定义域和值域的逆向问题1

1、定义域和值域的逆向问题定义域和值域的逆向问题,是数学中的常见问题, 解决好此类问题,可以锻炼同学们的逆向思维水平,因此要重视此类问题的解决.一、定义域求值域合+ bx例1求定义域在-1 , 1 上的函数y(a . b 0)的值域.a _ bx、2 a解：函数式变形为 y - _1,显然y工-1a bx由原函数表达式可得a( y -1)x 二b(y - 1)得 a(y -1) <1 ,b(y 1)a亠b< ,a - b即此函数的值域为,丄一.|-a b a - b注：此法是把函数式视为关于x的方程,解出x,再运用的定义域,解关于 y的不等式求得值域.、值域求定义域2 x 1例2 函数

2、y的值域是 y I y乞0或y _ 3,求此函数的定义域.x -12 x 11解：由<0,解得 < x ：1.x -122 x 一 1 由3,解得1 ：: x冬2.x -1此函数的定义域为注：此题直接由函数值域得出表达式的不等式,进而求得定义域,同时还可以利用反比例函数图象直 观地得出结论,同学们不妨试一试.三、定义域求解参数问题例3 函数f(x)=j(a2 1)x2 +(a1)x+J 的定义域为 R,求实数a的取值范围.a +12解：由题意知 x R时,(a - 1)' (a -1) x0恒成立.a +1(1 ) 当a =0且a,1=0时,有 a=1 , 此时 f(x)=

3、1, 显然对x R时,22(a21) x- ( a_1)x0恒成立.a +1< 2a .1.0(2)当 a2一1 = 0时,有2解不等式组得1 c a兰9.22厶= (a1) _4(a 1).0a +1综上知,当x .二R时,使得f(x)有意义的a的取值范围是1, 9.注：此问题转化为不等式恒成立问题,但要注意二次函数的二次项系数为字母时的分类讨论.四、值域求解参数问题22 x + ax + b例4 函数y二2的值域为1, 3,求a、b的值.x +1解：由题意知X R,把原函数变形为(y _2)x2 _ax y _b =o当y 一2=：0时,满足题意当 y -2=0 时,因 x 三 R,

4、所以.'： - a - 4 ( y - 2)( y - b)二0,即 4 y - 4(b 2) y 8< 0.因1乞y乞3 ,所以1和3是方程4y2 4(b 2) y 8b a2 = o的两个实根,由韦达定理解得 a =2, b = 2.注：解决此问题的关键在于把求值域的问题和解一元二次不等式的问题联系起来,最后通过比拟同解不等式的系数,列方程求出参数的值.五、定义域和值域求解参数问题例 5 二次函数 f ( x) = ax 2 bx c(a = 0)满足条件 f ( -x 5) = f (x - 3) , f (2) = 0 ,且方程f(x)二x有两个相等实根.问是否存在实数m

5、、n(m : n),使得f(x)的定义域为3m, 3n.如果存在,求出 m、n的值；如果不存在,请说明理由.解：因f( _x 5) = f (x _3),所以函数f (x)的图象的对称轴为直线m, n时,值域为5-3bx=1,可得122 a由 f (2) = 0,得 4a 2b c = 0因方程f (x) = x有两个相等实根,2 2即ax - (b -1)x c = 0有相等实根,所以厶=(b -1) -4ac = 0将代入,得c =0.由知,b=1,所以a二22那么 f(x)二-x2 - x1 2 1 1 (X - 1)2 2 211所以3n .,即n上一.26f (x)在m, n上单调递

6、增,假设存在满足条件的m、n,那么 1 2 f(m)=_ m +m=3m* 21 2f(n) = _n +n =3n2m = 0 或4解得丿n = 0 或41又m ： n ",贝U m=-4, n=0,即存在 m=-4, n=0满足条件.6注：解决定义域和值域共存问题时,不要盲目进行分类讨论,而应从条件出发,分析和探讨出解决问 题的途径,确定函数的单调性,从而使问题得以解决.练一练：1. 求以下函数的值域：52 x 1 y = 2: y: y=x 2._1x2 .2x _4x +33x 22. 求函数y = x -x(x _ 0)的最大值.答案：1. y e(0,5所以0 ：:2( x12-1) -1乞1,可得0 :522( x -1)(提示：52y2,而 2(x -1) 1 _1 ,2(x -1)+1另外,原函数变形为 2yx2_4yx,3y_5=0,因R ,所以厶=(_4y)2 _42y(3y _5) _0 ,2即 y 5y _ 0,0 _ y _ 5 且 y = 0 ) J y I yR 且 y >J3'2 772(提示：y = +,而丰0,所以、丰一)3 3(3x 2)3(3x 2)3(提示：因 y - _( .1 _x _1)2 4,所以(一: ,4.另外,令t.1 _x (t_0),那