2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理练习理北师大版

1、高考总复习第6讲正弦定理和余弦定理磴停突基础题组练1. （2020 湖北武汉调研测试）在ABC4角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知a=小3 A- B=2-,则角 C=()A 兀A.12B.7t6兀C.TD.7t3.一 .一.兀 兀 兀解析：选 B.因为在 ABO43, A B=,所以 A= B+ ,所以 sin A= sin B+ 万 =cosB,因为a=3b,所以由正弦定理得sinA=3sinB,所以cosB=3sinB,所以tan B31o.兀 .兀 兀 兀 兀.=3 ,因为BC （0 ,兀），所以B=,所以C=兀- 6r + =,故选B.2 . （2020 江西上饶一模）在

2、ABC4角A, B, C的对边分别为a, b, c, ABC勺面积为S,若2S= （a + b）2-c2,则tan C的值是（）4A.3B.C.D.解析：选 C.因为 S= 1absin C, c2 = a2+ b2-2abcos C,所以由 2S= (a+b)2-c2,可得 absin C= ( a+b) 2(a2+b22ab cos C),整理得 sin C 2cos C= 2,所以(sin C 2cos C)2=4,所以2(sin C 2cos C)4sin 2C+ cos2Csin 2C+ 4cos 2C 4sin Ccos Csin 2C+ cos2C=4,化简得 3tan 2C+

3、4tan C=0,因为CC (0 ,兀)，所以tan C= 4.,故选C.33 .设 ABC的内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则ABC勺形斗犬为（）A.锐角三角形C.钝角三角形B.直角三角形D.不确定7解析：选B.因为bcos C+ ccos B= asin A,所以由正弦定理得 sin Bcos C+ sin Ccos B= sin 2A,所以 sin（ B+。=$所入又$所（B+ C） =sin A且 sin 庭 0,所以 sin A= 1,所兀.以A=万，所以 ABE直角三角形，故选 B.4 .在ABC4角A,B,C所对应的边分别为a,

4、b,c.若角A,B,C依次成等差数列，且 a= 1, b= 3p>,贝U S»aabc=（）A. 2B.3C.峭D. 2解析：选C.因为A B, C依次成等差数列，所以B= 60。，所以由余弦定理得b2=a23,32+ c2- 2accos B,彳导 c=2,所以由正弦定理得 SLabc= 2acsin Bf= -2-,故选 C.5 .在ABC43,已知a, b, c分别为角 A B, C的对边且/ A= 602sin B= 3sin C,则 ABC勺周长等于()A. 5+SB. 12C. 10+ 7D. 5+2 7解析：选A.在ABC43, / A= 60° .因为

5、2sin B= 3sin C,故由正弦定理可得 2b=3c, 再由$ ab- h*=2bc-sin A,可得bc= 6,所以b=3, c=2.由余弦定理可得 a2= b2+ c2 -2bc - cos A= 7,所以 a=47,故ABC勺周长为 a+b+c=5+ 5，故选 A.6. (2020 河北衡水模拟)在 ABC4角A, B, C的对边分别为a, b, c且有a= 1, 43sinAcosC+(msinC+b)cosA=0,则A=.解析：由<3sinAcosC+(sinC+b)cosA=0,得，3sinAcosC+ 43sinCcos A=bcos A,所以 V3sin ( A+

6、C) = bcos A,即，3sinB= bcos A,又a bsin A sin B'所以白=瑞一岛,从而cosA=-A? tan a=又因为0<A<兀,所以A56'答案:7. （2019 高考全国卷n ） ABC勺内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c.若b=6, a =兀 _.一一，2c, B 了，则 ABC勺面积为解析：法一：因为a=2c, b=6,B=：,所以由余弦定理 b2=a2 + c22accos B,彳导62 3= (2c)2+ c22X2 cxc=12d3,所以 a=4/3,所以 ABC勺面积 S= 2acsin B1-= 2X4 3X

