管理运筹学第二章-线性规划应用(建模)

1、LOGO.第二章第二章 线性规划的应用线性规划的应用国际医药商学院国际医药商学院LOGO.人力资源分配的问题1套裁下料问题2配料问题4生产计划的问题3投资问题5LOGO.线性规划应用 合理利用线材问题：合理利用线材问题：如何下料使如何下料使用材最少。用材最少。 配料问题：配料问题：在原料供应量的限制在原料供应量的限制下如何获取最大利润。下如何获取最大利润。 投资问题：投资问题：从投资项目中选取方从投资项目中选取方案，使投资回报最大。案，使投资回报最大。线性规划线性规划-LOGO. 产品生产计划：产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，合理利用人力、物力、财力等，使获利最大。使获利最大。 劳动

2、力安排：劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的用最少的劳动力来满足工作的需要。需要。 运输问题：运输问题：如何制定调运方案，使总运费最如何制定调运方案，使总运费最小。小。线性规划应用LOGO. 数学规划的建模有许多共同点，要遵循下列原则： (1)容易理解。建立的模型不但要求建模者理解，还应当让有关人员理解。这样便于考察实际问题与模型的关系，使得到的结论能够更好地应用于解决实际问题。 (2)容易查找模型中的错误。这个原则的目的显然与(1)相关。常出现的错误有：书写错误和公式错误。线性规划应用 (3)容易求解。对线性规划来说，容易求解问题主要是控制问题的规模，包括决策变量的个数和约束条件的个数。这

3、条原则的实现往往会与(1)发生矛盾，在实现时需要对两条原则进行统筹考虑。LOGO. 建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤： (1)设立决策变量； (2)明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表示； (3)用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求极大（Max）还是极小（Min）； (4)根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性。线性规划应用LOGO. 例1 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下： 班 次时 间所 需 人 数16 ： 0 0 1 0 ： 0 06 021 0 ： 0 0 1 4 ： 0 07 031 4 ： 0 0 1 8 ： 0 06 041 8 ：

4、 0 0 2 2 ： 0 05 052 2 ： 2 ： 0 02 062 ： 0 0 6 ： 0 03 0一、人力资源分配的问题设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作8h，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?LOGO. 解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：目标函数：MinMin z= z= x x1 1 + + x x2 2 + + x x3 3 + + x x4 4 + + x x5 5 + + x x6 6 约束条件：约束条件：s.t.s.t. x x1 1 + + x x

5、6 6 60 60 x x1 1 + + x x2 2 70 70 x x2 2 + + x x3 3 60 60 x x3 3 + + x x4 4 50 50 x x4 4 + + x x5 5 20 20 x x5 5 + + x x6 6 30 30 x x1 1, ,x x2 2, ,x x3 3, ,x x4 4, ,x x5 5, ,x x6 6 0 0一、人力资源分配的问题LOGO.例2 某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m, 2.1m, 1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？方案 1方案 2方案 3方案 4方案 5方案 6方

6、案 7方案 82.9 m120101002.1 m002211301.5 m31203104合计7.47.37.27.16.66.56.36.0剩余料头00.10.20.30.80.91.11.4二、套裁下料问题解:考虑下列各种下料方案（按一种逻辑顺序给出）方案 1方案 2方案 3方案 4方案 5方案 6方案 7方案 82.9 m211100002.1 m021032101.5 m10130234合计7.37.16.57.46.37.26.66.0剩余料头0.10.30.901.10.20.81.4把各种下料方案按剩余料头从小到大顺序列出LOGO. 假设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上

7、面前 5 种方案下料的原材料根数。我们建立如下的数学模型。 目标函数： Min z= x1 +x2 +x3 +x4 +x5 约束条件： s.t. x1 + 2x2 + x4 100 2x3 + 2x4 + x5 100 3x1 + x2 + 2x3+ 3x5 100 x1,x2,x3,x4,x5 0方案 1方案 2方案 3方案 4方案 52.9 m120102.1 m002211.5 m31203合计7.47.37.27.16.6剩余料头00.10.20.30.8二、套裁下料问题LOGO. 约束条件用大于等于号时，目标函数本来求所用原料最少和求料头最少是一样的。 但由于第一个下料的方案中料头为

8、零，无论按但由于第一个下料的方案中料头为零，无论按第一下料方案下多少根料，料头都为零，所以第一下料方案下多少根料，料头都为零，所以目标函数就一定要求是原料最少。目标函数就一定要求是原料最少。LOGO. 例3 明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？三、生产计划的问题LOGO.甲乙丙资 源 限 制铸 造 工 时 (小 时 /件 )51078000机 加 工

