数理方程课件

1、数理方程数理方程第五章第五章 Legendre多项式多项式数理方程数理方程5.1 Legendre方程与方程与Legendre多项式多项式的引出的引出n例：例：在本来匀强的静电场在本来匀强的静电场 中，放置一个导中，放置一个导体球，球的半径为体球，球的半径为a，试研究导体球怎样改变，试研究导体球怎样改变了匀强电磁场。了匀强电磁场。 解：解： 这个问题是三维静电场问题，球外电势满足这个问题是三维静电场问题，球外电势满足Laplace方程，在方程，在距球无穷远处，电场保持为原来的距球无穷远处，电场保持为原来的 。0E0E以球心为原点取球坐标系，则定解问题是：以球心为原点取球坐标系，则定解问题是：

2、2000 5.1.1cos5.1.205.1.3rr aurauE zE ru 数理方程数理方程2000,5.1.1cos ,5.1.20.5.1.3rr aurauE zE ru 在球坐标系中，在球坐标系中，Laplace方程的表达式是：方程的表达式是：2222222111sin0sinsinuuurrrrrr用分离变量法求解，设：用分离变量法求解，设：( , , )( ) ( )( )u rR r 代入到方程中，得：代入到方程中，得：2222222sin0sinsinddRRddRdrrdrdrrddrd(5.1.4)数理方程数理方程2222222sin0sinsinddRRddRdrrd

3、rdrrddrd将关于将关于 的变量和关于的变量和关于 的变量分离：的变量分离：, r用用 遍乘上式，并适当移项，可得：遍乘上式，并适当移项，可得：22sinrR222sinsinsinddRddrmRdrdrdd 由此可得两个微分方程：由此可得两个微分方程：20m （5.1.5）和和22211sin0sinsinddRddmrR drdrdd数理方程数理方程20m 22211sin0sinsinddRddmrR drdrdd（5.1.5）对上面第二个方程，再将变量对上面第二个方程，再将变量 分离开来：分离开来：, r22211sin(1)sinsinddmddRrl lddR drdr 由此

4、再得两个常微分方程：由此再得两个常微分方程：2(1)0ddRrl lRdrdr(5.1.6a)即即2( )2( )(1) ( )0r R rrR rl lR r(5.1.6b)以及以及221sin(1)0sinsinddml ldd (5.1.7a)数理方程数理方程221sin(1)0sinsinddml ldd (5.1.7a)对方程（对方程（5.1.7a）作变换）作变换 可得：可得：cosx22222sincossinddddddddxdxdx sindddxdddxddx sinddddx 22222cossindddddxdx 代入代入5.1.7a，得：，得：222sin(1)01dd

5、ml ldxdxx 数理方程数理方程即：即：222(1)(1)01ddmxl ldxdxx (5.1.7b)即即222(1)( )2( )(1)( )01mxxxxl lxx(5.1.7c)至此球坐标系下的至此球坐标系下的Laplace方程分离变量的结果是得到三个常微分方程：方程分离变量的结果是得到三个常微分方程：20m （5.1.5）2( )2( )(1) ( )0r R rrR rl lR r(5.1.6b)222(1)( )2( )(1)( )01mxxxxl lxx(5.1.7c)222sin(1)01ddml ldxdxx 数理方程数理方程20m （5.1.5）2( )2( )(1)

6、 ( )0r R rrR rl lR r(5.1.6b)222(1)( )2( )(1)( )01mxxxxl lxx(5.1.7c)方程方程(5.1.5)加上周期性条件加上周期性条件(0)(2 ) (5.1.8)构成本征值问题，解之得到：构成本征值问题，解之得到：( )cossin,0,1,2,.mmAmBmm方程（方程（5.1.6）是）是Euler方程，令方程，令 ，解之得：，解之得： 1llllR rArB r（5.1.10）（5.1.9）方程（方程（5.1.7）叫做关联）叫做关联Legendre方程。在方程。在m=0时，退化为时，退化为Legendre方程：方程： 2(1)( )2(