7、2 3X sin法二：因为a=2c,兀b=6, B= -3, 3所以由余弦定理 b2 = a2+ c2- 2accos B,彳6 62= (2 c)2+ c22x2 cXccos -T-,3得c= 243,所以a=4j3,所以a2= b2+ c2,所以A=,所以 ABC1-的面积 S= 2X2 3X6= 6 .3.答案：6 38.在ABC4内角A, B, C的对边分别为a,b, c,且 acos B- c-|= 0, a2=7bc,b b>c,贝 U c=,b 一 、一 一,r解析：由acos B- c 2=0及正弦定理可得sin_ sin BAcosB- sin C 2= 0.因为 s

8、in C= sin( A+ B) = sin Acos B+ cos Asin B,所以一sin-2-cos Asin B= 0,所以 cos A= g,即A=；F.由余弦定理得 a2= jbc= b2+c2+bc,即 3222b2b -5bc+2c =0,又 b>c,所以=2. c答案：29. （2020 河南郑州一模） ABC勺内角A B, 面积为S,且?t足sin B=总C的对边分别为 a, b, c,已知 ABC的(2)解:求 sin AsinC;若 4cos Acos C= 3, b= V15,求ABC勺周长.1因为 ABC勺面积为S= 2acsinb2B, sin B=芯,1

9、所以 4X 2acsin Bx sin B= b2,所以b2ac= 2sin 2B，所以由正弦定理可得sin Asinsin2B 12sin 2B= 2(2)因为 4cos AcosC= 3, sin1 Asin C=所以 cos B= cos( A+ C) = sin1 31Asin C cos Acos C= 2 = 因为 b= /15 所以 ac=乙-=-2- =(=8Ji5，加以 ac 2sin 2B 2 (1 cos2B)1°,2X 1二161 3,、2所以由余弦7E 理可得 15=a + C+2aC= (a+C) 2aC=(a+C)-12,解得a+C=3小，所以 ABCW

10、周长为a+b+C=3小+/.10.在 ABC中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, C 且 a2+C2b2= abCos A+ a2Cos8.(1)求角B;(2)若b=2" tan C=孚，求 ABC勺面积.解：(1)因为 a2+ C2-b2= abCos A+ a2Cos B,所以由余弦定理，得2aCCos B= abCos A+ a2COS B,又 aw。，所以 2ccos B= bCOS A+ aCOS B.由正弦定理，得 2sin Ccos B= sin Bcos A + sin Acos B= sin( A+ B) = sin C,1又 CC (0 , ) ) ,

11、 sin C>0,所以 cos B=一.,、一一.兀因为BC (0,兀)，所以B=.3(2)由 tan C=CC (0 ,兀)，得 sin C=cos C= 7r,所以 sin A= sin( B+3 2 7 121 3 ：21C) = sin Bcos C+ cos Bsin C= 2- x -7 + 2x= ；4.sin A 2>J7x31411由正弦定理, a a = . b得 a=bsm = 6 所以 ABC勺面积为；absinsin A sin B sin B . 3'2TC= 2X6X2 巾 *1=6击.综合题组练1. (2020 安徽六安模拟2a c cos

12、C)在 ABC,角A, B, C的对边分别为a, b, c,若b Cos Bb=4,则 ABC勺面积的最大值为()A. 4 3B. 2 3C. 2D. . 3解析：选A.因为在 ABO,2a c cos C b cos B所以(2 a c)cos B= bcos C,所以(2sin A sin C)cos B= sin Bcos C,所以 2sinAcosB= sinCcosB+ sinBcosC= sin(B+ C)= sinA,所以 cos B= 1,即 B=1_,由余弦定理可得16= a2+c22accos B= a2+ c2- aO2ac-23ac,所以ac< 16,当且仅当a=

13、c时取等号，所以 ABC勺面积S= 2acsin B=乎acw443.故选A.2. (2020 江西抚州二模) ABC勺内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知3acos A= bcos C+ ccos B, b+c=3,则 a 的最小值为()A. 1B.3C. 2D. 3解析：选 B.在ABC43,因为 3acos A= bcos C+ ccos B,所以 3sinAcosA= sinBcosC+ sinCcosB= sin(B+ C)= sinA,即 3sin Acos A= sin A,又 AC (0 , ) ),所以 sin 院 0,所以 cos A=； 3因为b+c=3,所

