【2019最新】精选高三数学(理)二轮专题复习文档：专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线

1、【 2019 最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题五解析几何第 2 讲椭圆、双曲线、抛物线高考定位1. 圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2 直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.真题感悟1.(2018 ·全国卷 ) 双曲线 1(a>0 ，b>0) 的离心率为， 则其渐近线方程为 ()A.y ± xB.y ±xC.y ± xD.y ±x解析法一由题意知， e，所以 ca，所以

2、 b a，即，所以该双曲线的渐近线方程为y± x± x.法二由 e，得，所以该双曲线的渐近线方程为y± x± x.答案A2.(2018 ·全国卷 ) 设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点 ( 2，0)且斜率为的直线与C交于 M，N两点，则· ()欢迎下载。A.5B.6C.7D.8解析过点 ( 2， 0) 且斜率为的直线的方程为y(x2) ，由得x2 5x40. 设 M(x1，y1) ，N(x2，y2) ，则 y1>0，y2>0，根据根与系数的关系，得 x1x25，x1x24. 易知 F(1 ，0) ，所以 (x1 1

3、，y1) ， (x2 1，y2) ，所以· (x1 1)(x2 1) y1y2x1x2(x1 x2) 1445188.答案D3.(2018 ·全国卷 ) 已知 F1，F2 是椭圆 C： 1(a>b>0) 的左、右焦点， A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为的直线上， PF1F2为等腰三角形， F1F2P120°，则 C的离心率为 ()A.B.C.D.14解析由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设 |F1F2| 2c， PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120°， |PF2| |F1F2| 2c. |OF2| c，过 P 作

4、 PE垂直 x 轴，则 PF2E60°，所以 F2Ec，PEc，即点 P(2c，c). 点 P 在过点 A，且斜率为的直线上，解得， e.答案D4.(2018 ·全国卷 ) 设椭圆 C：y21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l与 C交于 A，B 两点，点 M的坐标为 (2 ，0).(1) 当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM的方程；【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题五解析几何第讲椭圆、双曲线、抛物线(2) 设 O为坐标原点，证明： OMAOMB.(1) 解 由已知得 F(1 ，0) ，l 的方程为 x1.把 x1 代入椭圆方程 y21，可得点 A

5、的坐标为或 .又 M(2，0) ，所以 AM的方程为 y x或 yx.(2) 证明当 l 与 x 轴重合时， OMA OMB0°.当 l 与 x 轴垂直时， OM为 AB的垂直平分线，所以 OMA OMB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 yk(x 1)(k 0) ， A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，则 x1<，x2<，直线 MA，MB的斜率之和为 kMAkMB .由 y1k(x1 1) ，y2k(x2 1) 得kMAkMB.将 yk(x 1) 代入 y21 得(2k2 1)x2 4k2x2k220.所以， x1x2， x1x2.则 2kx1x

6、23k(x1 x2) 4k 0.从而 kMAkMB0，故 MA，MB的倾斜角互补 .所以 OMA OMB综.上， OMA OMB.考点整合1. 圆锥曲线的定义(1) 椭圆： |MF1| |MF2|2a(2a |F1F2|) ；(2) 双曲线： |MF1| |MF2| 2a(2a |F1F2|) ；3/213/21(3) 抛物线： |MF| d(d 为 M点到准线的距离 ).温馨提醒应用圆锥曲线定义解题时， 易忽视定义中隐含条件导致错误.2. 圆锥曲线的标准方程(1) 椭圆： 1(a b0)( 焦点在 x 轴上 ) 或 1(a b0)( 焦点在y 轴上) ；(2) 双曲线： 1(a 0，b0)(

7、 焦点在 x 轴上 ) 或 1(a 0，b0)( 焦点在 y 轴上 ) ；(3) 抛物线： y22px，y2 2px，x22py，x2 2py(p 0). 3. 圆锥曲线的重要性质(1) 椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系在椭圆中： a2b2c2；离心率为 e .在双曲线中： c2a2b2；离心率为 e .(2) 双曲线的渐近线方程与焦点坐标双曲线 1(a>0，b>0) 的渐近线方程为y± x；焦点坐标 F1( c，0) ，F2(c ，0).双曲线 1(a>0，b>0) 的渐近线方程为y± x，焦点坐标 F1(0， c) ，F2(0，c).(3)

