利用图形直观 引导解题思路

1、利用图形直观 引导解题思路摘  要图形能很好地呈现数学信息，能让隐藏的一些数学结论和数学思想显露出来，借助图形直观对引导解题思路有着积极的作用.关键词图形直观;解题思路;函数;数列中图分类号  G633.6    文献标识码  A    文章编号  1674-6058202120-0016-03一、图形直观的内涵和作用史宁中教授提出：“几何直观是借助于见到的或想象出来的几何图形的形象关系，对数学的研究对象空间形式或数量关系进行直接感知、

2、整体把握的能力.孔凡哲教授认为：“在中小学数学中，几何直观具体表现形式有四种，即实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观.从两位教授的观点可以看出，图形直观作为几何直观的一种形式，是一种利用图形研究数学对象的能力.它具有直接感知和整体把握的特点.图形直观是帮助解决数学问题的有效手段.数学问题中的很多条件往往是隐性的、片段性的，而图形直观那么恰恰是利用图形把条件显性地、连续地表达出来，进而使解题思路直观化.图形直观是利用图形进行数学的思考和想象，图形直观能力在本质上是一种通过图形所展开的想象能力.二、图形直观在引导解题思路中的应用1.图形直观在函数中的应用图像在函数中有着得天独厚的优势，因为

3、图像本身就是函数的表达方式，是最为直观的表达方式.例1函数fx=ax+bx，假设01，函数gx=fx-2有且只有1个零点，求ab的值.我们把解析分成两段.第一段：gx=fx-2=ax+bx-2，g'x=axlna+bxlnb=axlnbbax+lnalnb，由01可得ba>1，令g'x=0得x0=logba-lnalnb，x-，x0递减，xx0，+递增，gx的最小值为gx0.由g0=0，可知0是函数gx的零点.第二段：通过第一段的分析我们已经初步掌握了这个函数的一些信息和一些不确定的信息，整理如下.函数信息：g0=0，x-，x0递减，xx0，+递增，gx的最小值为gx0.

4、不确定的信息：函数的极小值点在哪里和0比？图像在除0以外的地方的零点有没有不清楚？根据的信息，再结合需要探索的信息，我们可以画出这样的三种函数草图如图1、图2、图3.图1x0=0情形   图2x0>0情形    图3x0图形直观帮助我们形成初步的感性结论：图1符合题意，而图2、图3那么不符合题意.结合这样的图形直观，我们得到如下的数学推理：1当x0=0时，解得ab=1，函数gx在-，0上递减，在0，+上递增，符合题意.2当x0>0时，在x-，x0递减，xx0，+递增，所以在x-，x0有一个零点0，gx00，根据零

5、点存在定理可得，在以x0和loga2为端点的正开区间内必然存在一个零点，所以这样gx就有两个不同的零点，不符合题意.3当x00，根据零点存在定理可得，在以x0和logb2為端点的负开区间内必然存在一个零点.这样，gx就有两个不同的零点，不符合题意.2.图形直观在数列中的应用数列是特殊的函数，图形直观在数列中的应用就显得水到渠成.例2数列an，bn都为等差数列，数列cn满足cn=an，n为奇数，bn，n为偶数，nN?.且对任意nN?，cn+1>cn恒成立.求证：数列an，bn的公差相等.分析：an=a1+n-1d1，bn=b1+n-1d2，cn+1>cn恒成立显示an，bn上的点交替

6、上升.信息：an，bn是关于n的一次函数，其图像是直线上的一系列点.cn+1>cn恒成立显示an，bn上的点交替上升.不确定的和需要探索的信息：d1，d2的大小关系未定.根据上面的信息，我们可以画出如下图形.图4d1=d2情形           图5d1上面的图形直观帮助我们初步得到如下结论：1图4是d1=d2情形，符合交替上升的题意.2图5是d1an+8，不符合交替上升的题意.d1>d2情形类似.说明：这里的图形是草图，图形绘制时需要结合我们的想象力，把尽可能多的情形绘

