4函数的单调性及其应用

1、函数 yln x 的单调性及其应用x1 函数 yln x的单调性及其相应的结论x用导数可证得：定理 1(1)函数 yln x) 上分别是增函数、 减函数 ( 其图象如图 1 所示 ).在 ( 0, e, e,x图 1(2)当 0a be 时， abba ；当 eab 时， abb a ；当 0a 1且 ab 时， a bb a ；当 1ae 且 be 时， a bb a , a bb a , abba 均有可能2 定理 1 的应用2.1推广 2014 年高考湖北卷文科压轴题的结论高考题 1(2014 年高考湖北卷第22 题 )为圆周率， e=2.718 28 为自然对数的底数(1)求函数 f

2、( x)ln x的单调区间；x(2)( 文) 求 e3 ,3e ,e , e,3, 3 这 6 个数中的最大数与最小数；(理 )将 e3 ,3e, e ,e ,3 ,3 这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论下面给出这道高考题的解法解(1)增区间为 (0,e)，减区间为(e,) (2)( 文) 由 (1)的结论还可证得结论：当eab 时， abb a 由此结论，得 e33e , ee ,33 又由幂函数、指数函数的单调性，得3ee3 , 3e3e 所以所求最大数与最小数分别是3 ,3e (由此解法还可得结论：若eabc ，则 ab ,ba , ac,ca ,bc ,cb 中的最大者、

3、最小者分别是 bc ,ba )ln x1xe) 在此结论中，可令 xe2(理 )由 (1) 的结论可得(0，得xelne23ln63e6 e3 e由式，还可得elne2.722.722.7(20.88)3.0243e 23.1ee3再由 (文 )的解法可得， 33eee33e 定 理 2(1)若 0a1a2ane, Anai a j ij ; i , j1,2,m aAxnan an 1 , m iAnna1a2，且集合 An的各元素中最大者、最小者均唯一；(2)若ea1a2an (n2), Anai aj ij ; i, j1,2, nmax Anan 1an ,min Ana2a1 ，且集

4、合 An 的各元素中最大者、最小者均唯一证明对 n 用数学归纳法来证(1)由定理 1(2)知， n2 时成立假设 nk (k2)时成立：若0a1a2ake(k2), Akai a j ij ;i , j1,2,ka k-1a2m Ak a ak x , m Ak i a1 n, n ， 则， 则，则若 0a1a2ak1 e(k2), Ak 1ai ajij; i, j1,2, k1，则Ak 1Aka1ak 1 , a2ak 1 , , ak ak 1 , ak 1a1 , ak 1a2 , , ak 1ak又因为maxa1aa1 ,akaaka1 , max ak 1a, ak 1a,aak1

5、, a2kk 1k12, ak 1kak 1k所以max Ak 1maxmax Ak ,maxaa1 , aka,maxak 1a1 , ak 1a2,akaa1k 1 , a2kk11kmax ak ak -1 , ak ak 1 , ak 1akak1ak (因为由定理 1(2)可得 ak1akak ak1ak ak-1)又因为mina, a2a1 , akaa1a1 , minakaa,aaa1 k 1kk 1k11 , ak 12, ak 1kak 1 1所以min Ak 1minmin Ak ,mina1ak 1 ,a2ak 1 , akak 1,minak 1a1 , ak 1a2

6、 , ak 1akmax a1a2 ,a1a k 1 , ak1a1a1a2 (因为由定理 1(2)可得 a1a2a1ak1ak 1a1 )得 n k1 时也成立所以欲证结论成立(2)由定理 1(2)知， n 2 时成立假设 nk (k2)时成立：若ea1a2ak (k2), Akai a j ij ;i, j1,2, , k，则max Akak 1ak ,min Aka2a1 若 ea1a2ak 1 (k2), Ak 1ai a jij ; i, j 1,2, k1，则Ak 1Aka1ak 1 , a2ak 1 , , ak ak 1 , ak 1a1 , ak 1a2 , , ak 1ak

7、又因为maxa1aa1 ,akaaka1 , max ak 1a, ak 1a,aak1, a2kk 1k12, ak 1kak 1k所以max Ak 1maxmax Ak ,maxaa1 , aka,maxakaa,akaa1k 1 , a2kk11 1 , ak121kakak 1, akakakak 1(因为由定理 1(2)可得 akaakaak 1 )max ak 1, ak11 k1kak又因为mina, a2a1 , akaa1a1 , minakaa,aaa1 k 1kk 1k11 , ak 12, ak 1kak 1 1所以min Ak 1minmin Ak ,mina1ak1

8、 ,a2ak 1 , , akak 1 ,min ak1a1 , ak 1a2 , ak 1akmina2aaaa2a(因为由定理 1(2)可得 a2a1ak 1a1a1ak 1 )1, a1k 1, ak 1 11得 n k 1 时也成立所以欲证结论成立(1)若 0e, Gai a ja kj , jk, ki ;i, j , k1,2,3猜 想a1a2a3i， 则aaaa3m a xG a1, m i Ana322；n1(2)若eaa2a,Ga a j akij, jk, ki;i , j, k 1,2,3，则13imax Gaa3,min Ga3a a1a122例 1设 Gab a,b2

