定积分与微积分基本定理精讲附配套练习

1、第十三节定积分与微积分根本定理考纲1.了解定积分的实际背景，了解定积分的根本思想，了解定积 分的概念.2.了解微积分根本定理的含义.抓根底自主学习|理网.双某自主测评 知识梳理知识梳理1.定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间a, b上连续，用分点将区间a, b等分成n个小区问，nn.一b a .在每个小区间上任取一点如=1,2，n),作和式Ef(S)衣= -冏,当nT8时，上述和式无限接近丁某个常数，这个常数叫做函数n. . _b a上的定积分，I己作rbf(x)dx.即rbf(x)dx= lim Ef( E).aa.naansi =1(2)有关概念在fbf(x)dx

2、中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a, b叫做积分区 a问，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.(3)定积分的几何意义f(x)fbf(x)dx的几何意义Jaf(x) 0表示由直线x= a, x= b, y= 0及曲线y= f(x)所围成 的曲边梯形的面积f(x) 0表示由直线x= a, x= b, y= 0及曲线y= f(x)所围成 的曲边梯形的面积的相反数f(x)在a, b上有正有负表小位丁x轴上方的曲边梯形的面积减去位丁x轴下方的曲边梯形的面积2.定积分的性质f(x)在区间a, b(1) ，kf(x)dx= k fbf(x)dx(k为常数)；a a(2

3、) fbf1(x) (x)dx=f(x)dx土f(x)dx；a a a(3) ，f(x)dx= fcf(x)dx+ |f(x)dx(其中ac0, . . T= 3. 0明考向题型突破I1定积分的计算计算以下定积分.1(x2+ sin x)dx；J i2|1 x|dx. 0解(1) f1(x2+ sin x)dxJ 1=1x2dx+1sin xdxJ 11，1 2x12=2j1x2dx= 2-3|o =3.(2)f2|1 x|dx=1(1 x)dx+ f2(x- 1)dx12 112 =f 2、1。+gx x |1=I 2卜0+ gx 22-2 J- gx 12- 1 = 1.12分规律方法1.

4、运用微积分根本定理求定积分时要注意以下几点:(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性，分段积分再求和；(3)对丁含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分;(4)注意用“F(x) = f(x)检验积分的对错.2.根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分.变式训练1 (1)(2021石家庄质检(二) j1-1(x2+寸1- x2)dx=x2, x 0, 1,设f(x)= j1x1 e (e为自然对数的底数)，那么ef(x)dx的值为x【导学号：01772093】 2+ 3(2)3I|Y 1 )J卓工I，J y HY-I-广1

5、1、J1 V ply 一y I4 IJ 1 _ y plyL(i) J罗?七 |x dx十 |iji x dx 3入 |-1丁 |J1x dx=3+f 寸-x2dx, J1 1寸1 -x2dx等丁半径为1的圆面积的2，即1寸-x2dx)-1J -1=2，故原式=2+ 3.X2, x 0, 1,(2) - f(x) = b：、X，x (1, e),f(x)dx=1x2dx+ 0 0P1dx= 1x310 + In x|e=1+ In e= 4.x 333I璃_(1)曲线y= x+ 2,y=也与x轴所围成的面积为利用定积分求平面图形的面积4 (2)曲线y=x2与直线y= kx(k0)所围成的曲边图

6、形的面积为那么k=3【导学号：01772094】6 (2)2 (1)如下图，由y=山及y= x+ 2可得交点横坐标为x= 1.由定积分的几何意义可知，由y=寸X, y= x+ 2及x轴所围成的封闭图形的面k31323k=即k，= 8, . . k = 2.规律方法利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限;(3)把曲边梯形的面积表示成假设干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案.易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被 积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况讨论.变式训练2 (1)(2021山东

7、威海一模)曲线y= sin x(00)所围成的曲边梯形的面积为(2)由x= 0,y= kx,得y= 0(1)2 (2)9 (1)由题意知封闭区域的面积S= Jsin xdx= cos x|0= cos兀一(cos 0)= 1-(- 1) = 2.圆出草图如下图.选用x为积分变量所求面积为，2协一(2Vx)dx+(2山一2x+ 4)dx0, i2 3i 2 3424=4X3福0 +2Xx2|i x |i +4x|i832 4=8+新3厂(16-1)+(16-4)= 9.N_3_l_|定积分在物理中的应用一辆汽车在高速公路上行驶，由丁遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)25=7 3t + 1t(t的

