差分方程的解法1

1、第三节 差分方程常用解法与性质分析 高中数学新课标选修内容“一阶线性差分方程”的解法分析 江西省高中数学课程标准研究组 舒昌勇 (341200) 在高中数学新课标选修系列 4的“数列与差分”专题中，一阶常系数线性差分方程 Xn+1=kXn+b (1) 是讨论的重点，其一般形式为 Xn+1=kXn+f(n) (2) 其中k为已知的非零常数，f(n)为n的已知函数.当f(n)丰0时，方程(2)称为非齐次的， f(n)=0时，方程 Xn+1 =kX n (3) 称为齐次的，并称(3)为(2)相应的齐次方程.方程(1)是方程(2)当f(n)为常数的情 况，是方程(2)能用待定系数法求特解时所具有的几种

2、特殊形式里最简单的一种. 我们来讨论方程(1)和(3)通解的求法. 1求一阶齐次差分方程 Xn+1 = kXn的通解 用迭代法，给定初始值为 X0,则一阶齐次差分方程 Xn+1 = kXn的通解为 X1 = kX 0, X2=kX1=k2X0, X3=kX2=k3X0, ， 一般地，有 Xn= kX 0-1= k(k n-1X0)= k nX0, n = 1 , 2,， 由于X0表示初始值，可任意给定，所以可视其为任意常数，不妨用 c来表示.又根据 差分方程通解的定义：如果差分方程的解中含有与方程的阶数相同个数的相互独立的任意常 数，则为其通解，故一阶线性齐次方程 Xn+1=kXn的通解可表为

3、 Xn=knc (c为任意常数). 对于每一个任意给定的初始值 X0,都能得到方程相应于该初始值的一个特解 .而求特解 只要将给定的初始值 X0代入通解求出待定常数 c即可. 2求一阶非齐次差分方程 Xn+1 = kXn+b的通解 2. 1探索一阶非齐次差分方程 Xn+1 = kXn+b通解的结构 设数列 yn , zn 为方程(3)的任意两个解，则 yn+1=k y n +b (4) Zn+1= k Z n +b (5) (4) (5) 得 yn +1 Zn +1=k(yn Z n ) 这意味着一阶非齐次线性差分方程任意两个解的差为相应齐次差分方程的解. 从而，若 an为非齐次方程(3)的任

4、意一个解，bn为非齐次方程(3)的一个特解，则 an-bn就为相应 齐次方程的一个解.为了探索一阶非齐次差分方程通解的结构，我们对它的任意一个解 an 作适当变形： an=a n+b n- b n= b n +( an - bn) 这表明，一阶非齐次差分方程的任意一个解可表示为它的一个特解与相应齐次方程一个 解的和的形式.从而非齐次方程的通解等于其一个特解加上相应齐次方程的通解. 2. 2求一阶非齐次差分方程(3)的通解 用迭代法，设给定的初始值为 X0,依次将n=0, 1, 2,代入(3),有 X1=kX 0+b x2=kx1+b=k(kx 0+b)+b =k2x0+b(1+k) x3=kx

5、2+b= kk 2x0+b(1+k)+b= k 3x0+b(1+k+k 2) xn=knx0+b(1+k+k 2+ +k n-1) i)当 k丰 1 时，1+k+k2+ +k n-1 = 1 kn 1 k 此时 xn=knx0+ b（1 kb =kn（x0 -上）+ 上 1 k 1 k 1 k b 由于x。表示初始值，可任意给定，故可设其为任意常数，从而 x0 - 也为任意常 1 k 数.令x0- _=c，则（3）的通解可表为 1 k xn = knC+ （ C为任意常数） 1 k ii）当 k=1 时,1+k+k2+ +k n-1=n 此时 xn=x0+nb 由于x可任意给定，即其可为任意常

6、数，故（ 3）的通解可写为 xn=c+nb （c为任意常数） 待定系数法 与求解常微分方程类似，待定系数法也是求非齐次线性差分方程一个特解的一种较为简 便、常用的方法.其基本思想是：根据方程的非齐次项 f（n）的特点，用与f（n）形式相同但系 数为待定的函数，作为方程的特解（称为试解函数） ，然后将该试解函数代入方程，以确定 试解函数（特解）中的待定系数，从而求出方程的一个特解. i） 当k乒1时，设方程（3）有一特解xn =A，其中A为待定常数，将其代入（3）,有 A=kA+b , A= , 即 xn=- 1 k 1 k 知此时方程（3）的通解为 xn= knC+ 一卜 （C为任意常数） 1

