历年导数压轴题目

1、证题中常用的不等式In x历年导数压轴经典题目x 1 (x 0)x x+1 Wln(x+1) x (x 1)1Lx1)In xx1h(x 0)1 >eAx (1-x)1.函数f (x)1x332axbx,且 f'( 1) 0(i)试用含a的代数式表示b,并求f(x)的单调区间;M (Xi, f (xi) ),N( X2, f(X2),(2)令a1,设函数f (x)在x1,x2(x1 x2)处取得极值,记点P(m, f (m), x-i m x2,请仔细观察曲线f (x)在点p处的切线与线段 mp的位置变化趋势,并解释 以下问题：(I)假设对任意的m (t, x 2 ),线段MP与

2、曲线f(x)均有异于M,P的公共点,试确定t的最小值,并证实你的结论;(II )假设存在点Q(n ,f(n), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点,请直接写出m的取值范围(不必给岀求解过程)2.本小题总分值14分)函数f(x) = *(a2 -+ 2axe 0.hx.X(.v) = cln(-A)+ /j,且x二-Vs是函数厂/的极值点.(I)求实数冏的值；(n)假设方程 |' '有两个不相等的实数根,求实数 蕊1的取值范围;(川)假设直线/是函数尸几的图象在点(一2丿(-2)处的切线,且直线/与函数"曲)的图象相切于点旺总弋厂求实数占

3、的取值范围.3.函数 f xax2 bx c ex且f 01, f 10.(I)假设f x在区间0,1上单调递减,求实数 a的取值范围;mx 1x2 4x 1对任意(II)当a=0时,是否存在实数m使不等式2f x 4xexx R恒成立假设存在,求出m的值,假设不存在,请说明理由4.：二次函数g(x)是偶函数,且 g 0,对 x R,有g(x)x 1恒成立,令f (x)g(x)mln x1,(mR)(l)求g(x)的表达式；(II )当m 0时,假设x>0,使f(x) 0成立,求m的最大值;(Ill )设 1 m 2,H(x) f (x) (m 1)x,证 明：对 vx?1,m,恒 有|

4、H(xJ H(X2)| 1.5.函数 fx ax Inxa > 0 , g x8xr_2(I)求证 f x 1 In a;1 2(II)假设对任意的Xr ,总存在唯一的X?2 31-,e (e为自然对数的底数),使得eg x1f x2,求实数a的取值范围26.函数 f(x) x 8x,g(x) 6ln x m.(I)求f(x)在区间t,t 1上的最大值h(t);(II)是否存在实数 m,使得yf (x)的图象与y g(x)的图象有且只有三个不同的交点假设存在,求出 m的取值范围；假设不存在,说明理由.7.函数 f(x) ex kx , x R(I)假设k=e,试确定函数f (x)的单调区

5、间;(n)假设k>0,且对于任意x R, f(x) 0恒成立,试求实数 k的取值范围；nn 1一(川)设函数 F( x) =f(x)+f(x)+f(-x),求证：F(1)F(2) F( n) (e 2)2 (n N* ) 8.(1)函数f(x)=x 3=x,其图像记为曲线 C.(i)求函数f(x)的单调区间；(ii)证实：假设对于任意非零实数X1,曲线C与其在点P1 (X1,f(X1)处的切线交于另一点P2(X2,f(X2).曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3 ( X3 f(X3),线段 PP2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,那么 勺为定值：s(n)对于一

6、般的三次函数g (x) =ax3+bx2+cx+d(a 0),请给出类似于(I )(ii)的正确命题,并予以证实.x29.函数 f (x) e ax ex,a R(I)假设曲线y f (x)在点(1, f(1)处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间；(n)试确定a的取值范围,使得曲线 yf (x)上存在唯一的点 P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.2x a10. f(x)= 2(x R)在区间-1 , 1上是增函数.x 2(I)求实数a的值组成的集合 A;1(n)设关于x的方程f(x)= 的两个非零实根为 X1、X2.试问：是否存在实数m,使得不x等式m2+tm+1 N|-X2

7、对任意a A及t -1 , 1恒成立假设存在,求 m的取值范围；假设不存在, 请说明理由.1 211. 函数 f(x) = lnx, g(x)= ax2 + bx, a*0.2(I)假设b= 2,且h(x) = f(x) g(x)存在单调递减区间,求 a的取值范围；(n)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴 的垂线分别交 C1, C2于点M、N,证实C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.12. An(an, bn) ( n N* )是曲线y ex上的点,a1 a , &是数列an的前n项 和,且满足 Sn 3n an Sn 1, a

8、n 0 , n 2,3,4,.(I) 证实：数列肛 (n 2)是常数数列；bn(II) 确定a的取值集合 M,使a M时,数列an是单调递增数列；(III )证实：当a M时,弦AnAn 1 (n N* )的斜率随n单调递增.22x13 函数 f(x)=ln (1+x)-.1 x(I)求函数f(x)的单调区间；1(n)假设不等式(1)a a e对任意的n N*都成立(其中e是自然对数的底数).n求的最大值.214.函数 f(x) x bx c(b, c R),对任意 x R,恒有 f '(x) f (x).2(I)证实：当 x 0时,f (x) (x c);(II)假设对满足题设条件的