7、)(1) ( )0,xxxxl lx（5.1.11）tre数理方程数理方程m=0物理含义：轴对称问题，即场量物理含义：轴对称问题，即场量u与角度与角度 无关，只是无关，只是 和和 的函数。的函数。r重新考虑定解问题重新考虑定解问题2000,5.1.1cos ,5.1.20.5.1.3rrurauE zE ru 非齐次边界条件（非齐次边界条件（5.1.2）是引起场量）是引起场量u发生变化的唯一根源，这个非齐发生变化的唯一根源，这个非齐次函数不是角变量次函数不是角变量 的函数，所以问题具有轴对称性。的函数，所以问题具有轴对称性。2(1)( )2( )(1) ( )0,xxxxl lx（5.1.11

8、）在第三章中，我们已经求出了在第三章中，我们已经求出了Legendre方程方程(5.1.11)的通解，并且指出，的通解，并且指出，Legendre方程方程(5.1.11)加上自然条件加上自然条件 1, （5.1.12）构成本征值问题，其本征值和本征函数依次是：构成本征值问题，其本征值和本征函数依次是： 0,1,2,;.nlnnxP x数理方程数理方程综上，定解问题综上，定解问题(5.1.1)-(5.1.3)在具有轴对称性质的假设下，具有本征解：在具有轴对称性质的假设下，具有本征解： 1,cos0,1,2,nnnnnnurA rB rPn（5.1.14）将这些解叠加起来，得到级数解为：将这些解叠

9、加起来，得到级数解为：10,cos.nnnnnnu rA rB rP（5.1.15）下一步：利用下一步：利用Legendre多项式的性质，确定未知常数。多项式的性质，确定未知常数。数理方程数理方程当当 时，方程为关联时，方程为关联Legendre方程：方程：0m 222(1)( )2( )(1)( )01mxxxxl lxx(5.1.7c)令令2/2( )(1)( )mxxY x(5.1.16)则函数则函数Y满足：满足：2(1)2(1)(1)(1)0 x YmxYl lm mY(5.1.17)12/222( )(1)( )(1)mmxxY xmxxY12/2221222222( )(1)( )

10、2 (1) (1)(2)(1)mmmmxxYxmxxYmxYm mxx Y数理方程数理方程另一方面，利用微商的莱布尼兹法则：另一方面，利用微商的莱布尼兹法则：()()(1)(2)()( )()(1)().1!2!(1)(2).(1) .!mmmmm kkmmm muvuvuvuvm mmmkuvuvk将勒让德方程将勒让德方程2(1)( )2( )(1) ( )0 xxxxl lxPPP对对x求求m次微商，可得：次微商，可得：2()()()(1)2(1)(1)(1)0mmmxmxl lm mPPP其中其中()mmmddxPP（II）2()()()()()()(1)(1)222 2(1)0mmmm

11、mmm mxm xxml lPPPPPP即：即：数理方程数理方程满足自然条件（满足自然条件（5.1.12）的）的Legendre方程的解是方程的解是legendre多项式多项式 ，( )nP x满足同样边界条件的关联满足同样边界条件的关联Legendre方程的本征函数称为关联方程的本征函数称为关联Legendre多多项式，记作项式，记作( )mnPx所以所以22( )( )(1)(0,1,2, )mmmnnmd P xPxxmndx一般解：一般解：本征解：本征解：(1)( , , ) cossin(cos )nnmnmmmnurArBrCmDmP 00( , , )( , , )nnmnmu

12、rur 比较（比较（5.1.17）和（）和（5.1.17），可知：），可知：()( )( )mY xx P2(1)2(1)(1)(1)0 x YmxYl lm mY（5.1.17）2()()()(1)2(1)(1)(1)0mmmxmxl lm mPPP（5.1.17）代回代回2/2( )(1)( )mxxY x可得：可得：2/2()( )(1)( )mmxxxP数理方程数理方程5.2 Legendre多项式的性质多项式的性质nLegendre多项式的微分表示多项式的微分表示Legendre多项式：多项式：/220(22 )!( )( 1)2!()!(2 )!lklkllklkP xxk lkl