9、, e,3,4，求 max G, min G .解由定理 2(2)，可得 max ab a, be,3,44 ,min ab a, be,3,43e .由指数函数y2x是增函数，可得mbxe,3,44bne,3,42e.2a b2 , m2 i b由幂函数y x2 ( x0)是增函数，可得m2,44224,m2ne,3,42aa a xe,3,ai ae .所以maxGmaxab a,be,3,4, 2b be,3,4, a2 ae,3,4max4 ,24 ,244minGminab a,be,3,4, 2b be,3,4, a2 ae,3,4min 3e,2e ,e22e(因为由定理 1(2

10、)可得 2ee2)2.2研究另3 道高考题ln 2ln 3ln 5高考题 2(2005 年高考全国卷理科第6题 ) 若 a2, b,c，则( )35A. a b cB.c b aC.c a b D.b a c根C. 由定理 1(1)、图 2 及 ln 2ln 4，可得选 C.24图 2例 2(文献 1变式题1) 设 a1 , bln2, cln，其中 e 为自然对数的底数，则ea, b, c 的大小关系为 ( )A.a b cB.c a bC.a c bD.b a c原解因为 a1ln e ,bln2ln 2，且 2e，而函数 f ( x)ln x 在 (0,e)ee2x上单调递增，在 (e,

11、) 上单调递减，所以ab, ac .ln 2lnln 22 lnln 2ln2又 bc0 ，所以 b c .222因此， abc ，A 正确 .订正笔误原解的最后一行有误，应订正为“因此，a c b ， C 正确” .原解中的“ ln 2ln22 ”是怎么来的？质疑0”即“ 22简解C. 由定理1(1) 及 ln 2ln 4，可得选 C.24注简解也给出了 22的证明 .高考题 3(2001年高考全国卷理科第20题 ) 已知 i , m, n 是正整数，且 1i mn .(1)证明 ni A mimi A in ( 注：原题是“证明ni Pmimi Pni ”，两者意义相同 ) ；(2)证明

12、(1 m)n(1n)m.证明(1)略 .(2)即证 n ln(1m)m ln(1n), ln(1 m) ln(1n) .mxnln(1x)ln(1x)( x2)1x设 f ( x)，得 f ( x)x2( x 2) .x由x2，得x1ln(1)，所以 f(x)0( x2) ，即函数 f ( x) 在 2,) 上是1xx减函数，所以f ( m)f ( n) ，即欲证成立 .注用同样的方法( 但还须对由 f( x) 的分子得到的函数yxx)( x0) 再1ln(1x求导 ) 还可证得：若 0mn ，则 (1m)n(1 n)m .高考题 4 (1983年高考全国卷理科第9 题 )(1)已知 a, b

13、 为实数，并且 eab ，其中e 是自然对数的底，证明abba ；(2)如果正实数 a, b 满足 abba ，且 a1 ，证明 ab .证明 (1) 由推论立得 .(2)由 正 实 数 a, b 满 足 abba， 得 b ln aa ln b.再 由 0a1， 得b ln aa ln b 0,0b1 .再由反证法及定理1(2)可得欲证结论成立 .2.3 关于 x 的方程 axbx(a0, b0,0,Z) 根的个数下面再用定理1 来讨论关于x 的方程a xbx (a0, b 0,0,Z )根的个数 .定理 3 (1)若 b0,为奇数，则12 时，方程根的个数是(i) 当且仅当 ebln a0

14、；(ii) 当且仅当 beln a或 lna0 时，方程根的个数是1；ln a02.(iii) 当且仅当1时，方程根的个数是ebln a2(2)若 b 0,为奇数，则12 时，方程根的个数是(i) 当且仅当 ebln a0；(ii) 当且仅当 beln a或 a 1 时，方程根的个数是1；ln a02.(iii) 当且仅当1时，方程根的个数是ebln a2(3)若 b0,为非零偶数，则1e ln a(i) 当且仅当 b时，方程根的个数是1；1eln a当且仅当b1 时，方程根的个数是；(ii)或 a2a11eln a 时，方程根的个数是 3.(iii) 当且仅当 b(4)若 b0,为非零偶数，

15、则方程根的个数是0.证明(1)易知方程的的根x 0 .111可设 db,c ab , tbx ，可得 d , c, t 均是正数 .还可得关于 x 的方程根的个数即关于t 的方程ctt (c0, 是奇数 ; t 0)也即ln tln c(c0,是奇数 )根的个数 .由定理 1(1) 及图 1，可得(i) 当且仅当 lnc11 即 e b ln ae2时，方程根的个数是0；(ii) 当且仅当 lnc0 或 lnc 1即 beln a或lna 0 时，方程根的个数是1；e(iii) 当且仅当 0lnc1 即ln a0时，方程根的个数是 2.1eebln a2(2)易知方程的的根 x 0 .可设 xx ，得 x0 .还可得关于 x 的方程根的个数即关于x 的方程xbx ( 110, b0,是奇数 )aa根的个数 .再由结论 (1) 可得结论 (2)成立 .(3)易知方程的的根x0 .111可设 db ,cab, tb x ，可得 d , c 均是正数， t0 .还可得关于x 的方程根的个数即关于t 的方程ctt (c0,是非零偶数 ; t0)也即ln tln c (c 0, 是非零偶数 )t根的个数 .ln t由定理 1 可作出函数y的图象如图3 所示：t图 3由图 3可得lnc11eln a1；(i) 当且仅当