8、单位：s, v的单位：m/s)仃驶至停止.在此期间汽车继续仃驶的距离(单位：m)是()11A. 1 + 25ln 5B.8 + 25ln73C. 4+ 25ln 5D.4 + 50ln 2C C 由v(t) = 7 3t+= 0可得t= 4?=一3舍去J,因此汽车从刹车到停.25止一共行驶了4 s,此期间行驶的距离为-v(t)dt= (7 3t +讳向= 0 0 那么从时刻t = a到t = b所经过的路程s= fbv(t)dt. a(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x= a移 动到x=b时，力F(x)所做的功是W= fbF(x)dx.(2)由yI 2= 4

9、x,y=2x 4,得x= 1,或、y= 2x = 4,y=4.卜例-a5, 0 x2F相同的方向，从x= 0处运动到x=4(单位：m)处,那么力F(x)做的功为J.36由题意知，力F(x)所做的功为W=4F(x)dx= f25dx+ f4(3x+ 4)dx 0 0 2=5X 2+软2+ 4x |4=10+42+ 4X 4- |x 22+ 4X 2牛36(J).名师微博。思想与方法1.求定积分的两种常用方法：(1)利用微积分根本定理求定积分，其步骤如下：求被积函数f(x)的一个原函数F(x);计算F(b) F(a).(2)利用定积分的几何意义求定积分.2.对丁求平面图形的面积问题，应首先画出平面

10、图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间.易错与防范1.被积函数假设含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分.2.假设积分式子中有几个不同的参数，那么必须先分活谁是被积变量.3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大丁积分下限.4.定积分的几何意义是曲边梯形面积的代数和，但要注意面积非负，而定 积分的结果可以为负.课时分层训练(七)二次函数与藉函数A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1.籍函数f(x) = k x的图象过点%,手那么k+ a=()【导学号：01772040】1A，2B.13C.2D.2C C由籍函数的定义知k= 1.乂专)=乎，所以)=

11、平，解得a= 2，从而.3、k+a=2.2.函数f(x) = 2x2 mx+ 3,当x 2, + 8)时，f(x)是增函数，当x (8, -2时，f(x)是减函数，M f(1)的值为()A. -3B.13C.7D.5B B函数f(x)= 2x2- mx+ 3图象的对称轴为直线x=旨，由函数f(x)的增减区间可知m= 2, 8,即f(x) = 2x2+ 8x+ 3, (1) = 2 + 8 + 3= 13.3.假设籍函数y= (m2 3m+ 3) xm2 m-2的图象不过原点，贝U m的取值是()A. -1m2B.m= 1或m= 2C. m= 2D.m= 1B B由籍函数性质可知m2 3m+ 3

12、= 1, .m= 2或m= 1.乂籍函数图象不过 原点，. .m2 m 20,即一1vmbc且a+ b+ c= 0,那么它的图象可能 是()【导学号：01772041ABCDD D 由a+ b+ c= 0, abc知a0, c0,那么0).假设f(x)在2,3上的最大值为4,最小值为1, WJ a =, b=.1 0因为函数f(x)的对称轴为x= 1,乂a0,f21所以f(x)在2,3上单调递增，所以厂f(3户4,a 22-2a 2+ 1 + b= 1,即、a 32-2a 3+ 1 + b=4,7.P = 2,，Q=- R=球那么巳Q，R的大小关系是【导学号：01772042!PRQ P =2

13、= E2j,根据函数y= x3是R R上的增函数且 乎25,得乎3土3 53,即PRQ.28.函数f(x) = x2 2ax+ 5在(一2上是减函数，且对任意的-a 4-3a,-a= 1,f- a 4-3a4 3a= 1,解得a= 1.解方程得a= 1, b = 0.x1,x2 1, a+ 1,总有|f(xi)-f(x2)|2,那么f(1)f(a+ 1),从而|f(x)一f(x2)|max=f(1)_f(a) =a 2a + 1,f2由a 2a+1 v4,解侍一1v av3,乂a2,所以2vaf(a-1)的实数a的取值范围.解籍函数f(x)经过点(2, 0,由f(2-a)f(a-1)，得0,1

