七上册第二章有理数

1、上课日时间学生姓名上课类型教师教室期王文立（ 1 对 1）汪慧影(class5)课题：有理数及其运算教学目标： 1、掌握正数、负数的概念。2 、会计算一个数的相反数、绝对值以及倒数。3 、掌握有理数的运算法则。4 、会运用有理数解决实际问题。教学重点： 1、正数、负数的判别方法。2 、有理数的两种分类方法。3 、绝对值、相反数的计算。4 、数轴的三要素。5 、有理数的加减、乘除运算法则。6 、科学计数法教学难点： 1、正数、负数的判别。2 、绝对值的计算。3 、有理数的运算法则。教学过程：一、数的扩充：数 1，2，3，4， 叫做正整数； 1， 2， 3， 4， 叫做负整数；正整数、负整数和零统

2、称为整数； 数 2，1，8 4，+5.6 ， 叫做正分数； 7， 6，345973.5 ， 叫做负分数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。二、有理数的分类不同的分类标准可以将有理数进行不同的分类：先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”分，即得如下分类表：正整数整数0有理数负整数分数正分数负分数先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整” 、“分”分，即得如下分类表：正有理数正整数正分数有理数0负有理数负整数负分数注：“ 0”也是自然数。“ 0”的特殊性。把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集（ set of number）。所有正数组成

3、的集合， 叫做正数集合； 所有负数组成的集合叫做负数集合； 所有整数组成的集合叫整数集合； 所有分数组成的集合叫分数集合； 所有有理数组成的集合叫有理数集合；所有正整数和零组成的集合叫做自然数集。三、数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。1 / 8原点、正方向和单位长度是数轴的三要素， 原点位置的选定、 正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要认为规定的。直线也不一定是水平的。例 1：判断下图中所画的数轴是否正确？如不正确，指出错在哪里？例 2：把下面各小题的数分别表示在三条数轴上：（1）2，-1 ，0，3 23 ，+3.5(2) 5， 0，+5，15， 20；(3) 1

4、500， 500，0，500，1000。分析：要在数轴上表示数，首先要正确画出数轴，标明原点、正方向（一般从左到右为正方向）和单位长度这三要素，然后再表示数，注意：（1）数轴是非常重要的数学工具， 它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数与形之间的内在联系；所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但反过来并不是数轴上的所有点都表示有理数；(2) 画数轴时，原点的位置以及单位长度的大小可根据实际情况适当选取，注意不要漏画正方向、 不要漏画原点， 单位长度一定要统一， 数轴上数的排列顺序（尤其是负数）要正确。(3) 比较有理数大小法则是：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。根据法则先在同

5、一个数轴上表示出同一组数的位置， 然后用“”号连接，这种方法比较直观， 但画图表示数较麻烦。 另一种方法是利用数轴上数的位置得出比较大小规律，即正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数，则比较更方便些。四、相反数象这样只有符号不同的两个数称互为相反数(opposite number)。理解：代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。0 的相反数是 0。几何定义：在数轴上原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。 0 的相反数是 0。说明：“互为相反数”的含义是相反数，是成对出现的，因而不能说“6是相反数”。“0 的相反数是 0”是相反数定义的一部分。 这是因为 0 既

6、不是正数，也不是负数，它到原点的距离就是 0，这是相反数等于它本身的唯一的数。例 3：判断下列说法是否正确： 5 是 5 的相反数；()5 与5 互为相反数；() 5 是相反数；()正数的相反数是负数， 负数的相反数是正数。例 4：（ 1）分别写出 5、 7、 3 1 、 +11.2 的相反数；2（2）指出 2.4 各是什么数的相反数。注意：（1）只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数， 0 的相反数是 0，从数轴上看，求一个数的相反数就是找一个点关于原点的对称点；2 / 8（ 2）相反数是表示具有特定关系（只有符号不同）的两个数，单独一个数不能被称为相反数，相反数是成对出现