9、 工 时 (小 时 /件 )64812000装 配 工 时 (小 时 /件 )32210000自 产 铸 件 成 本 (元 /件 )354外 协 铸 件 成 本 (元 /件 )56-机 加 工 成 本 (元 /件 )213装 配 成 本 (元 /件 )322产 品 售 价 (元 /件 )231816解：解：设 x1 ,x2 ,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4, x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。三、生产计划的问题LOGO. 求 xi 的利润:利润利润 = = 售价售价 - - 各成本之和各成本之和可得到 xi（i=1,2,3,

10、4,5）的利润分别为15、10、7、13、9元。 这样我们建立如下数学模型： 目标函数目标函数: : Max 15x1+10 x2+7x3+13x4+9x5 约束条件约束条件： s.t. 5x1+10 x2+7x3 8000 6x1+4x2+8x3+6x4+4x5 12000 3x1+2x2+2x3+3x4+2x5 10000 x1,x2,x3,x4,x5 0三、生产计划的问题LOGO. 例2.14 某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？四、配料问题LOGO. 解：设解：设 x xijij 表示第表示第 i i

11、 种（甲、乙、丙）产品中原料种（甲、乙、丙）产品中原料 j j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33；四、配料问题LOGO.目标函数：目标函数： 利润最大，利润利润最大，利润 = = 收入收入 - - 原料支出原料支出 约束条件：约束条件：规格要求规格要求 4 4 个；个； 供应量限制供应量限制 3 3 个。个。 Max z z

12、 =150(=150(x11+x12+x13)+85()+85(x21+x22+x23) ) +65( +65(x31+x32+x33)-65()-65(x11+x21+x31) ) -25( -25(x12+x22+x32)-35()-35(x13+x23+x33) ) =85 =85x x1111+125+125x x1212+115+115x x1313+20+20 x x2121+60+60 x x2222+50+50 x x2323 +40+40 x x3232+30+30 x x3333四、配料问题LOGO.s.t.s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （

13、甲对原材料1的规格要求） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 （甲对原材料2的规格要求） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 0 （乙对原材料1的规格要求） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （乙对原材料2的规格要求） x11+x21+x31 100 (供应量限制） x12+x22+x32 100 (供应量限制） x13+x23+x33 60 (供应量限制） xij0 ,i = 1,2,3; j = 1,2,3四、配料问题LOGO. 例5 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A ：从第一年到第五年每年年初都

14、可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。 五、投资问题LOGO. 据测定每万元每次投资的风险指数如下表：据测定每万元每次投资的风险指数如下表：项 目 风 险 指 数 （ 次 /万 元 ） A 1 B 3 C 4 D 5 .5 a a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资）应如何确定这些项目的每年投资额

15、，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？金的本利金额为最大？ b b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在金的本利在330330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？五、投资问题LOGO. 解：解：1 1）确定决策变量：连续投资问题 设 xij ( i = 15，j = 1、2、3、4)表示第 i 年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下决策变量： A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x3

16、2 x42 C x33 D x24五、投资问题LOGO. 2 2）约束条件：）约束条件： 第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是： x11+ x12 = 200 第二年：B次年末才可收回投资故第二年年初的资金为1.1x11，于是： x21 + x22+ x24 = 1.1x11 第三年：年初的资金为1.1x21+1.25x12，于是 ： x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12 第四年：年初的资金为1.1x31+1.25x22，于是： x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22 第五年：年初的资金为1.1x41+1.25x32，于是

17、： x51 = 1.1x41+ 1.25x32 B、C、D的投资限制： xi2 30 ( i=1，2，3，4 )，x33 80，x24 100五、投资问题LOGO.a)Max z=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24s.t.x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22 x51 = 1.1x41+ 1.25x32 xi2 30 ( i =1、2、3、4 )， x33 80，x24 100 xij0(i=1,2,3,4,5；

18、j=1,2,3,4）3 3）目标函数及模型：）目标函数及模型：五、投资问题LOGO.b) b) MinMin f f = = （x x1111+ +x x2121+ +x x3131+ +x x4141+ +x x5151)+ )+ 3( 3(x x1212+ +x x2222+ +x x3232+ +x x4242)+4)+4x x3333+5.5+5.5x x24 24 s.t.s.t. x x1111+ + x x12 12 = 200= 200 x x21 21 + + x x2222+ + x x2424 =1.1 =1.1x x1111 x x31 31 + + x x3232+ + x x3333 =1.1 =1.1x x2121+ 1.25+ 1.25x x1212 x x41 41 + + x x4242 =1.1 =1.1x x3131+ 1.25+ 1.25x x2222 x x51 51 =1.1=1.1x x4141+ 1.25+ 1.25x x3232 x xi i2 2 30 ( 30 ( i i =1 =1、2 2、3 3、4 )4 )