8、 抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线 y22px(p>0) 的焦点 F，准线方程 x .抛物线 x22py(p>0) 的焦点 F，准线方程 y .4. 弦长问题【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题五解析几何第讲椭圆、双曲线、抛物线(1) 直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入 . 即当斜率为 k，直线与圆锥曲线交于 A(x1，y1) ，B(x2， y2) 时， |AB| |x1 x2| .(2) 过抛物线焦点的弦长抛物线 y22px(p>0) 过焦点 F 的弦 AB，若 A(x1 ，y1) ，B(x2，y2) ，则 x1x2， y

9、1y2 p2，弦长 |AB| x1x2p.热点一圆锥曲线的定义及标准方程【例 1】 (1)(2018 ·天津卷 ) 已知双曲线 1(a>0 ，b>0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点 . 设 A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为 ()A.1B.1C. 1D. 1(2)(2018·烟台二模) 已知抛物线C：x24y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若 FM的延长线交 x 轴的正半轴于点 N，交抛物线 C的准线 l 于点 T，且，则 |NT| _.解析(1) 由 d1d26

10、，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以 b3. 因为双曲线 1(a>0 ，b>0) 的离心率为 2，所以 2，所以4，所以 4，解得 a23，所以双曲线的方程为 1.(2) 由 x24y，知 F(0，1) ，准线 l ：y 1.设点 M(x0，y0) ，且 x0>0，y0>0.由，知点 M是线段 FN的中点， N 是 FT 中点，5/215/21利用抛物线定义，|MF| |MM| y0 1，且 |FF| 2|NN| 2.又 2(y0 1) |FF| |NN| 3，知 y0. |MF| 1，从而|NT| |FN| 2|MF|3.答案(1)C(2)3探究提高 1. 凡涉

11、及抛物线上的点到焦点距离， 一般运用定义转化为到准线的距离处理 . 如本例 (2) 中充分运用抛物线定义实施转化， 使解答简捷、明快 .2. 求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算” . 所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程 .【训练 1】 (1)(2017 ·全国卷 ) 已知双曲线 C： 1(a>0 ，b>0)的一条渐近线方程为 yx，且与椭圆 1 有公共焦点，则 C的方程为()A.1C. 1B.1D. 1(2)(2018 ·衡水中学调研 )P 为

12、椭圆 C：y21 上一动点， F1，F2 分别为左、右焦点，延长 F1P 至点 Q，使得 |PQ| |PF2| ，记动点 Q 的轨迹为 ，设点 B 为椭圆 C短轴上一顶点，直线 BF2与 交于 M，N两点，则 |MN| _.解析(1) 由题设知，又由椭圆 1 与双曲线有公共焦点，【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题五解析几何第讲椭圆、双曲线、抛物线易知 a2b2c29，由解得 a2，b，则双曲线 C的方程为 1.(2) |PF1| |PF2| 2a2，且 |PQ| |PF2| ， |F1Q| |F1P| |PF2| 2.为以 F1(1，0) 为圆心， 2 为半径的圆 . |

13、BF1| |BF2| ， |F1F2| 2， BF1BF2，故|MN|222.答案(1)B(2)26热点二圆锥曲线的几何性质【例 2】 (1)(2018 ·全国卷 ) 已知双曲线 C：1(a>0，b>0) 的离心率为，则点(4 ，0) 到C的渐近线的距离为()A.B.2C.D.22(2)(2018 ·卷改编 ) 已知椭圆 M： 1(a>b>0) ，双曲线 N： 1. 若双曲线 N的两条渐近线与椭圆 M的四个交点及椭圆 M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M的离心率为 _.解析 (1) 法一 由离心率 e，得 ca，又 b2c2a2，得 ba，

14、所以双曲线 C 的渐近线方程为 y± x. 由点到直线的距离公式，得点 (4 ，0) 到 C的渐近线的距离为 2.法二 离心率 e的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是 y± x，点 (4 ，0) 到 C的渐近线的距离为 2.(2) 设椭圆的右焦点为 F(c ，0) ，双曲线 N的渐近线与椭圆 M在第一象限内的交点为 A，7/217/21由题意可知 A，由点 A 在椭圆 M上得， 1， b2c23a2c24a2b2， b2a2c2， (a2 c2)c2 3a2c24a2(a2 c2) ，则 4a48a2c2c40，e48e240， e242( 舍) ，e242. 由 0<

