矿大高数85隐函数的求导公式ppt课件

1、0),(. 1 yxF一、一个方程的情形隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隐函数的求导公式隐函数的求导公式)(xyy ?dxdy如何求如何求第五节 隐函数的求导公式:公公式式推推导

2、导0),(yxF)(xyy 0)(,(xyxFFxyx:求导求导0dxdyyFxFyxFFdxdy例例验证方程验证方程0122 yx在点在点)1 , 0(的某邻的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且域内能唯一确定一个单值可导、且0 x时时1 y的隐函数的隐函数)(xfy ，并求这函数的一阶和二阶导，并求这函数的一阶和二阶导数在数在0 x的值的值.解解令令1),(22 yxyxF那那么么,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时

3、时1 y的的函函数数)(xfy 函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy22dxyd2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd2yyxy解解 令令那那么么,arctan)ln(21),(22xyyxyxF,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx :另解另解求导求导两边对两边对x222221yxyyx2211xyxyxy)(dxdy.xyyx隐隐函函数数存存在在定定理理 2 2 设设函函数数),(zyxF在在点点,(0 xP ),00zy的的某某一一邻邻域域内内有有连连续续的的偏偏导导数数，且

4、且,(0 xF 0),00 zy，0),(000 zyxFz，则则方方程程,(yxF 0) z在在点点),(000zyxP的的某某一一邻邻域域内内恒恒能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值连连续续且且具具有有连连续续偏偏导导数数的的函函数数),(yxfz ，它它满满足足条条件件),(000yxfz ， 并并有有 zxFFxz ， zyFFyz . . 0),(. 2 zyxF),(yxzz ?,yzxz如何求如何求:公公式式推推导导,),(0zyxF),(yxzz ,),(,(0yxzyxFFxyzxy求求导导将将上上式式分分别别对对yx,0 xzFFzxzxFFxz0yzFFzyzyFFyz解

5、解令令那那么么,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx :另解另解求求偏偏导导对对x0422xzxzzx,zxxz2.)2()2(322zxz 2)2(2)2(zzxxz 2)2()2(zxzxz )(xzxxz22)(zxx2思路：思路：解解令令, zyxu ,xyzv 那那么么),(vufz xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff )1(0 yxfu),(yxyzxzfv ),(vufz , zyxu ,xyzv 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx )1(1 zyfu),(zyxzxy

6、fv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff ),(vufz , zyxu ,xyzv 例例5解：解：记记)(),(zyzxzyxF , 则则zFx1 ，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于于是是zyzyxzx . xz例例6. 设设具有连续偏导数 , 已知方程 ),(vuF, 0),(zyzxF. zd解法一解法一 . 设设是由方程 ),(yxfz 0),(zyzxFzxFFxz yz212FyFxFz211FyFxFzydyzxdxzzd求1F 1F)(2zx 2F)(2zy2F确定)(2121y

7、dFxdFFyFxz的隐函数 , 那么z1z1 1F)(2zx 2F)(2zy解法二解法二. . 对方程两边微分 1F)(2121ydFxdFFyFxzzd)(2zzdxxdzzdzFyFx221zydFxdF21例例6.6. 设 具有连续偏导数 , 已知方程 ),(vuF, 0),(zyzxF. zd求)(2zzdyydz)(zxd 2F0)(zyd 1F 2F0 0),(0),(vuyxGvuyxF二、方程组的情形),(),(yxvvyxuu?,yvxvyuxu如如何何求求00),(),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu00),(),(,(),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF求求偏偏导导方方程程组组对对x00 xvGxuGGxvFxuFFvuxvuxxvxu,求偏导求偏导方程组对方程组对yyvyu,解解 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导求导x,00 xvxvxuyxvyxuxu解得解得,22yxyvxuxu 22,vyuxvxxy将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 8例例.,sindzduzyxzyxxyu求求且且10222:解解求求导导方方程程组组