C语言_用六种方法求定积分

1、C语言实验报告求定积分班级10信息与计算科学一班戴良伟学号 20107502211.描述问题, 梯形公式， simps on利用左矩形公式，中矩形公式，右矩形公式 公式，Gauss积分公式求解定积分。2.分析问题2.1定积分21.1定积分的定义定积分就是求函数f x在区间a,b中图线下包围的面积。即y 0,x a, x b, yx所包围的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边梯形。如下图:(图1)设一元函数y f x ,在区间a,b有定义。将区间a,b分成n个小区间a,Xo , xo,% ,为公2 . Xj,b。设 x Xi x 1，取区间 Xi中曲线上任意一点 记做f i，作和式：nlim

2、f i xini 1若记入为这些小区间中的最长者。当0时，若此和式的极限存在，则称这个和式是函数f x 在区间a,b上的定积分。记作： f x dxa其中称a为积分下限，b为积分上限，f x为被积函数，f x dx为被 积式，/为积分号。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。21.2定积分的几何意义 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线 x=a，x=b之间的各个部分 面积的代数和。在 x轴上方的面积取正号；在 x轴下方的面积取负号。如 图2.2言实现定积分计算的算法22.1利用复合梯形公式实现定积分的计算假设被积函数为f x，积分区间为a,b，把

3、区间a,b等分成n个小区间， 各个区间的长度为h，即h ba/n，称之为“步长”。根据定积分的定义及几 何意义，定积分就是求函数f x在区间a,b中图线下包围的面积。将积分区间n等分，各子区间的面积近似等于梯形的面积，面积的计算运用梯形公 式求解，再累加各区间的面积，所得的和近似等于被积函数的积分值，n越大，所得结果越精确。以上就是利用复合梯形公式实现定积分的计算的算法思 想。复合梯形公式：n 1Tn - f a 2 f Xi f b 22i i具体算法如下：算法一1:输入积分区间的端点值 a和b ；2:输入区间的等分个数n （要求n尽可能大，以保证程序运行结果有较高的精确度）；3:计算步长h

4、 b a / n ；4:对累加和赋初值Tfa fb / 2 ；5:计算累加和n 1T f xii 16:算出积分值Tn T h ；7:输出积分近似值Tn，完毕。利用Smpson公式实现定积分的计算假设被积函数为f x，积分区间为a,b，把区间a,b等分成n个小区间， 各个区间的长度为h。在复合梯形公式的基础上，构造出一种加速计算积分的方 法。作为一种外推算法，它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。具体算法如下：算法二1 ：输入积分上限b和下限a；2:输入区间的等分个数n （要求n尽可能大，以保证程序运行结果有较高的精确度）；3:利用辛甫生公式：S n 4 T 2n T n /32，实现对定

5、积分的求解（其中 T 2n , T n均为梯形公式计算所得的结果，由此可见辛甫生公式是以梯形公式 为基础的）；4：算出积分值Sn ；5:输出积分近似值Sn，完毕。123利用Guass公式实现定积分计算Guass型求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。他是通过让节点和 积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2.n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。通常运用的是-1-+1的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换x=(b-a)t/2 +(a+b)/2 变换到-1至U 1之间积分。算法三1 ：输入积分上限b和下限a;2：

6、利用Guass公式，求定积分4:算出积分值Sn ；5:输出积分近似值Sn，完毕。3. 程序的编写3.1程序一(左矩形公式)源程序#i nclude<stdio.h>#in clude<math.h>void mai n()double f(double x);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/int i,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/double a,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/prin tf("积分下限 a:n");sca nf("%lf",&a);prin tf("

7、积分上限 b:n");sca nf("%lf",&b);printf(" 区间等分个数n :n");sca nf("%d",&n);h=(b-a)/n; /* 步长的计算*/ s=f(a)*h;for(i=1;i <n ;i+)s=s+f(a+i*h)*h;printf("函数 f(x)的积分值为 s=%10.6fn",s);/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/double f(double x)double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);程序一的编译运行