14、以两边平方可得b2+c2+2bc = 9,由b2+ c2>2bc,可得9>2 bc+ 2bc9= 4bc,解得bc<当且仅当b=c时等号成立，所以由 a=b+c2bccos A,可得a =b2 + c2|bc=(b+c)2警>98x9=3,当且仅当b=c时等号成立，所以a的最小值为寸3. 333 4故选B.3. (2020 湖北恩施2月质检)在锐角 ABO43,角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若 cos B= 3, b=4,拄 abn 4® 则ABC勺周长为.解析：由 cos B= 3,得sin B=由三角形面积公式可得 2acsin B= 2

15、ac ,=4版，贝U ac=12，由 b2= a2+c22accos B,可彳导 16= a2+c2 2x 12X 贝U a2+c2 = 24， 联立可得a=c=23,所以 ABC勺周长为4加+ 4.答案：4 . 3+44. 已知ABC勺内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且(a2+b2c2)(acosB+bcosA) = abc.若a+ b= 2,则c的取值范围为解析：在 ABO43,因为(a2+b2c2)( acos B+ bcos A) = abc,a2 + b2 c2所以(acos B+ bcos A) = c,ab由正、余弦定理可得2cos C(sin Acos B+ sin Bc

16、os A) = sinC,所以 2cos Csin( A+B) = sin G 即 2cos Csin C= sin C, .1 一，又 sin Cw 0,所以 cos O 2,因为 CC (0 ,兀)，一兀所以c=§,2兀B=一A,3所以由正弦定理sin A sincsin A a = csin b=2兀3-A23 Vcsin A因为a+ b= 2,所以 -立22兀csin Ar= 2, 由2整理得c=22sin A+ sin-3- -A32sin：3 一3A+ -r-cos A2sin兀A十6因为A 0,2兀兀彳，所以A+ -兀6,5兀右，可得兀sinA+ 不 £1 ,

17、所以 c=C 1兀sin A+ 答案：1 , 2)5.在AB8,内角A, B, C所对的边分别为a, b,c.已知bsin兀A= acos B一二.6(1)求角B的大小;(2)设 a=2, c=3,求 b 和 sin(2 A- B)的值.解：(1)在 ABC中,由正弦定理sinA-sin BbsinA= asinB,又由 bsin A兀= acos B一丁，得 asin6B= acos,即 sin B= cos B-6 ,可得 tan B=。3.又因为BC (0 ,兀)，可得B=713.(2)在 ABC中，由余弦定理及a = 2,c=3, B=,有 b2= a2+ c2 2accos B= 7

18、,故 b 3=7.兀由bsin A=acos B- ?可得sin A= 53.因为 a<c,故 cos A=余.因此 sin 2A= 2sin4 3 Acos A=2.cos 2 A= 2cos A 1 = 7-ACA ra r4311333所以 sin(2AB)= sin 2AcosB cos 2AsinB= -14.6.在ABC4内角A, B, C的对边分别是a, b, c, A= 60°(1)若 ABC勺面积为3g a：/,求bc；(2)若 ABC锐角三角形，求 sin Bsin C的取值范围.-.一 1解：(1)由 S»A ABC= 3 3,得 2bcsin A= 3 3,1即bcsin 60 ° =3小,得 bc= 12.由余弦定理，得 a2= b2+ c2- 2bccos A,即 b2+c2bc= 13, 所以(bc)2= 13 bc= 1,所以 bc= 1 或 b c= 1.(2)因为 A= 60° ,所以 B+ C= 120° ,所以 C= 120° - B.所以 sin Bsin C= sin Bsin(120 ° B)= sin B 坐cos B+ 1sin B =sin 2 B+ 1 - c： 2 B=1 ,in