13、kl为偶数为偶数(1)/220(22 )!( )( 1)2!()!(2 )!lklkllklkP xxk lklkl为奇数为奇数现在我们来证明，现在我们来证明，Legendre多项式还可表示成如下的微分形式：多项式还可表示成如下的微分形式： 21( )(1)2 !llllldP xxl dx（5.2.1）数理方程数理方程21( )(1)2 !llllldP xxl dx证明：将式（证明：将式（5.2.1）中的）中的 按二项式定理展开，可得：按二项式定理展开，可得：2(1)lx /2220/2201( 1) (22 )(21)(1)2 !2!()!(22 )!( 1)2!()!(2 )!lkll

14、lklllklklklkdlklkxxl dxk lklkxk lklkRodrigues公式由此得证。公式由此得证。（5.2.1）22011!(1)()( 1)2 !2 !()!lllll kkllllkddlxxl dxl dxk lk将其中的将其中的l次微商实施。凡是次微商实施。凡是x的幂次的幂次2l-2k低于低于l的项在微商过程中都成为的项在微商过程中都成为零，留下的项必满足：零，留下的项必满足： ，即，即22lkl/2kl故故数理方程数理方程利用利用Rodrigues公式，可方便地给出低阶的几个公式，可方便地给出低阶的几个Legendre多项式的显多项式的显式：式：21( )(1)2

15、 !llllldP xxl dx012223334245351cos313cos1( )22535cos3cos( )221( )(35303)81 (35cos420cos29)641( )(637015 )81 (63cos535cos330cos )128PPxxP xxxP xP xxxP xxxx（5.2.2）0P1P2P3P4P5P数理方程数理方程(1)1;lP( )lP x的奇偶性由的奇偶性由l的奇偶性来决定。的奇偶性来决定。222121()( );()( );nnnnPxPxPxPx （5.2.3）由图可见，由图可见，0P1P2P3P4P5P数理方程数理方程nLegendre多

16、项式的积分表示多项式的积分表示1）. 施列夫利（施列夫利（Schlufli）积分）积分根据复变函数的根据复变函数的Cauchy积分公式积分公式( )1!( )( )2()nnLnf z dzfxizx的微分表示又可变为积分表示：的微分表示又可变为积分表示：( )lP x22111(1)( )(1)2 !2 2()llllllllCdzP xxdzl dxizx其中其中C是在是在z平面上围绕平面上围绕z=x点的任一闭合回路。点的任一闭合回路。2）. Laplace积分积分将积分回路将积分回路C选成：以选成：以z=x为圆心，以为圆心，以 为半径的圆周为半径的圆周（5.2.5）1221x在积分回路上

17、：在积分回路上：2 1/22 1/22 1/2(1)(02 ),(1)(1)iiizxxezxxedzixe d即1x 数理方程数理方程将以上各式代入式将以上各式代入式22111(1)( )(1)2 !2 2()llllllllCdzP xxdzl dxizx经过整理简化，可得：经过整理简化，可得：2 1/201( )(1)cosllP xxixd（5.2.6）按按 ，从，从x变回变回 ，可得：，可得：cosx01(cos )cossincosllPid（5.2.7）Legendre多项式的多项式的Laplace积分积分利用该式，可得利用该式，可得Legendre多项式的一些特殊值。比如：多项

18、式的一些特殊值。比如：(1)1( 1)( 1)lllPP ，2 1/22 1/22 1/2(1)(02 ),(1)(1)iiizxxezxxedzixe d即数理方程数理方程nLegendre多项式的母函数多项式的母函数如果一个函数按其某个自变量的幂级数展开时，其系数是如果一个函数按其某个自变量的幂级数展开时，其系数是Legendre多项多项式，则称该函数为式，则称该函数为Legendre多项式的多项式的母函数母函数，或称，或称生成函数。生成函数。0( , )( )nnnf x tP t x即如果有即如果有则称则称 为为Legendre多项式的母函数。多项式的母函数。( , )f x t例：考