14、0分点一a a-1,解得1v a成时,f(x)max=f(3)= 6a + 3,6a + 3= 1,即a= ?满足题意；8分32a 11当一一2一 1,即a0, abv0,贝U f(a) + f(b)的值()【导学号：01772043】A.包大丁0B.包小丁0C.等丁0D.无法判断A A . f(x) = (m2 m- 1)x4m9 m5 1是籍函数,m2 m 1 = 1,解得m= 2或m= 1.当m=2时，指数4X29- 25- 1= 2 0150,满足题意.当m= 1时，指数4X (- 1)9-( 1)5- 1 = 40,a b,乂abv0,不妨设b一b0, f(a)f(-b)0,乂f(-

15、 b) = f(b), f(a) f(b),Af(a) + f(b) 0.应选A.2.设f(x)与g(x)是定义在同一区问a, b上的两个函数，假设函数y= f(x)g(x)在x a, b上有两个不同的零点，那么称f(x)和g(x)在a, b上是“关联函数，区问a, b称为“关联区间.假设f(x)= x2 3x+ 4与g(x)= 2x+ m在0,3上是“关 联函数，贝U m的取值范围为.(-9, 2 由题意知，y= f(x) g(x) = x2 5x+ 4- m在0,3上有两个不同 的零点.在同一直角坐标系下作出函数y= m与y= x2 5x+ 4(x 0,3)的图象如 图所示，结合图象可知，

16、当x 2,3时，y= x2 5x+ 44， 2故当m 9, 2时，函数y= m与y=x2 5x+ 4(x 0,3)的图象有两个交点.3.二次函数f(x) = ax2+ bx+ 1(a, b R R), x R R.(1)假设函数f(x)的最小值为f(1) = 0,求f(x)的解析式，并写出单调区间;(2)在(1)的条件下，f(x) x+ k在区间3, 1上包成立，试求k的范围.解(1)由题意知rb_dfi c 1,a 1,2a解得2分,., .b 2.f ( 1 )= a b + 1 0,所以f(x) = x2+ 2x+ 1,由f(x)= (x+ 1)2知，函数f(x)的单调递增区问为1, +

17、8),单调递减区间为(8 , 1.6分(2)由题意知，x + 2x + 1x+ k在区I可3, 1上包成立,即k0, b0,那么a, b的算术平均数为一厂，几何平均数为寸天，根本不等式可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.利用根本不等式求最值问题知识梳理知识梳理t a+ b1.根本不等式Vab0, b0.4等号成立的条件：当且仅当ab.2.几个重要的不等式a2+ b22ab(a, b R)；b a(2)- + 2(a, b同亏且不为岑)；a b啰2a2+ b2(a,b R).a, b R)；(3)ab0, y0, WJ(1)如果xy是定值p,那么当且仅当x= y时，x+ y

18、有最小值是2jp(简记： 积定和最小).2(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时，xy有最大值是*(简记： 和定 积最大).学情自测学情自测1.(思考辨析)判断以下结论的正误.(正确的打,错误的打“X)1(1)函数y=x+-的取小值是2.()x(2)函数f(x)= cos x+ cOSj? x Jo, 2最小值等丁4.()(3)x0, y0是x+y2的充要条件.( )y x、，1假设a0,那么a3+的最小值为2瞻.()a答案(1)X (2)x (3)X x2.假设a, b R,且ab0,那么以下不等式中，包成立的是()A. a2+ b22abB. a+ babD D . a2+ b2

19、2ab= (a- b)2 0, .A错误；对丁B, C,当a0, b0, . b23. (2021安徽合肥二模)假设a, b都是正数，那么J +己1 +曾j的最小值为()A. 7B.8C. 9D.10C . a, b都是正数，* + 艾)=5+ .+5+9,当且仅当b = 2a0时取等号，应选C.2 2-a ab bb b a a14.右函数f(x) = x+X2_(x2)在x= a处取取小值，贝U a等丁()【导学号：01772209】A. 1 +承B.1 + C. 3D.4C C 当x2时，x 20, f(x)= (x-2) + x12 + 22(x2x + 2 = 4,当且仅当x 2=(

