专题07函数的奇偶性与周期性--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型（解析版）

1、专题07函数的奇偶性和周期性-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力在学习函数基本性质的过程中，学生能理解数学知识之间的联系，建构知识框架，形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力。能够进一步提高数学运算能力，能有效借助运算方法解决实际问题，能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯，形成一丝不苟、严谨求实的科学精神，在此过程中提高逻辑推理和数学运算能力。二、教学建议教学中，要结合 等函数，了解函数奇偶性的概念、图象和性质，并能判断一些简单函数的奇偶性（对一般函数的奇偶性，不要做深入讨论）。函数各种性质的综合常常是命制高考数学试题的重要出发点和落脚点

2、，在复习函数性质时应注意到数形结合思想、分类讨论、由特殊到一般（由一般到特殊）等数学思想方法的灵活运用。三、自主梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则这个函数叫做奇函数关于原点对称偶函数设函数yg(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且g(x)g(x)，则这个函数叫做偶函数关于y轴对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如

3、果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.3.奇偶性常见结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|).(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.4.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a>0).(2)若f(xa)，则T2a(a>0).(3)若f(xa)，则T2a(a>0).5.对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)是

4、偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称.(3)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b，0)中心对称.四、真题感悟1.（2021新高考1卷） 已知函数是偶函数，则_.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.【详解】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：12.（2021全国乙卷理）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，定义域不关于原点对

5、称，不是奇函数；对于D，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B3.（2021全国甲卷理） 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案【详解】因为是奇函数，所以；因为是偶函数，所以令，由得：，由得：，因为，所以，令，由得：，所以思路一：从定义入手所以思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期所以故选：D4（2021浙江卷）. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，

6、结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.【详解】对于A，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，则，当时，与图象不符，排除C.故选：D.5.（2020山东8）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，所以当时，当时，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选D6.(2018全国卷)已知是定义域为的奇函数，满足若，则AB0C2D50【答案】C【解析】是定义域为的奇函数，且，是周期函数，且一个周期为4，

7、=，故选C五、高频考点+重点题型考点一、奇偶性的判定例1下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ）ABCD【答案】D【详解】对于A，定义域为，不关于原点对称，所以不具奇偶性，故A错误；对于B，因为，所以为非奇非偶函数，故B错误；对于C，因为，所以不是增函数，故C错误；对于D，定义域为，因为，所以是奇函数，令为增函数，也是增函数，所以是增函数.故D正确.故选：D.对点训练1.（2021·四川成都市·石室中学高二期中（理）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD答案：D解：的定义域为关于原点对称，且，为上的奇函数，又，而，当且仅当，即时等号成立，故恒成立

8、，故为上的增函数，不等式对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，当时，不等式恒成立，当时，则 ，解得：，综上所述：.故选：D.对点训练2.【2020年高考浙江】函数y=xcos x+sin x在区间，上的图象可能是【答案】A【解析】因为，则，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；且时，据此可知选项B错误，故选A。对点训练3.(2021·湖北省丹江口市一中模拟)设f(x)exex，g(x)exex，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是()A|g(x)|是偶函数 Bf(x)g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是偶函数

9、Df(x)g(x)是奇函数【答案】D【解析】f(x)exexf(x)，f(x)为偶函数g(x)exexg(x)，g(x)为奇函数|g(x)|g(x)|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)g(x)2ex，f(x)g(x)2ex(f(x)g(x)，且f(x)g(x)2exf(x)g(x)，所以f(x)g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D.4.【2020·全国卷】设函数，则f(x)A是偶函数，且

10、在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增 D是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确。总结：判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再化简解析式后验证f(x)±f(x)或其等价形式f(x)±f(x)0是否成立(2)图象法：f(x)的图像关于原点对称，f(x)为奇函数；f(x)的图像关于y轴对

11、称，f(x)为偶函数。(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇×奇偶，偶偶偶，偶×偶偶，奇×偶奇考点二、利用奇偶性求解析式例2.（1）(2019·全国卷)设f (x)为奇函数，且当x0时，f (x)ex1，则当x<0时，f (x)()Aex1 Bex1 Cex1 Dex1（2）（2019·北京高考真题（理）设函数f（x）=ex+aex（a为常数）若f（x）为奇函数，则f（x）=_【答案】（1）D（2）ex+ex; 【解析】（1）当x<0时，x>0.因为当x0时，f (x)