15、;e<1，得 e 1.答案(1)D(2) 1探究提高1. 分析圆锥曲线中a，b，c，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.2. 确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围， 其关键就是确立一个关于a，b，c 的方程 ( 组) 或不等式 ( 组) ，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式 . 建立关于 a，b，c 的方程 ( 组) 或不等式 ( 组) ，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等 .3. 求双曲线渐近线方程关键在于求或的值， 也可将双曲线等号右边的“1”变为“ 0”，然后因式分解得到 .【训练 2】 (1)(2018 ·成都质检 )

16、设椭圆 C： 1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 E(0，t)(0<t<b).已知动点 P 在椭圆上，且点P，E，F2 不共线，若 PEF2的周长的最小值为4b，则椭圆 C的离心率为 ()A.B.C.D.33(2) 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 1(a 0，b0) 的右支与焦点为 F 的抛物线 x22py(p 0) 交于 A，B两点，若|AF| |BF| 4|OF| ，则该双曲线的渐近线方程为 _.解析(1) 由椭圆的定义及对称性，PEF2 的周长的最小值为【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题五解析几何第讲椭圆、双曲线、抛物

17、线2a. 2a 4b，a2b，则 cb，则椭圆 C的离心率 e .(2) 设 A(x1 ，y1) ，B(x2，y2) ，联立方程：消去 x 得 a2y22pb2ya2b20，由根与系数的关系得 y1y2p，又 |AF| |BF| 4|OF| ， y1 y2 4×，即 y1y2 p， pp，即 .双曲线渐近线方程为y± x.答案(1)A(2)y ±x热点三直线与圆锥曲线考法 1直线与圆锥曲线的位置关系【例 31】 (2016 ·全国卷 ) 在直角坐标系xOy 中，直线l ：yt(t 0) 交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y22px(p>0) 于点

18、P，M关于点P的对称点为 N，连接 ON并延长交 C于点 H.(1) 求；(2) 除 H 以外，直线 MH与 C是否有其它公共点？说明理由 .解 (1) 如图，由已知得 M(0，t) ，P，又 N为 M关于点 P 的对称点，故 N，故直线 ON的方程为 yx，将其代入 y22px 整理得 px22t2x 0，解得 x10，x2，因此 H.所以 N为 OH的中点，即 2.9/219/21(2) 直线 MH与 C除 H以外没有其它公共点，理由如下：直线 MH的方程为 yt x，即 x(y t).代入 y22px 得 y24ty 4t2 0，解得 y1y22t ，即直线 MH与 C只有一个公共点，所

19、以除 H以外，直线 MH与 C没有其它公共点 .探究提高 1. 本题第 (1) 问求解的关键是求点 N，H 的坐标 . 而第 (2) 问的关键是将直线 MH的方程与曲线 C 联立，根据方程组的解的个数进行判断 .2. 判断直线与圆锥曲线的交点个数时， 可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定， 需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0. 并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.【训练 3】 (2018 ·潍坊三模 ) 已知 M为圆 O：x2y21 上一动点， 过点 M作 x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为 A，B，连接 BA延长至

20、点 P，使得 |PA| 2，记点 P 的轨迹为曲线 C.(1) 求曲线 C的方程；(2) 直线 l ：ykxm与圆 O相切，且与曲线 C交于 D，E两点，直线l1 平行于 l 且与曲线 C 相切于点 Q(O，Q位于 l 两侧 ) ，求 k 的值.解(1) 设 P(x ，y) ，A(x0，0) ，B(0，y0) ，则 M(x0，y0) 且 xy1，【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题五解析几何第讲椭圆、双曲线、抛物线由题意知 OAMB为矩形， |AB| |OM|1， 2，即 (x x0，y) 2(x0 ， y0) ， x0， y0，则 1，故曲线 C的方程为 1.(2) 设