20、x2)，即x= 3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x= 3, x 2即a = 3,选C.5. (教材改编)假设把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，那么矩形场地的最大面积是 洁.25设矩形的一边为x m,矩形场地的面积为y,1那么另一边为寸(20- 2x) = (10 x)m,那么y=x(10-x)v件_(厂2 = 25,当且仅当x= 10 x,即x= 5时，ymax=25.L ?照1_1_|利用根本不等式求最值1 2. .(1)(2021湖南局考)假设实数a, b满足指+&= 何，那么ab的最小值为()A. .2B.2C.22D.4(2)(2021郑州二次质量预测)正数x, y

21、满足x2+ 2xy 3 = 0,那么2x+ y的 最小值是.1 21 22一(1)C C(2 2)3 3 (1)由a+ -=何知a0, b0,所以 何=打+心捻,即ab 2迎明考向题型突破I析典例探求规律方法卜例1 2:a=b，皿4厂4t当且仅当2即a=扳，b = 2勺2时取“=，所以ab的最小侦+b=何,值为2 2.工23-X23 1板 cc 3 1 3x , 32由x +2xy-3= 0侍y=云一2X, WJ 2x+ y= 2x+云一x= y+云 2.琴2x = 3,当且仅当x= 1时，等号成立，所以2x+y的最小值为3.规律方法1.利用根本不等式求函数最值时，注意 “一正、二定、三相等，

22、 和定积最大，积定和最小.2.在求最值过程中假设不能直接使用根本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用根本不等式.变式训练1 12021湖北七市4月联考a0, b0,且2a+ b= 1,_ _ 2 1,.石不等式- +m包成立，那么m的取大值等丁a bA. 10B.9C. 812021湖南雅礼中学一模实数m, n满足m n0, m+ n= 1,那么扁+D.7(1)B B(2)- 42半+罕=4+羿堂+1=5+2言+b.)5+ 2X司.xa = 9,当且仅当a= b = 3时取等号.乂j+ 1 m,m0, m+ n= 1, . . m0, n8 Eb+b.B9

23、.【证明心b+ab=2?+1，. a+ b= 1, a0, b0, a+ b _ a b _ _亏=2+b+ a2+2 =4,3分.a+1+卜8当且仅当a=b=1时等号成立.5分法一 ：.a。,b0, a+ b= 1,. 1 + 1= 1+ = 2 +b，同理1+ 1 = 2 + a a a b b1 +1!；l1 + b j= 2+ 7 12 +=5+ 2* + 供5+4= 9, 10分a b. ：1 + a/1 + J A 9当且仅当a= b=1时等号成立.12分法二：b卜1 +1+b+a b a b ab,111由1知，-+z8, 10分a b ab故1 +1! + b1=1 +1+ b

24、+土9.12分ab a b ab规律方法1. 1的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用根本不等式 是代换的前提，不能盲目变形.2.利用根本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和式或积式，通过将“和式转化为“积式或将“积式转化为“和式，到达a0, b0, a+ b= 1,求证:1 1 a+ b a+ b=W+放缩的效果，必要时，也需要运用 “拆、拼、凑的技巧，同时应注意屡次运用 根本不等式时等号能否取到.11变式训练2设a, b均为正头数，求证：孑+史+ab2膛.【导学号：01772210证明由丁a, b均为正实数，所以a2+ 42、/综=盐3分I一，I 11一.一当且仅当决=安，即a

25、= b时等亏成立，一一，22乂因为泰+ab2、弥ab = R2, ab: ab，一，,2，一 .、当且仅当泰=ab时等亏成立，ab所以+ *+ab圣+ab2很，8分a b ab11序=己当且仅当ab,ab ，|臭熨3_|根本不等式的实际应用运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50 26皿即x= 18,10,等号成立.8分故当x= 18而千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2冲0元.12分规律方法1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用根本不等式求得函数的 最值.3.在求函数的最值时， 一定要在定义域

26、(使实际问题有意义的自变量的取值 范围)内求解.变式训练3某化工企业2021年年底投入100万元，购入一套污水处理设 备.该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一 年的维护费为2万元，由丁设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元).(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理 设备.那么该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备.解(1)由题意得，100+ 0.5x+ (2 + 4+ 6+ 2x)y=v，即y= x+ 100+ 1.5(x N N*).5分(2)

