——函数的连续性

1、第四章 函数的连续性第一节 连续性的概念一、函数在一点的连续性1、函数的直观图解2、函数在一点连续的定义（1）极限形式定义定义1：设在内有定义，若，则称在点连续。例、在处连续。注：讨论在点连续，要求在（包括点）由定义。在点连续，意味着下面的运算法则成立 （2）增量极限形式定义记自变量（在点）的增量，则定义：若，则称在处连续。（3）语言定义若有，则称在点连续。例、证明在连续，其中，为狄利克雷函数。（4）左、右极限形式定义定义2：设在在某区间（或）内由定义，且 （或）则称在点右（左）连续（5）归结到数列极限定义 在点连续二、间断点及其分类1、间断点定义定义3：设在某内有定义，若在无定义，或在处有定

2、义但是不连续，则称点为的间断点或不连续点。2、间断点的分类（1）第一类间断点（特点：左、右极限都存在） 可去间断点若、在点无定义，或则称为的可去间断点。 跳跃间断点若、都存在、则称为的跳跃间断点。（2）第二类间断点（特点：至少有一侧极限不存在）三、区间上的连续函数1、在区间上的连续函数定义若在上每一点都连续，则称为上的连续函数。注：若是在区间的端点连续，指左或右连续。2、在上的分段函数 在上的分段函数即指在上仅有有限个第一类间断点的函数。例、证明：黎曼函数 在内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续。四、课堂练习1、习题42、五、作业第二节 连续函数的性质【教学内容】1、连续函数的局部性质，

3、2、闭区间上连续函数的性质，3、反函数的连续性质。【教学重点】闭区间上连续函数性质的应用。一、连续函数的局部性质 根据函数极限的性质可以推出连续函数的相关性质。1、局部有界性定理4.2：若在点连续在某内有界，即，有。2、局部报号性定理4.3：若在点连续，且（或），则对（或），使得，有（或）3、四则运算性质定理4.4：若在点连续，则（满足）也都在点连续。例、连续连续在定义域内连续连续连续4、复合函数的连续性定理4.5：若 、在点连续，、在点连续，则在点连续。注： 定理4.5可以展为 复合函数求极限公式 这里不一定要，或在无定义也可以，但要在连续。例、（1）求。（） （2）求。（） （3）设，证明

4、：在连续，但在不连续。（）二、闭区间上连续函数的基本性质（证明在第七章）1、最值性定理4.6：，则在上有最大值与最小值，即，使得。推论（有界性）：，则在上有界。问：在上无界，为什么？（因为在不连续）2、介值性定理4.7：设 、，、，、，且（或），则至少存在一点，使得。注：推论（零点定理）：设 、，、，至少存在一点，使得。3、闭区间上连续函数的应用例：（1）证明：若，则存在唯一，使得。（例3） （2）若，且，则，或。（）三、反函数的连续性定理4.8：设 、，、在上严格单调，则在或上连续。（回忆反函数存在定理（定理1.2）例：在上严格单调且连续，则。四、课堂练习1、设 、，、，证明：、在上有界，、

5、问：在上必有最大值或最小值？（）2、设任意小，问能不能推出？第二节 连续函数的性质（续）一、函数的整体连续性 一致连续1、连续定义中对的依赖性连续定义：，使得当时，有，则。注：这里，表示与和的依赖关系。例1、考察在上的连续性。解：，限制，就有，取，则，有，显然，与有关，有时特记为。2、一致连续性定义：设定义在上，使，只要，就有，则称在上一致连续。注：用定义验证一致连续的方法：，确定存在，为此，从不失真地放大式子入手，使在放大后的式子中，除外，其余部分不含有与，然后使所得式子，从而解出。例2、证明在上一致连续。证明：，由于，取，则，只要，就有，即在上一致连续。3、一致连续的否定否定定义：，尽管，

6、但有。例3、证明在内不一致收敛。（例9）证：取，令，则，但，所以在内不一致收敛。4、一致收敛的判定定理4.9：若，则在上一致收敛。注：若在上一致收敛，且的右端点即是的左端点，且，则在上一致收敛。（证明见例10）第三节 初等函数的连续性注：在本章中已证明了三角函数、反三角函数、有理指数幂函数等都是其定义域上的连续函数。 下面证明其他基本初等函数的连续性。一、基本初等函数的连续性1、指数函数的连续性定理4.10：设，为任意实数，则 定理4.11：指数函数证明分析：时时令，则2、对数函数的连续性由第三章第五节的例4，当时有，即的值域为，同理时亦是如此。作为的反函数，3、实指数幂函数的连续性设，即与的

7、复合，由和的连续性，以及复合函数的连续性，得。二、初等函数的连续性定理4.12：一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数。定理4.13：任何初等函数都是在其定义域上的连续函数，因为初等函数都是由基本初等函数经过有限次的四则运算得到的。三、课堂练习1、求。（）2、证明：在上一致连续。（）3、设，且存在，证明：在上一致连续。（）第四节 本章习题颗一、内容精析（一）函数极限内容1、函数极限定义的定义：，有成立。注：等情形。2、函数极限的性质主要性质有： 局部有界性， 局部保号性， 迫敛性。3、函数极限存在的判别方法 海涅归结原则形式1：，有形式2：，有收敛。 柯西收敛准则 ，有。4.两个主要极限和5

8、、无穷小量（无穷大量）及其阶 高阶无穷小量 若，则记，称为的高阶无穷小量。 同阶无穷小量 若，则称与为同阶无穷小量。注：当时，称与为等价无穷小量。（二）连续函数内容1、函数连续性定义各种等价形式 极限形式：， 增量极限形式：， 语言：，有。2、间断点 第一类间断点：左右极限都存在，包含可去间断点和跳跃间断点两种。 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在。3、连续函数的局部性质 局部有界性， 局部保号性， 四则运算， 复合函数的连续性。4、闭区间上连续函数的性质 有界性定理 最值定理在上可以取到最大值和最小值 介值定理 ，则可以取到和间的所有值。5、一致连续性 在区间上一致连续，则，有。判断一致收敛的方法：在上一致收敛。6、初等函数的连续性二、例题