8、被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x) 的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.2程序二(中矩形公式)源程序#i nclude<stdio.h>#in clude<math.h>void mai n()double f(double x);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/int i,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/double a,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/prin tf("积分下限 a:n");sca nf("%lf",&a

9、);prin tf("积分上限 b:n");sca nf("%lf",&b);printf("区间等分个数n :n");sca nf("%d",&n);h=(b-a)/n; /*步长的计算*/s=0.5*(f(a)+f(a+h)*h;for(i=1;i <n ;i+)s=s+0.5*(f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h)*h;printf("函数 f(x)的积分值为 s=%10.6fn",s);/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/double f(double x

10、)double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);程序二的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x) 的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.3程序三(右矩形公式)331源程序#i nclude<stdio.h>#in clude<math.h>void mai n()double f(double x);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/int i,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/double a,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/prin tf("

11、;积分下限 a:n");sca nf("%lf",&a);prin tf("积分上限 b:n");sca nf("%lf",&b);printf("区间等分个数n :n");sca nf("%d",&n);h=(b-a)/n; /*步长的计算*/s=f(a+h)*h;for(i=1;i< n-1;i+)s=s+f(a+(i+1*h)*h;printf("函数 f(x)的积分值为 s=%10.6fn",s);/*以下为被积函数的定义，即函

12、数举例*/double f(double x)double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);332程序三的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x) 的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.4程序四(梯形公式)源程序#i nclude<stdio.h>#in clude<math.h>void mai n()double f(double x);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/int i,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/double a,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上

13、限，h为步长*/prin tf("积分下限 a:n");sca nf("%lf",&a);prin tf("积分上限 b:n");sca nf("%lf",&b);printf("区间等分个数n :n");sca nf("%d",&n);h=(b-a)/n; /*步长的计算*/s=0.5*(f(a)+f(a+h)*h;for(i=1;i <n ;i+)s=s+0.5*(f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h)*h;printf("函数

14、 f(x)的积分值为 s=%10.6fn",s);/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/double f(double x)double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);342程序四的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x) 的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.5程序五(Simpson公式)源程序#i nclude<stdio.h>#in clude<math.h>void mai n()double T(double x,double y,i nt z);double a,

15、b,s;int n;prin tf("积分下限 a:n");sca nf("%lf",&a);prin tf("积分上限 b:n");sca nf("%lf",&b);printf("区间等分个数n :n");sca nf("%d",&n);s=(4*T(a,b,2* n)-T(a,b, n) )/3;/*利用辛甫生公式求解定积分*/printf("函数 f(x)的积分值为 s=%fn",s);/*以下为复合梯形公式的定义*/dou

16、ble T(double x,double y,i nt z)double h,T n;int i;double f(double t);h=(y-x)/z;Tn=(f(x)+f(y)/2;for(i=1;i<z;i+)Tn=T n+f(x+i*h);Tn=Tn *h;return (Tn);/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/double f(double t)double s;s=sqrt(4-t*t);return (s);程序四的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x) 的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.6程序六

17、（Guass公式）源程序#i nclude <stdio.h> #in elude <math.h>#defi ne N 3 float gassn tegral(float (*)(float),float,float,i nt);void mai n()float fun cti on_n ame(float);float a,b;printf(”请输入积分上限bn");sca nf("%f",&b);printf(”请输入积分下限an");sca nf("%f", &a);float an

18、s;an s=gassn tegral(fu nctio n_n ame,a,b,N);prin tf("a ns=%f",a ns);/高斯求积：代数精度为2n-1. -1-+1 之间(*fun c)(floatx), float a,float其 求丈 积系数列 表float gassn tegral(float b ,int n )/ 高斯点 及floatx11=0.0;float A11=2;floatx22=-0.5573503,0.5573503;float A22=1,1;floatx3 3=-0.7745967,0.0,0.7745967;float A3 3=0.555556,0.888889,0.555556;floatx44=0.3399810,-0.3399810,0.8611363,-0.8611363;floatA44=0.6521452,0.6521452,0.3478548,0.3478548;floatx55=0.0,0.5384693,-0.5384693,0.9061799,-0.9061799; floatA55=0.5688889,0.4786287,0.4786287,0.2369269,0.23692