27、由根本不等式得：y= x+ 100+ 1.52人孚+1.5= 21.5, 8分x ; x当且仅当x=100,即x= 10时取等号.故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.12分当且仅当130X 18 2X 130X= 360 x，名师微博令思想与方法1.根本不等式具有将 “和式转化为“积式和将“积式转化为“和 式的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中， 还可以用丁求代数式的最 值或取值范围.如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式， 就可以直 接利用根本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解.a+ b、2.一 .一 一一aba, b R,当且仅当a= b时取

28、等亏.、一2 2 ,.2,-、/虫亍?号?Vab昌a0, b0,当且仅当a= b时取等号.1+1a b易错与防范1.使用根本不等式求最值，“一正 “二定 “三相等三个条件缺一不 可.2.“当且仅当a= b时等号成立的含义是“a= b是等号成立的充要条 件，这一点至关重要，无视它往往会导致解题错误.3.连续使用根本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.课时分层训练七二次函数与藉函数A组根底达标建议用时：30分钟一、选择题1.籍函数fx = k x的图象过点：，号J,那么k+ a=【导学号：01772040】B.1D.22.根本不等式的两个变形:a2+ b21AC C由籍函数的定义知k= 1.乂

29、f板)=平，所以品)=零，解得a=从而3、k+ a=22.函数f(x) = 2x2 mx+ 3,当x 2, + )时，f(x)是增函数，当x(8, -2时，f(x)是减函数，M f(1)的值为()A. -3B.13C.7 D.5B B函数f(x)= 2x2- mx+ 3图象的对称轴为直线x=?，由函数f(x)的增减区_. m间可知m= 2, 8,即f(x) = 2x2+ 8x+ 3, (1) = 2 + 8 + 3= 13.3.假设籍函数y= (m2 3m+ 3) xm2 m-2的图象不过原点，贝U m的取值是()A. -1m2B.m= 1或m= 2C. m= 2D.m= 1B B由籍函数性质

30、可知m2 3m+ 3= 1, .m= 2或m= 1.乂籍函数图象不过 原点， . .m2 m 20,即一1Vmbc且a+ b+c=0,那么它的图象可能 是()【导学号：01772041ABCDD D 由a+ b+ c= 0, abc知a0, c0,贝略0).假设f(x)在2,3上的最大值为4,最小值为1, WJ a =, b=.1 0因为函数f(x)的对称轴为x= 1,乂a0,-_、-f(2产1,所以f(x)在2,3上单调递增，所以 厂f(3户4,a 22-2a 2+ 1 + b= 1,a3 2a 3 + 1 + b=4,7.P = 2* , Q=修)，R= 2)，贝U P，Q，R的大小关系是

31、.【导学号：01772042!PRQ P = 2 - = E2J,根据函数y= x3是R R上的增函数且岑|,得修,3璀 !|匕即PRQJ8.函数f(x) = x2 2ax+ 5在(一 8,2上是减函数，且对任意的x，&e1, a+ 1,总有|f(x1)-f(x2)|2,那么f(1)f(a+ 1),从而|f(x)一f(x2)|max=f(1)_f(a) =a 2a + 1,2由a 2a+1 v4,解侍一1v av 3,乂a2,所以2va3.三、解答题9.籍函数f(x)= x(m2+ m)1(m N N*)经过点(2,也)，试确定m的值，并 求满足条或f- af(a-1)的实数a的取值范

32、围.解籍函数f(x)经过点(2,皿)，i/2= 2(m2+ m)1,即2= 2(m2+ m)1,m2 + m= 2,解得m= 1或m= 2.4分 乂.m N , . . m= 1.i f(x) = x那么函数的定义域为0, +8),并且在定义域上为增函数.f(x)max =f(3)= 15,.值域为卜W，15.5分. 2a 1对称轴为x = 7.2a 1当一1,即a-1时,f(x)max=f(3)= 6a + 3 ,6a + 3= 1,即a=，满足题意；8分32a 11当-2 1,即a f(a 1)，得 a 1 0, 10分, 一3解得K a0,假设a, b R,且aX1 X2+ b0, abv0,贝Uf(a) + f(b)的值()【导学号：01772043】A.