9、任意b, c,不等式f(c) f(b) M (c2 b2)恒成立,求M的最小值.15.函数 f(x) x3 , g(x) x , x .(I)求函数h(x) f (x) g(x)的零点个数.并说明理由；(n)设数列a.( n N*)满足印 0(a0),f(% J g(%),证实：存在常数M,使得 对于任意的n N*,都有an <M .16.函数f (x) = eax x,其中a 0.(1) 假设对一切x R, f(x) > 1恒成立,求a的取值集合.(2) 在函数f (x)的图像上取定两点A(x1, f (x1) , B(x2, f (x2) (x1x2),记直线AB的斜率为K,问

10、：是否存在x°(x1, X2),使f (x0) k成立假设存在,求x°的取值范围；假设不存在,请说明理由17.设 f(x) In(x 1)、. x 1 ax b(a,bR,a,b为常数),曲线yf (x)与3直线yx在(0, 0)点相切.2(I )求a,b的值.(n )证实：当Ox 2时,18.函数f x 1(I)求证：1-x f xf(x)9xx 62xx e,g x3x ax21 ;1 x;1 2xcosx.当 x 0,1 时,(ll )假设f x g x恒成立,求实数a的取值范围.19.函数 f(x) (cosx x)(2x) 8 (sin x31),证实:(1)存在

11、唯一x(0,-),使f(x.)0;(2)存在唯一 n(2,),使 g(G0 ,且对(1)中的x°x.20.函数f xxaln x 1 aR ,g x xe1 x.g(x) 3(x x)cosx 4(1 sinx)ln(3刍.(I)求g x的极值;(II )设 a2,函数 h xx3 x2 f xm在区间22,3上不是单调函数,求实数 m的取值范围(III)当 a0时,假设对任意的x1, x23,4 x1x2f x2f x11 1恒成Jg X2g 为立,求a的最小值.21. 函数 f(x) In x,g(x) ex.X +1假设函数O(x) = f (x),求函数O(x)的单调区间；x

12、-1设直线I为函数f (x)的图象上一点 A(xo, f (xo)处的切线,证实：在区间(1,+g)上存在唯一 的xo,使得直线I与曲线y=g(x)相切.22. 函数 f(x) xlnx,g(x)x2 ax 3.求f (x)在t,t 2(t0)上的最小值；1 _假设存在x ,e ( e是常数,e =)使不等式2f (x) g(x)成立,求实数a的取值范e围；证实对一切x (0,),都有ln x1 2 、x成立e ex23.设函数f(x) x1aln x(axR).讨论函数f(x)的单调性;假设f (x)有两个极值点MX,记过点A(x, f (xj), B(X2, f区)的直线斜率为k ,问：是

13、否存在a,使得k 2 a假设存在,求出a的值；假设不存在,请说明理由.24.函数f xax3 bx2 3x a,b R在点1, f 1处的切线方程为y 2 0.求函数f x的解析式;假设对于区间2,2上任意两个自变量的值 x1, x2都有f捲 f x2c,求实数c的最小值；假设过点M 2,m m 2可作曲线y f x的三条切线,求实数 m的取值范围.a25. a R,函数 f (x) ln x 1,g(x) (lnx 1)ex x,(其中 e 2.718)x(I)求函数f (x)在区间0,e上的最小值;(Il)是否存在实数Xo 0,e ,使曲线y g(x)在点x Xo处的切线与y轴垂直假设存在

14、,求出Xo的值；假设不存在,请说明理由.In x26.设函数 f(x)Inx In(x 1).1 x求f (x)的单调区间和极值；是否存在实数a,使得关于x的不等式f (x)a的解集为(0,)假设存在,求a的取值范 围;假设不存在,试说明理由.X27. 函数 f (x) =e +ax-1(a R)(i)求f (x)的单调区间；(n)假设函数F (x) = xlnx- f(x)在定义域上存在零点,求a的最大值；(川)假设 g (x) =ln (ex-1 ) -Inx,当 x( 0, +x)时,不等式 f (g (x) v f (x)恒成立,求a的取值范围.28. 函数f(x) = ln xx k

15、 (k为常数,e=是自然对数的底数),曲线y= f(x)在点(1,exf(1)处的切线与x轴平行.(i)求k的值；(n)求f(x)的单调区间；(川)设g(x)=(x 2+x) f '(x),其中f '(x)为f(x)的导函数,证实：对任意x> 0, g(x) 1 e 2.x29. 设函数f (x) = k + c(e = 28是自然对数的底数,c R).e %(1)求f(x)的单调区间、最大值；讨论关于x的方程|ln x| = f(x)根的个数.30.函数 f(x) xc x(x R)(i)求函数f(x)的单调区间和极值;(n)函数 y g(x)的图象与函数 y f (x)的图象关于直线 x 1对称,证实(出)31 设 f (x)x 1时,如果X1f(x)X2,且3X,对任意实数g(x)f(X) f (x2),证实 x1 x2 22t,记 gt(x) t3xft.(I)求函数y f(x) gt(x)的单调区间;(II)求证:(i)当x 0时,f(x) > gt(x)对任意正实数t成立;(ii)有且仅有一个正实数Xo,使得gx(Xo