7、制出来.如图5中bn+7>an+8，说明在无穷远处某个区间必然会有这样的两个点，不符合交替上升的规律.借助这样的图形直观，我们有如下的数学推理.解：设数列an的公差为d1，数列bn的公差为d2.假设d1>d2，那么当n为奇数时，cn=an=a1+n-1d1，cn+1=bn+1=b1+nd2，那么当n>-a1+d1+b1d1-d2时，cn+1-cn=d2-d1n+b1+d1-a1即cn+1假设d2>d1，那么当n为偶数时，cn=bn=b1+n-1d2，cn+1=an+1=a1+nd1，那么当n>-b1-d2+a1d2-d1时，cn+1-cn=d1-d2n+a1+d2

8、-b1综上，d1=d2，原命题得证.3.图形直观在解析几何中的应用例3椭圆x25+y2b=1和直线y=kx+1kR总有公共点，那么b的取值范围为.分析：椭圆和直线都具有明显的图形特征，可用数形结合去试着解决问题.信息：x25+y2b=1与x轴的交点为5，0;y=kx+1kR过定点0，1.未知和需要探索的信息：y=kx+1kR的斜率可以任意变化.x25+y2b=1与y轴的交点为0，b，需要探求b的取值范围.根据上面的信息，可得出如下可能的图形.图60图815情形由图形直观我们可以知道：图6不符合题意，图7至图9符合题意，所以b的取值范围为b>1且b5.三、图形直观能力的培养认识论、逻辑学以

9、及心理学的研究都说明培养学生的数学图形直观能力有助于学生对数学知识的掌握和应用.那么如何培养学生的图形直观能力呢？1.善于利用图形描述数学问题利用图形描述数学问题，有助于学生对事物关系产生直接的感知与认识.史宁中教授认为，数学的结果是“看出来的而不是“证出来的.所谓“看是一种直觉判断，这种直觉判断建立在长期的有效能的观察和思考的根底上.例1中“函数gx=fx-2有且只有1个零点用图形描述为“函数图像与x轴只有一个公共点;例2中“cn+1>cn恒成立用图形描述为“an，bn上的点交替上升.这样的图形描述很直观.利用图形描述数学问题，正是为了让学生通过“看形成直觉判断.2.善于利用图形理解数

10、学问题数学问题一般都是以符号的形式给出的，要想解决数学问题，我们必须很好地理解数学问题.利用图形可以帮助我们更加直观而有效地理解题意.如上述问题“求证：数列an，bn的公差相等即“要想an，bn上的点总是交替上升，那么必然有d1=d2.于是我们联想到了d13.善于利用图形解决数学问题数形结合是直观与抽象、感知与想象的结合.图形在解决一些不需要写出逻辑推理过程的数学问题中具有非常独特的魅力.如上述中的“椭圆x25+y2b=1和直线y=kx+1kR总有公共点可以理解为“直线随便怎么画，都要和椭圆有公共点，所以定点0，1必须在椭圆内或在椭圆上.四、误区及反思正确的图形直观可以引导学生正确的解题思路，

11、错误的图形直观必然导致错误的引导.例如，在分析函数fx=xex的性质时，通过求导后发现函数在-，1上递增，在1，+上递减.图形直观表示如图10所示.图10               图11事实上，当x>0时，fx>0，上面的图像是有问题的.当x+， fx0+，借助数的分析我们把图像调整为图11所示.因为是直观，所以我们只关注一些主要信息，漏掉了一些次要信息，导致我们对图像的把握不准确，所以图形直观的精确度是值得关注的，不同

12、的问题要求图形的精确度也不同.倘假设上面的问题关注的是函数的最大值，那么图10的直观图就足够了.但如果是函数的零点问题，那么需要用图11的直观图.这就要求我们在作直观图时，搞清问题是什么，所以在使用图形直观去分析时，务必要力求图形准确，分类全面.  参  考  文  献  【1】 蒋海燕.中学数学核心素养培养方略M.济南：山东人民出版社，2021.责任编辑黄桂坚猜你喜欢数列解题思路函数亚纯函数的正规族与例外函数华东师范大学学报自然科学版(2021年1期)2021-03-16高中数学数列有效教学方式研究教师·下(2021年5期)2021-06-19运用“构造法，创新数学解题思路数学教学通讯·小学版(2021年3期)2021-04-22两大部类再生产最优平衡增长的形成路径经济数学(2021年1期)2021-04-08两种方法三条途径中学课程辅导·教师教育中(2021年2期)2021-03-24高中数学一道数列典型题解法的探究数学学