7、的；（3）正号“ +”的功能是对一个数的符号予以确认；而负号“”的功能是对一个数的符号予以改变。五、绝对值（ 1）我们把在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值( absolute value )。记作 |a| 。例如，在数轴上表示数 6 与表示数 6 的点与原点的距离都是 6，所以 6 和 6 的绝对值都是 6，记作 | 6|=|6|=6 。同样可知 | 4|=4 ，|+1.7|=1.7 。概括：通过对具体数的绝对值的讨论， 并注意观察在原点右边的点表示的数（正数）的绝对值有什么特点？在原点左边的点表示的数 （负数）的绝对值又有什么特点？由学生分类讨论，归纳出数 a 的绝对值的一

8、般规律：1. 一个正数的绝对值是它本身； 2. 0 的绝对值是 0；3. 一个负数的绝对值是它的相反数。即：若 a0，则 |a|=a ；若 a 0，则 |a|= a；若 a=0，则 |a|=0 ；a(a0)或写成： a0(a0) 。a (a0)（2）绝对值的非负性：由绝对值的定义可知：不论有理数 a 取何值，它的绝对值总是正数或 0( 通常也称非负数 ) ，绝对值具有非负性，即 |a| 0。例 5：求下列各数的绝对值： 71， 1 ， 4.75 ，10.5210例 6： 化简： (1)111112 ；(2)1 3 。解： (1)1222； (2)1111 。33分析：求一个数的绝对值必须先判断

9、这个数是正数还是负数，然后由绝对值的性质得到。在（3）中要注意区分绝对值符号与括号的不同含义。注意：（ 1）对绝对值概念的理解可以从其几何意义和代数意义两方面考虑，从几何方面看， 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离， 它具有非负性；从代数方面看， 一个正数的绝对值是它本身， 一个负数的绝对值是它的相反数， 0 的绝对值是 0。（2）求一个数的绝对值注意先判断这个数是正数还是负数。例 7：比较下列各对数的大小： 0.3 与31 ；2与 0；19与110解： (1)这是两个负数比较大小，| 0.3|=0.3，110.3 ，且 0.3 <0.3 ， 0.31。333说明：

10、要求学生严格按此格式书写，训练学生逻辑推理能力；注意符号“”、“”的写法、读法和用法；对于两个负数的大小比较可以不必再借助于数轴而直接进行；异分母分数比较大小时要通分将分母化为相同。3 / 8六、有理数的运算（ 1）有理数的加法法则：1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2. 绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3. 互为相反数的两个数相加得 0；4. 一个数同 0 相加，仍得这个数 .注意：一个有理数由符号和绝对值两部分组成， 所以进行加法运算时， 必须分别确定和的符号和绝对值 . 这与小学阶段学习加法运算不同。例 8：计算：(+2

11、0)+(+12) ；112；( 3.4)+4.3 。23（ -7 ）+（+7） (+7)+0加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即 a + b = b + a 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即 ( a + b )+ c = a + ( b + c )这样，多个有理数相加， 可以任意交换加数的位置， 也可先把其中的几个数相加，使计算简化。例 9：计算：(1)(+26)+(18)+5+(16)；(2)1 21 17 12 18 1。32432三个以上的有理数相加，可运用加法交换律和结合律任意改变加数的位置，简化运算。常见技巧有：(1) 凑零凑整

12、：互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加；(2) 同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和；(3) 同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来；(4) 带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别结合相加。注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号。（2）有理数减法法则 : 减去一个数，等于加上这个数的相反数。如果用字母 a 、 b 表示有理数，那么有理数减法法则可表示为： a b = a + （ b）。例 10：计算：(1)( 32) (+5) ；(2)7.3 ( 6.8) ；注意：（ 1）由于把减数变为它的相反数，从而减法转化为加法有理

