微分方程的简单总结

1、、一阶线性方程dy1、定义方程 dx特点：关于未知函数Q(x) 0 ,称(1)2、解法当 Q(x)当 Q(x)微分方程的简单总结P (x) yQ (x)姜秋学号:PB08207234(1)称为一阶线性微分方程.y及其导数为非齐次的.y' 2xy 2xex2y'是一次的.假设0时,方程(1)为可别离变量的微分方程.Q(x)2yx 10时,先求其齐次方程的解再用常数变易法求其通解.烹P(x)y 0称为对应于(1)的齐次微分方程,其解为:利用常数变易法,用u(x)代替C ,即y u(x)eP(x)dxP(x)dxP(x)dx(Q(x)e dx C).二、Bernoulli方程1、定义

2、分方程.dydxP(x)yQ(x)ynnn dy:y &2、解法两边同除y得1令z ydzn,那么有dx故得通解(n0,1)称为贝努里方程.当y eP(x)y1 n(1 n)y nQ(x)dydx为一阶线性微分方程,故1 n dx-J d P(x)z Q(x)(xdz(1 n)P(x)z (1 n)Q(x) dx,称(1)为齐次的；假设51)°P(x)dxy Cen 0,1时,为一阶线性微(1 n)P(x)dx(1 n)P(x)dxz e( (1 n)Q(x)edx C)on1 n贝努里方程的解题步骤：(1)两端同除(1 n)y ； (2)代换z y ；(3) 解关于z的线性

3、微分方程；(4)复原3.利用变量代换解微分方程例解方程xyyy(ln xIn y)解令xy u,那么dudxydyxdx,于是duuy ln uln udxx解得Cxu e ,即xyCx e三二阶微分方程(一)：可降阶的二阶微分方程1： y''=f(x)两次积分后就可以得到含两个独立任意常数(C1,C2)的微 分方程的通解2:解y''=f(x,y')类方程可通过假设y'=p得y=dp/dx,代入到原方程得 dp/dx二f(x,p)化为一阶微分方程从而可求其通解.3： y''=f(y,y')令 y'=p,y'

4、'=p*(dp/dy)化为一阶微分方程 p*(dp/dy)=f(y,p), 之后再按一阶微分方程方法求通解.(二)：二阶非齐次线性微分方程形如：y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)二阶非齐次线性常系数微分方程的通解y=y1+y*(y1是对应齐次方程的通解,y*是非齐次方程的一个特解)形如y''+p(x)y '+q(x)y=0为二阶齐次线性常系数微分方程求二阶齐次线性常系数微分方程的通解的步骤：1)写出特征方程r2+pr+q=02) 求出特征根3) 按下表得出微分方程的通解特征方程r2+p叶q=0微分方程y''+py&

5、#39;+qy=0通解两个不等的根r1工r2y=c 1er1x+c2er2x两个相等的根r仁r2y=(c 1+C2x)er1x一对共轭复根r1,2= a± i Beageos B x+csin B x)二阶非齐次线性常系数微分方程形如y''+py '+qy=f(x)(p,q是常数)1) 先根据上面的方法解出对应的二阶齐次线性常系数微分方程的通解2) 下面设特解有两种方法(1)分别对各种情况进行假设(2)对各种情况的通用的设法(1). 1.f(x)=P m(x)e入即多项式与e打 混常数) 加是特征根,那么设y*=Qm(x)e "即m等于0 ；是单重特

6、征根,那么设y*=xQm(x)e入狠卩m等于1 ？是双重特征根,那么设y*=x2Qm(x)e "即m等于2特例:当入等于0时,f(x)=Pm(x)e “化为f(x)=Pm(x),设入为m重特征根那么特解为 y=xmQm(x),其中Qm(x)与Pm(x)的次数相同. 当Pm(x)为常数A时,f(x)=P m(x)e入化为f(x)=Ae入；设特解为y*=Bxme入(k是入与特征根相同的个数,不是特征根m=0,有一个特征根与 入相 同时m=1,有两个相同时m=2).A和B都为常数.2.f(x)=e Xx (Acos x+Bsin w x)设方程的特解为 y*=xm(acos 3 x+bsin 3 x) a,b是待求的常数,m是整数.当入+3不是特征根r时,m=0,当入+3是特征根r时,m=1(2)：先将等式右边表示为等价的形如 ea *cos B x+sin 表达式,找到对应的a , a,b(a,b是cos JxX口 sin J前面表达式的系数,其中常数的次数是零).其次计算 u= a +i J,的值是u与乃和 尼的值相等的