21、l1 ：ykxn，l与圆 O相切，圆心 O到 l 的距离 d1 1，得 m2k21， l1 与 l 距离 d2， m 2n 或 mn，又 O，Q位于 l 两侧， m n，联立消去 y 整理得(9k2 4)x2 18knx9n2360，由0，得 n29k24，由得 k±.考法 2有关弦的中点、弦长问题【例 32】 (20 18·全国卷 ) 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： 1 交于 A，B 两点，线段 AB的中点为 M(1，m)(m>0).(1) 证明： k<；(2) 设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 0. 证明： | ，| ，| 成等差

22、数列，并求该数列的公差 .(1) 证明设 A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，则,4) ,3) 1，,4) ,3) 1.11/2111/21两式相减，并由 k 得· k 0.由题设知 1， m，于是 k . 由于点 M(1，m)(m>0)在椭圆 1 内， <1，解得 0<m<，故 k<.(2) 解由题意得 F(1 ，0). 设 P(x3，y3) ，则(x3 1，y3) (x1 1，y1) (x2 1，y2) (0 ，0).由(1) 及题设得x33(x1 x2) 1，y3(y1 y2) 2m<0.又点 P 在 C上，所以 m，从而 P，| .于是

23、 | ) ,4)2.同理 | 2.所以 | | 4(x1 x2) 3.故 2| | | ，即| ，| ，| 成等差数列 .设该数列的公差为d，则2|d| |x1 x2| . 将 m代入得 k 1.所以 l 的方程为 y x，代入 C 的方程，并整理得7x214x0.故 x1x22，x1x2，代入解得 |d| .【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题五解析几何第讲椭圆、双曲线、抛物线所以该数列的公差为或.探究提高 1. 在涉及弦长的问题中， 应熟练地利用根与系数关系与弦长公式 |AB| |x2 x1| ，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化

24、运算 .2. 对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练 4】 (2018 ·天津卷 ) 设椭圆 1(a>b>0) 的左焦点为 F，上顶点为 B，已知椭圆的离心率为，点 A 的坐标为 (b ，0) ，且 |FB| ·|AB| 6.(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线 l ：ykx(k>0) 与椭圆在第一象限的交点为P，且 l 与直线AB交于点 Q.若 sin AOQ(O为原点 ) ，求 k 的值 .解 (1) 设椭圆的焦距为 2c，由已知有

25、，又由 a2b2c2，可得 2a3b.由已知可得， |FB| a，|AB| b，由|FB| ·|AB| 6，可得 ab6，从而 a3，b2.所以，椭圆的方程为1.(2) 设点 P 的坐标为 (x1 ，y1) ，点 Q的坐标为 (x2 ，y2).由已知有 y1>y2>0，故|PQ|sin AOQ y1y2.13/2113/21又因为 |AQ| ，而 OAB，故|AQ| y2.由 sin AOQ，可得 5y19y2.由方程组消去 x，可得 y1.易知直线 AB的方程为 xy20，由方程组消去 x，可得 y2.代入 5y19y2，可得 5(k 1) 3，将等式两边平方，整理得5

26、6k250k110，解得 k或 k.所以， k 的值为或 .1. 椭圆、双曲线的方程形式上可统一为 Ax2By21，其中 A，B 是不等的常数， AB0 时，表示焦点在 y 轴上的椭圆； BA0 时，表示焦点在 x 轴上的椭圆； AB0 时表示双曲线 .2. 对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础 .3. 求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a，c，计算 e；法二：根据已知条件确定a，b，c 的等量关系，然后把b 用 a，c 代换，求 .4. 弦长公式对于直线与椭圆的相交、 直线与双曲线的相交、 直线与抛物线的相交都是通用的

27、，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导 .5. 求中点弦的直线方程的常用方法【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题五解析几何第讲椭圆、双曲线、抛物线(1) 点差法，设弦的两端点坐标分别为(x1 ，y1) ，(x2 ，y2) ，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x1x2，y1y2，三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2) 根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.一、选择题1.(2018 ·合肥调研 ) 已知双曲线C： 1(a>

28、0 ，b>0) 的一条渐近线与直线2xy10垂直，则双曲线C的离心率为()A.2B.C.D.5解析依题意，2· 1， b2a.则e215， e .答案D2.(2018 ·南昌质检 ) 已知抛物线 C：x24y，过抛物线 C上两点 A，B分别作抛物线的两条切线PA，PB，P 为两切线的交点，O为坐标原点，若· 0，则直线OA与OB的斜率之积为()A. B. 3C.D.4解析设A,4)，B,4)，由x24y，得y .所以kAP， kBP，由· 0，得 PAPB.· 1，则 xA·xB 4，又 kOA·kOB ,4xA) &