13、数的加法和减法，当引进负数后就可以统一用加法来解决（2）不论减数是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则在使用法则时，注意被减数是永不变的。（3）因为有理数加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法4 / 8运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便。但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换。（ 3） 有理数乘法法则：3×( 2)=?(3) ×( 2)=?一般地，我们有：把一个因数换成它的相反数， 所得的积是原来的积的相反数.综合上面各种情况，引导学生自己归纳出有理数乘法的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 0 相乘，都得 0例

14、11：计算： ( 5) ×( 6)1124有理数乘法运算律：总结：让学生总结出乘法的交换律、结合律。乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即a b = b a乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即 (ab)c=a(bc)根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘， 等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即 a(b c) abac.例 12：计算： ( 10) × 1 × 0.1 ×6。3例 13：计算：4&#

15、215;( 8)+( 5) × ( 8)+16； 38 1 114 。4315解：原式 =24（ 4）有理数除法倒数的概念：乘积是1 的两个数互为倒数 (reciprocal)。例 14： (1)186 ；(2)12；(3)64 。55255解：原式 =18618 63 ；原式 =12151 ；55522原式= 6465325525410这样，对有理数除法，一般有有理数除法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数.注意： 0 不能作除数 .探讨总结出有理数除法类似有理数乘法的法则：因为除法可化为乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0 除以

16、任何一个不等于0 的数，都得 0.(1) ( 3)÷( 3)；(2)24 66；(3)3.573。52784（5）有理数的乘方n一般地，我们有： n 个相同的因数a 相乘，即，记作 a 。5 / 8这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方 (involution) ，乘方的结果叫做幂 (power) 。在 an 中， a 叫作底数， n 叫做指数，an 读作 a 的 n 次方， an 看作是 a 的 n 次方的结果时，也可读作 a 的 n 次幂。例如， 23 中，底数是2，指数是 3，23 读作 2 的 3 次方，或 2 的 3 次幂。一个数可以看作这个数本身的一次方，例如 8 就是

17、81，通常指数为 1 时省略不写。n是正整数 ) ；a n0(n是正整数 )当 a 0 时， a 0(n当 a<0 时，；a n0(n是正整数 )当 a=0 时， an=0(n 是正整数 )(以上为有理数乘方运算的符号法则 )a2n=( a) 2n(n 是正整数 ) ； 2 n 1a)2n-1(n 是正整数 ) ；a2n0(a 是有理数，a= (n 是正整数 ) 。七、科学记数法(1) 任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10 的 n 次幂的形式。如： 100=1×100=1×102 ；600=6× 1000=6× 103；7500=7；

18、5×1000=7.5×103(2) 科学记数法定义：一般地，把一个大于 10 的数记成 a× 10n 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数（即 1a<10）， n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法。例 15：用科学记数法记出下列各数：(1)696 000 ；(2)1 000 000；(3)58 000；(4)7 800 000 。八、有理数的混合运算 (1)定义：含有有理数的加减乘除乘方多种运算，称为有理数的混合运算。2有理数混合运算的运算顺序规定如下：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按照从左至右的顺序进行；如果有括号，就先算小括号里的，再算

19、中括号里的，最后算大括号里的。注意：加法和减法叫做第一级运算； 乘法和除法叫做第二级运算； 乘方和开方 ( 今后将会学到 ) 叫做第三级运算。例 16：计算：111 11解：原式4。332410这里要注意三点：小括号先算；进行分数的乘除运算，一般要把带分数化为假分数，把除法转化为乘法；同级运算，按从左往右的顺序进行，这一点十分重要。例 17：计算： 3 38 13 11 188382427分析：揭示思路：本例按常规运算顺序， 应先算小括号里的减法， 运算较繁，观察算式中的数字特征， 可发现首尾两数互为倒数， 根据这一迹像， 抓住算式的结构特点及数与数之间的关系， 利用运算定律， 适当改变运算顺序， 可得如下新颖解法：6 / 8解原式 =278242525=24252425=83=58272538253258九、近似数和有效数字概括：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。有效数字：这时，从左边第一个不是0 的数起，到精确到的数位止， 所有的数字都叫做这个数的有效数字 (significant digits)。象上面我们取 1.6