12、ex1，所以 f (x)ex1. 又因为 f (x)为奇函数，所以f (x)f (x)ex1. （2）若函数为奇函数,则，对任意的恒成立，a=-1.对点训练1.设为定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】D【详解】为定义在上的奇函数，因为当时，所以，故，在，上单调递增，根据奇函数的性质可知在上单调递增，因为，所以，由不等式可得，解可得，故解集为故选：对点训练2设奇函数在上为增函数，且（1），则不等式的解集为A，B，C，D，【答案】【解析】由奇函数可知，即与异号，而（1），则（1），又在上为增函数，则奇函数在上也为增函数，当时，（1），得，满足；当时，（1），

13、得，不满足，舍去；当时，得，满足；当时，得，不满足，舍去；所以的取值范围是或故选：总结：与函数奇偶性有关的求解析式、求函数值、求参数值等问题及解题策略(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数f(x)f(x)，f(x)为偶函数f(x)f(x)，列式求解，也可利用特殊值法求解对于在x0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)0求解考点三、利用奇偶性

14、画函数图像例3. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x25x，则不等式f(x1)>f(x)的解集为_【答案】 (2，3)在同一坐标系中分别作出函数yf(x)与yf(x1)的图象(将函数yf(x)的图象向右平移一个单位长度得到yf(x1)的图象)，根据对称性可得，两个函数分别交于点(2，6)，(3，6)，由图象可得f(x1)>f(x)的解集为(2，3).对点训练1（2019·全国高考真题（理）函数在的图像大致为ABCD答案：B【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C又排除选项D；，排除选项A，故选B对点训练2（2021

15、3;安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理）若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）ABCD答案：C【详解】方法一、因为，所以或，因为在上单调递增，且，所以，因为在上为奇函数，所以在上单调递增，且，因此，综上：不等式的解集为.故选：C.方法二、画出f(x1)图像，即可解决问题考点四、周期性判定与作用例4（1）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且当x(2，4)时，f(x)x33x，则f(2 021)等于()A. 2 B. 18 C. 18 D. 2（2）设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x0，1时，f(x)log2(x1)，则当x1，2时，

16、f(x)_【答案】（1） B （2）log2(3x).【解析】（1） 因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x)是周期为4的函数，所以f(2 021)f(505×41)f(1)f(3)，因为f(x)是奇函数，且当x(2，4)时，f(x)x33x，所以f(3)f(3)(333×3)18，故f(2 021)18.（2）当x1，2时，x21，0，2x0，1，又f(x)在R上是以2为周期的偶函数，所以f(x)f(x2)f(2x)log2(2x1)log2(3x).对点训练1.已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，则函数的零点个数是（ ）A2B3C4D5【答案】A【详解】，则

17、函数是周期的周期函数又函数是定义在上的偶函数，且时，当时，令，则函数的零点个数即为函数和的图象交点个数，分别作出函数和的图象，如下图，显然与在上有1个交点，在上有一个交点，当时，而，所以或时，与无交点综上，函数和的图象交点个数为2，即函数的零点个数是2故选：A对点训练2.已知定义域为的函数满足：图象关于原点对称；当时，.若，则（ ）AB1CD2【解析】由可知函数为奇函数，又，故，即函数的周期为3，解得.故选：B.对点训练3（2021·江苏南通市·高三一模）已知是定义在上的函数，且对任意的，都有，若，则（ ）A2020B3C2D14D【详解】因为对任意的，都有，所以，即.又对

18、任意的，所以，即，所以，即，所以，从而是周期为1的周期函数.又，所以.故选：D总结：1.求解与函数的周期性有关的问题，一定注意周期性的功能，是把远离原点的函数相关性质转化到原点附近研究2.周期性的判定：（1）通过递推关系式判断，（2）如果发现一个函数的图象具有两个对称性，那么这个函数一定具有周期性考点五、函数的奇偶性、周期性、单调性综合应用例5（1）定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，且f(x)f(x6)，当x0，3时，f(x)单调递增，则f(x)在下列哪个区间上单调递减()A3，7B4，5C5，8D6，10（2）已知函数f(x)ex1ex1，则下列说法正确的是()A函数f(x)的最