29、#183;,4xB) .答案A3.(2017 ·全国卷 ) 已知 F 是双曲线 C：x2 1 的右焦点， P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是 (1 ，3) ，则 APF的面积为()15/2115/21A.B.C.D.32解析由 c2a2b24 得 c2，所以 F(2 ，0) ，将 x2 代入 x2 1，得 y± 3，所以 |PF| 3.又 A 的坐标是 (1 ，3) ，故 APF的面积为× 3×(2 1) .答案D4. 已知椭圆 C： 1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，O为坐标原点，A为椭圆上一点，

30、 F1AF2，连接 AF2交 y 轴于 M点，若 3|OM|OF2| ，则该椭圆的离心率为 ()A.B.C.D.104解析设|AF1| m，|AF2| n.如图所示，由题意可得 RtF1AF2RtMOF2.，则 n3m.又|AF1| |AF2| mn2a， m， na.在 RtF1AF2中， m2n24c2，即 a24c2，e2，故 e.答案D5.(2018 ·石家庄调研 ) 已知 F1，F2 分别为双曲线 1(a>0 ，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点， PF2与 x 轴垂直，PF1F230°，且虚轴长为 2，则双曲线的标准方程为()A. 1B.1【2

31、019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题五解析几何第讲椭圆、双曲线、抛物线C. 1D.x2 1解析如图，不妨设点P(x0，y0) 在第一象限，则PF2x轴，在 RtPF1F2中， PF1F230°， |F1F2| 2c，则|PF2| ， |PF1| ，又因为 |PF1| |PF2| 2a，即 ca.又 2b2，知 b，且 c2a22，从而得 a21，c23.故双曲线的标准方程为x2 1.答案D二、填空题6.(2018 ·卷 ) 已知直线 l 过点 (1 ，0) 且垂直于 x 轴. 若 l 被抛物线 y2 4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为 _.解析

32、 由题意知， a>0，对于 y24ax，当 x 1 时， y± 2，由于 l 被抛物线 y24ax 截得的线段长为 4，所以 44，所以 a1，所以抛物线的焦点坐标为 (1 ，0).答案(1 ，0)7.(2018 ·江苏卷 ) 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 1(a>0 ，b>0) 的右焦点 F(c ，0) 到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是_.解析不妨设双曲线的一条渐近线方程为yx，所以 bc，所以 b2c2a2c2，得 c2a，17/2117/21所以双曲线的离心率e 2.答案28. 设抛物线 x24y 的焦点为 F，A 为抛物线上第一象限

33、内一点， 满足|AF| 2；已知 P 为抛物线准线上任一点，当 |PA| |PF| 取得最小值时， PAF的外接圆半径为 _.解析由 x24y，知 p2，焦点 F(0 ，1) ，准线 y 1.依题意，设 A(x0，y0)(x0>0) ，由定义，得 |AF| y0，则 y0211， AFy轴.易知当 P(1， 1) 时， |PA| |PF| 最小， |PF| .由正弦定理， 2R，因此 PAF的外接圆半径 R.5答案4三、解答题9.(2018 ·全国卷 ) 设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k>0) 的直线 l 与 C交于 A，B两点， |AB|

34、8.(1) 求 l 的方程；(2) 求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程 .解 (1) 由题意得 F(1 ，0) ，l 的方程为 yk(x 1)(k>0).设 A(x1，y1) ，B(x2，y2).由得 k2x2(2k2 4)x k20.16k216>0，故 x1x2.所以 |AB| |AF| |BF| (x1 1) (x2 1) .【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题五解析几何第讲椭圆、双曲线、抛物线由题设知 8，解得 k 1( 舍去 ) ，k1.因此 l 的方程为 yx1.(2) 由(1) 得 AB的中点坐标为 (3 ，2) ，所以 AB的垂直平分线方程为 y 2 (x 3) ，即 y x5.设所求圆的圆心坐标为(x0 ，y0) ，则解得或x011，y0 6.因此所求圆的方程为 (x 3)2 (