第八节 常系数非齐次线性微分方程

1、1第八节第八节 常系数常系数非齐次非齐次 线性微分方程线性微分方程小结小结 思考题思考题 作业作业xxPexflx cos)()( 型型)()(xPexfmx 型型sin)(xxPn 非齐次非齐次第七章第七章 微分方程微分方程2方程方程对应对应齐次齐次方程方程0 qyypy通解结构通解结构),(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm Yy)(xf难点难点方法方法二阶二阶常系数常系数非齐次非齐次线性线性的的类类型型)(xf y yY次次多多项项式式是是mxPm)( qyypy二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程型型一、一、)()(xPexf

2、mx 如何求如何求非齐次非齐次方程特解？方程特解？待定系数法待定系数法.3设非齐方程特解为设非齐方程特解为)(xQy 求导代入原方程求导代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根不是特征方程的根若若 )1(可可设设是特征方程的单根是特征方程的单根若若 )2( )(xQ可可设设xmexxQy )( xmexQy )( xe )(xQm)(xQ )(xQmx)(xQxmexPqyypy )( m0 )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 0 0 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程4是特征方程的重根是特征方程的重根若若 )3(

3、 )(xQ可可设设综上讨论综上讨论, )(xQexymxk 设设 kxmexQxy )(2 注注)(xQm2x)(xPeqyypymx )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 1020 0 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程微分方程(k是重根次数是重根次数).不是根不是根是单根是单根是重根是重根二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程5.232的通解的通解求方程求方程xexyyy 解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程0232 rr特征根特征根2121 rr，xxeCeCY221 是单根，是单根，2 y设设

4、例例(1) 求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解(2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解此题此题.)()(2型型属属于于xmxexPxexf 其中其中, 1 m2 )(BAx 1xxe2?二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程6代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解为原方程通解为 xxeCeC221.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy xeBAxxy2)( yyy,将将 yYyxexx2)121( 对应对应齐次齐次方程通解方程通解xxeCeCY221 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分

5、方程7.323的通解的通解求方程求方程xeyyy 解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程0322 rr特征根特征根1321 rr，xxeCeCY231 (1) 求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解此题此题.)()(3型型属属于于xmxexPexf 其中其中, 0 m. 3 )3(是是单单根根 (2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解 y设设1992年考研数学一年考研数学一, 6分分xxAe3 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程8代入方程代入方程, yyy,将将.323的通解的通解求方程求方程xeyyy ,41 Axxey341 原方程通解为原方程通解

6、为 yYyxxeCeC231 xxe341 xxAey3 设设对应对应齐次齐次方程通解方程通解xxeCeCY231 得得二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程9( ) ( )cos( )sinxnlf xeP xxP xx二、型sincos)(xPxPexfnlx 2xixilxeePe xinleiPP)()22( xiexP)()( ,)()(xiexPqyypy 设设ximkeQxy)(1 欧拉公式欧拉公式2ieePxixin xinleiPP)()22( xiexP)()( 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程10是单根是单根 i,)()(xiex

7、Pqyypy 设设ximkeQxy)(2 ysin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 是是其其中中)(),()2()1(xRxRmm nlm,max kximximxkeQeQex 欧拉公式欧拉公式 )sin(cosxixQexmxk )sin(cosxixQm 型型sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx 不不是是根根 i 01,次多项式次多项式m注注 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次阶常系数非齐次线性微分方程线性微分方程.二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程11.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解xCxCYsincos2

8、1 例例(1) 求求对应对应齐次齐次方程方程 0 yy012 r特征根特征根ir 其通解其通解这是二阶常系数非齐次线性方程这是二阶常系数非齐次线性方程.且且 .sin)(cos)()(型型属于属于xxPxxPexfnlx , 0( 其中其中特征方程特征方程, 1 , 0)( xPl)4)( xPn0 014的通解的通解二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程12xCxCysincos21 (2) 求求非非齐次齐次方程方程 xyysin4 i故设故设代入方程代入方程,比较系数比较系数.得得xxycos2 这里这里i 0Asin x?1 yxxxcos2 , 0 1 特征根特征根i

9、r 非齐次方程特解为非齐次方程特解为是特征根是特征根.原方程通解为原方程通解为B xcos 的特解的特解.二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程13 1989年考研数学二年考研数学二, 7分分 xttftxxxf0,d)()(sin)(设设解解 )(xf xcos xttfx0d)(cos两端再对两端再对x求导求导,得得 )(xf积分方程积分方程 微分方程微分方程 xttftxxxf0d)()(sin)( x积分方程积分方程 xcos xtttf0d)( x()(xxf xttf0d)()(xxf ) xttfx0d)(即即xxfxfsin)()( 即即xyysin 这是二阶

10、常系数非齐次线性方程这是二阶常系数非齐次线性方程.)(sinxfx 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程其中其中 f 为连续函数为连续函数,求求f (x).14即即xxfxfsin)()( 即即xyysin .)(为为未未知知函函数数其其中中xfy 初始条件初始条件, 0)0( f得得又由又由,d)(cos)(0 xttfxxf初始条件初始条件, 1)0( f .sin)(cos)(型型自由项属于自由项属于xxPxxPenlx , 0( 其中其中, 1 , 0)( xPl)1)( xPn001 11000; 0)0( y即即000. 1)0( y即即 xttftxxxf0,

11、d)()(sin)(设设,为为连连续续函函数数其其中中f).(xf求求二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程得得由由 xttftxxxf0,d)()(sin)(15.sincos21xCxCY 其通解其通解(1)对应对应齐次齐次方程方程0 yy012 r特征方程特征方程特征根特征根ir xyysin ii 0(2)设原方程的特解为设原方程的特解为 xAcossin xB yx0,21 BA 解得解得xxycos21 则则方程的通解为方程的通解为xCxCysincos21 xxcos21 由初始条件由初始条件,得得21, 021 CC所以所以, 0( , 1 , 0)( xPl)1)( xPn初始条件初始条件, 0)0( y. 1)0( y二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程是特征根是特征根.cos2sin21)(xxxxfy 16三、小结三、小结)()()1(xPexfmx )(xQexymxk sin)(cos)()()2(xx