19、察电量为例：考察电量为 ，位于半径为，位于半径为1的单位球北极的单位球北极N处的点电荷在球处的点电荷在球内一点内一点 处所产生的电势是处所产生的电势是04( , , )M r 21/211(12 cos )udrr其中其中_21/21,(12 cos )rdMNrr（5.2.8）数理方程数理方程另一方面，球内电势满足：另一方面，球内电势满足：20u在球坐标系中，由于电荷放在极轴上，它所产生的静电场是轴对称的，在球坐标系中，由于电荷放在极轴上，它所产生的静电场是轴对称的，与变量与变量 无关。无关。( , )uu r一般解为：一般解为：0(cos )lllluAr P（5.2.9）比较（比较（5.

20、2.8）和（）和（5.2.9），有：），有：21/211(12 cos )udrr（5.2.8）21/201(cos )(1)(12 cos )llllAr Prrr（5.2.10）10,cos.llllllu rArB rP因为因为0|ru 所以：所以：数理方程数理方程21/201(cos )(1)(12 cos )llllAr Prrr（5.2.10）为确定系数为确定系数 ，取特殊位置，取特殊位置lA0, cos1并利用并利用 ，式（，式（5.2.10）化为：）化为：(1)1lP011lllArr因为因为 ，上式左端可展成，上式左端可展成Talor级数，即级数，即1r 201llllrrr

21、Ar比较两边的系数，可知：比较两边的系数，可知：1(0,1,2,)lAl式（式（5.2.10）化为：）化为：21/201(cos )(1)(12 cos )lllr Prrr（5.2.11）或或2 1/201( )(1)(12)lllr P xrrxr（5.2.12）数理方程数理方程由此可见，由此可见，Legendre多项式多项式 是函数是函数 在在 的邻域中进行级数展开时所得的系数。因此，该函数称为的邻域中进行级数展开时所得的系数。因此，该函数称为Legendre多多项式项式 的的母函数母函数。( )lP x2 1/21(12)rxr0r ( )lP x类似地，在球外一点类似地，在球外一点2

22、1/21011(cos )(1)(12 cos )lllPrrrr（5.2.13）或或2 1/21011( )(1)(12)lllP xrrxrr（5.2.14）数理方程数理方程nLegendre多项式的递推公式多项式的递推公式11(1)( )(21)( )( )0llllPxlxP xlPx（5.2.15）11( )( )2( )( ) (1)llllP xPxxP xPxl（5.2.16）1( )( )(1)( )lllPxxP xlP x（5.2.17）证明式（证明式（5.2.15）。）。将母函数公式将母函数公式2 1/201( )(1)(12)lllr P xrrxr的两边对的两边对r

23、求一次微商，可得：求一次微商，可得：23/210()(1 2)( )lllxrrxrlrP x再用再用 乘上式两边，可得：乘上式两边，可得：2(1 2)rxr2100()( )(1 2)( )llllllxrr P xrxrlrP x比较等式两边比较等式两边 的系数，可得：的系数，可得：kr111( )( )(1)( )2( )(1)( )kkkkkxP xPxkPxkxP xkPx移项并整理：移项并整理：11(1)( )(21)( )( )0kkkkPxkxP xkPx结论得证。结论得证。数理方程数理方程nLegendre多项式的正交归一性多项式的正交归一性Legendre多项式在多项式在-

24、1,1上满足如下正交归一关系：上满足如下正交归一关系：110,( )( )2.21lklkP x P x dxlkl（5.2.18）第一式称为正交性，第二式是第一式称为正交性，第二式是Legendre多项式的模方：多项式的模方：2221lNl证明：证明：Legendre方程加上边界条件方程加上边界条件1( )xP x有限值构成构成Sturm-Liouville本征值问题。于是本征值问题。于是Legendre多项式具有正交性。多项式具有正交性。于是第一式成立。于是第一式成立。数理方程数理方程也可给出证明如下：也可给出证明如下：和和 分别为分别为l阶、阶、k阶阶Legendre方程的一个特解，故有

