因为数列是一种特殊的函数因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .目录 上页 下页 返回 结束 极限的四则运算基本运算见教材P45：例1，例2 设 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证).()(lim00 xPxPnnxx证证:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPn目录 上

4、页 下页 返回 结束 x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx设有分式函数,)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多项式 ,0)(0 xQ试证: . )()(lim00 xRxRxx证证: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR说明说明: 假设假设,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则 .例例.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 假设目录 上页 下页 返回 结束 P47例例4 . 求求.4532lim21xxxx解解: x = 1 时时,3245lim21xxxx0312

5、415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因目录 上页 下页 返回 结束 例例 . 求求.125934lim22xxxxx解解: ,分子时x.分母22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x那么54“ 抓大头抓大头”原式同同P47例例 5分子分母同除最高次幂目录 上页 下页 返回 结束 一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数 )nmba,0(00mn 当( 如如 P47 例例5 )( 如如 P47 例例6 )( 如如 P47 例例7 )mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当目录 上页 下页 返回 结束 三、

6、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理5. 设设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim见见P49 例例9说明：在定理说明：在定理5的条件下，求复合函数的极限时，的条件下，求复合函数的极限时，函数符号与极限符号可以交换次序。函数符号与极限符号可以交换次序。目录 上页 下页 返回 结束 例例 . 求求解解: .11lim1xxx11lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2见见P49 例例10 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 极限运算法则(

7、1) 无穷小无穷大运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 要求分母不为 0 )0)2xx 时, 对00型 , 约去公因子x)3时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”(2) 复合函数极限求法目录 上页 下页 返回 结束 思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 , 与已知条件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.问目录 上页 下页 返