19、小正周期是1B函数f(x)是单调递减函数C函数f(x)的图象关于直线x1轴对称D函数f(x)的图象关于(1，0)中心对称答案（1）B （2）D解析（1）依题意知，f(x)是偶函数，且是以6为周期的周期函数因为当x0，3时，f(x)单调递增，所以f(x)在3，0上单调递减根据函数周期性知，函数f(x)在3，6上单调递减又因为4，53，6，所以函数f(x)在4，5上单调递减（2）函数f(x)ex1ex1，即f(x)ex1，可令tex1，即有yt，由yt在t0单调递增，tex1在R上单调递增，可得函数f(x)在R上为增函数，则A，B均错误；由f(2x)e1xex1，可得f(x)f(2x)0，即有f(

20、x)的图象关于点(1，0)对称，则C错误，D正确故选D对点训练1（多选题）（2020·全国高考真题（理）关于函数f（x）=有如下四个命题：A、f（x）的图象关于y轴对称 B、f（x）的图象关于原点对称C、f（x）的图象关于直线x=对称 D、f（x）的最小值为2其中所有真命题的是（ ）答案：BC【详解】对于命题A，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题错误；对于命题B，函数的定义域为，定义域关于原点对称，所以，函数的图象关于原点对称，命题正确；对于命题C，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题正确；对于命题D，当时，则，命题D错误.故答案为：BC对点训练2.函数的部分图象大致为（ ）A

21、BCD【答案】A【详解】根据题意，必有，则有，在区间上，有，排除C，在区间上，排除BD.故选：A.对点训练3.(2021·河北模拟)定义在R上的偶函数f (x)满足f (x2)f (x)，且在1,0上单调递减设af (2.8)，bf (1.6)，cf (0.5)，则a，b，c的大小关系是()Aa>b>cBc>a>bCb>c>aDa>c>b【答案】D【解析】因为偶函数f (x)满足f (x2)f (x)，所以函数f (x)的周期为2.所以af (2.8)f (0.8)，bf (1.6)f (0.4)f (0.4)，c f (0.5)f (

22、0.5)因为0.8<0.5<0.4，且函数f (x)在1,0上单调递减，所以a>c>b.故选D总结：函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性。(2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解。(3)单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解。巩固训练一、单项选择题1下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A y Byx Cy2x

23、Dyxex答案：D解析：令f(x)xex，则f(1)1e，f(1)1e1，即f(1)f(1)，f(1)f(1)，所以yxex既不是奇函数也不是偶函数，而，依次是偶函数、奇函数、偶函数2若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4) 的值是（ ） A. B. C. D. 答案：A解析：由f(x)是R上周期为5的奇函数知f(3)f(2)f(2)2，f(4)f(1)f(1)1，f(3)f(4)13已知f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，那么ab的值是（ ） A. B. C. D. 答案：B解析：依题意b0，且2a(a1)，a，则ab4已知f(x)是奇函

24、数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于_答案：3解析：由已知可得，f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，两式相加解得，g(1)35已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是（ ）Af(x)是偶函数，递增区间是(0，) Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1) Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)答案：C解析：将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)画出函数f(x)的图像，如图，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减6设定义在R上的函数f(x)满足

25、f(x)·f(x2)13，若f(1)2，则f(99)_ A. B. C. D. 答案： D解析： 由f(x)·f(x2)13得f(x2)，f(x4)f(x2)2f(x)f(x)是以4为周期的周期函数f(99)f(25×41)f(1)二、多项选择题7已知定义在R上的函数yf(x)满足条件ff(x)，且函数yf为奇函数，则以下结论正确的是（ ）A函数f(x)是周期函数； B函数f(x)的图象关于点对称；C函数f(x)为R上的偶函数； D函数f(x)为R上的单调函数答案： ABC8已知f (x)是定义域为R的奇函数，且函数f (x2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A函数yf(x)的图象关于直线x1对称 Bf(4)0Cf(x8)f(x) D若f(5)1，则f(2019)1答案BCD解析根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(x)f(x)，又由函数f(x2)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x2对称，则有f(x)f(4x)，则有