25、：方程的一个特解，故有：( )lP x( )kP x2( )(1)(1)( )0lldP xdxl lP xdxdx2( )(1)(1)( )0kkdP xdxk kP xdxdx以以 乘第一式，乘第一式， 乘第二式，再把结果相减，然后积分得：乘第二式，再把结果相减，然后积分得：( )kP x( )lP x11221111( )(1)( )( )(1)( ) (1)(1)( )( )0kllklkddP xxP x dxP xxPx dxdxdxl lk kP x P x dx对前两项利用分部积分：对前两项利用分部积分：11221111221111(1)( )( )(1)( )( )(1)(

26、)( )(1)( )( ) (1)(1)( )( )0kllklkkllkxP x P xxP x Px dxxP x PxxPx P x dxl lk kP x P x dx数理方程数理方程即即11 (1)(1)( )( )0lkl lk kP x P x dx因为因为 ，所以，所以lk11( )( )0lkP x P x dx第一式得证。第一式得证。下面证明第二式。下面证明第二式。由母函数关系式由母函数关系式2 1/201( )(1)(12)lllr P xrrxr有有200001( )( )( )( )12lkl klklklklkP x tP x tP x P x txtt将上式两边对

27、将上式两边对x积分，并应用正交性，有：积分，并应用正交性，有：111222111000( )( )( )12l kllkllkldxP x P x dx tPx dx txtt数理方程数理方程111222111000( )( )( )12l kllkllkldxP x P x dx tPx dx txtt2211222111120001(1 2)1(1)ln1 22(1 2)2(1)11( 1)( 1) ()2ln(1)ln(1)1121nnnnlnnldxdxtttxtttxtttttttttttnnl 故有故有11222211002( )2112llllldxtPx dx tlxtt比较比

28、较 的系数，有：的系数，有：2lt1212( )21lPx dxl（5.2.20）记记 为为 的模方，而的模方，而 为为 的归一化因子，的归一化因子，2221lNl( )lP x1lN( )lP x因为函数因为函数 在在-1,1上归一：上归一：( )llP xN211( )1llP xdxN（5.2.21）数理方程数理方程n按按 的广义的广义Fourier级数展开级数展开( )lP x按按Sturm-Liouville型本征值问题的一般结论，本征函数族型本征值问题的一般结论，本征函数族 是是完备的。如果定义在区间完备的。如果定义在区间-1,1的函数的函数f(x)具有连续二阶导数，且满具有连续二

29、阶导数，且满足与足与 相同的边界条件，则可按相同的边界条件，则可按 展成绝对且一致收敛级数展成绝对且一致收敛级数( )lP x( )lP x( )lP x0( )( )lllf xf P x（5.2.22）Fourier-Legendre级数级数其系数的计算公式为：其系数的计算公式为：11(21)( )( )2lllff x P x dx（5.2.23）如果使用原来的变量如果使用原来的变量 ，则有：，则有：0( )(cos )lllff P（5.2.24）其中其中0(21)( )(cos )sin2lllffPd （5.2.25）数理方程数理方程n一个重要公式一个重要公式21(1)( )( )

30、( )( )( )( )(1)(1)nmmnnmxxP x P xP x P xP x P x dxn nm m（5.2.26）证明：写出证明：写出Legendre方程的方程的Sturm-Liouville型形式：型形式：2(1)(1)0nndPdxn nPdxdx（5.2.27）2(1)(1)0mmdPdxm mPdxdx（5.2.28）用用 乘式（乘式（5.2.27），）， 乘式（乘式（5.2.28），结果相减再积分，得：），结果相减再积分，得：( )mP x( )nP x1221( )(1)( )(1)(1)(1)nmmnxnmxdPdPddP xxP xxdxdxdxdxdxm mn

31、nP P dx对左端两项实施分部积分，未积出的部分相互抵消，从而结论得证。对左端两项实施分部积分，未积出的部分相互抵消，从而结论得证。数理方程数理方程n例例1：在：在-1,+1上将上将 函数按函数按 展开成展开成FourierLegendre级数。级数。3)(xxf)(xPl解：设解：设)()(03xPfxxflll求系数有两种方法：求系数有两种方法：一种是按公式一种是按公式(5.2.23)，将，将 代入，利用洛德利格斯代入，利用洛德利格斯公式（微分），采用分部积分技巧等。较繁琐。公式（微分），采用分部积分技巧等。较繁琐。3)(xxf另一种为比较系数法。另一种为比较系数法。2)(35235)(

32、1333xPxxxxP我们知道我们知道所以所以5)(25)(3)(313xPxPxxf由此可见，展开系数为：由此可见，展开系数为：时）（当3 , 10,52,5331lfffl数理方程数理方程n例例2：计算积分：计算积分 11.nP x dx解：方法一解：方法一 1101100,220.2 0 1nnnPx dxPx Px dxn 方法二：方法二： 利用递推公式利用递推公式 1121,nnnnP xPxPx有：有： 111111111112111111 (n1)21nnnnnnnPx dxPxPxdxnPPPPn因为因为 11,11,nnnPP 于是于是 1111111111100,2112

33、0.nnnnnPx dxdxn 数理方程数理方程n例例3：设：设f(x)是一个是一个k次多项式，证明当次多项式，证明当kn时，时，即即f(x)和和 在在-1,+1上正交。上正交。 110,nf x P x dx nP x证明：利用证明：利用Legendre多项式的微分表示：多项式的微分表示：21( )(1)2!nnnnndP xxn dx有：有： 112111111221111112!1111,2!2!nnnnnnnnnnnnndf x Px dxf xxdxndxddf xxfxxdxndxndx上式右端第一项之值为零，在对第二项分部积分上式右端第一项之值为零，在对第二项分部积分k-1次，并

34、注意次，并注意f(x)是一个是一个k次多项式，次多项式， 是常数，于是上式变为：是常数，于是上式变为： kfx数理方程数理方程 11211121112111112!1112!1110.2!n knkknnn kn knkknn kn knkknn kdfx Px dxfxxdxndxdfxxdxndxdfxxndx 数理方程数理方程5.3 Legendre多项式的应用多项式的应用n第第1节开始时提到的问题：在均匀电场节开始时提到的问题：在均匀电场 中放中放置一个导体球球的半径为置一个导体球球的半径为a，求在球外区域，求在球外区域中的电场。中的电场。0E定解问题：定解问题：2000,5.3.1c

35、os ,5.3.20.5.3.3rr aurauE zE ru 数理方程数理方程2000,5.3.1cos ,5.3.20.5.3.3rr aurauE zE ru 其级数形式的一般解为：其级数形式的一般解为：(1)0(cos )nnnnnnuA rB rP(5.3.4)利用利用Legendre多项式的性质来确定待定系数。多项式的性质来确定待定系数。先利用条件先利用条件(5.3.2)，将式，将式(5.3.4)代入，可得：代入，可得：00102cos(cos )cos(cos )rnnnnnnnnuE rA r PAArA r P 数理方程数理方程00102cos(cos )cos(cos )r

36、nnnnnnnnuE rA r PAArA r P 比较两边的系数，可得：比较两边的系数，可得：0100,0(2)nAAEAn (5.3.5)将上式代入一般解将上式代入一般解(5.3.4)，得到：，得到：(1)010( , )(cos )(cos )nnnnu rE rPB rP (5.3.6)再利用条件再利用条件(5.3.3)来确定系数来确定系数nB将上式代入以后，得到：将上式代入以后，得到：(1)010122(cos )(cos )0nnnnBBE aPB aPaa 数理方程数理方程(1)010122(cos )(cos )0nnnnBBE aPB aPaa 比较系数可得：比较系数可得：120010,0,0(2)nB aE aB aBn解得：解得：30100,0(2)nBBE aBn将它们代入式将它们代入式(5.3.4)，得到最后