7、 k ii） 当k=1时，方程（3）为xn+1=xn+b,知其解数列的一阶差分为常数，可设其有形如 xn =An的特解，代入（3）,有 A（n+1）=An+b , 得 A=b , 即 xn=bn 知此时方程（3）的通解为 xn= knc+bn= c+bn （c 为任意常数） 例1求差分方程2yt+1+5yt= 0的通解，并求满足 y0=2的特解. 解 将原方程改写成yt+1 = （- - ） yt , 2 故其通解为yt =（- ）t c , c为任意常数. 2 用y=2代入通解：2= （- 5 ） c ,得c = 2 . 2 满足初值y0=2的特解为yt=2（- -）t. 2 例2求下列差分

8、方程的通解 （1） xn+1=xn+4 (2) Xn+1+Xn=4 解(1)方程中有k=1, b=4 . 其通解为Xn=c+4n , (c为任意常数). (2)原方程可化为 Xn+1= Xn+4 , 方程中k= 1, b=4 , 其通解为 Xn= ( 1)nc+ 一4一 =(-1) nc+2 , (c为任意常数). 例3某学术报告厅的座位是这样的安排的：每一排比前一排多 2个座位.已知第一排 有30个座位，(1)若用yn表示第n排的座位数，试写出用 yn表示yn+1的公式.(2)第10 排的座位是多少个？ ( 3)若用Sn表示前n排的座位数，试写出用 Sn表示Sn+1的公式.(4) 若该报告厅

9、共有20排，那么一共有多少个座位？ 解(1) yn+1= y n+2 n =1,2, - (2) 解上述差分方程，其中 k=1,b=2 , 通解为 y n=2n+c , c为任意常数. 由已知y1=30,代入，得c = 28 . 特解为 yn=2n+28 , y 10=2X 10+28=48(个). (3) S+1=S+yn+1=S+2(n+1)+28 可得表达式为 S n+1=Sn+2n+30 , n=1 , 2, - (4) 先解上述差分方程， 由 Sn+1- Sn=2n+30 ,即 Sn=2n+30,知 Sn 的表达式为 n 的二次函数，设 Sn=An2+Bn+C, 则 Sn =A (n

10、+1) 2+B (n+1) +C An2 Bn C =2A n+ A+B = 2n+30 . 可得 A=1 , B=29 . 又由初始条件 y 1= 30= S 1, 有 30 =A+B+C，故 C=0 . 因此本问题的特解 Sn= n2+29n , n =1,2, - &0= 20 2+29X 20=980 (个). 注意：在本例小题(1)中每排座位数的表达式 yn+1=yn+2 y n+1- yn=2，与小题(2)中前 n+1排座位数表达式 Sn+1=S+2n+30即S+1-Sn=2n+30都属一阶非齐次线性差分方程 Xn+1=kXn+f(n) 类型，但前者属f(n)为常数的情况，

11、而后者属 f(n)为n的一次函数的情况，利用差分有关知 识，知Sn的表达式是关于 n的二次函数. 参考文献 1 教育部.普通高中数学课程标准(实验) S.北京：人民教育出版社，2003.83-85. 2 严士健，张奠宙，王尚志.普通高中数学课程标准(实验)解读 M.南京：江苏教育出版社， 2004. 218-228. 3 张银生，安建业.微积分M.北京：中国人民大学出版社， 2004. 431, 448-460. 4 黄立宏，戴斌祥.大学数学(一)M.北京：高等教育出版社，2002.380-389 . (本文刊于中学数学教学(合肥)，2006, 6.) 1 1、常系数线性差分方程的解 方程 a

12、0Xn k a1Xn k 1 akXn b(n) 其中20,务,.,机为常数，称方程（8）为常系数线性方程。 木旱 a0Xn k aiXn k 1 ak xn 0 为方程（8 8）对应的齐次方程。 (8)(8) (9)(9) 如果（9 9）有形如Xn n 的带入方程中可得: k k 1 a 0 a1 . a k 1 ak 0 (10)(10) 称方程（1010）为方程（8 8）、 （9 9）的特征方程。 显然，如果能求出（1010）的根，则可以得到（9 9）的解 基本结果如下： （1 1） 若（1010）有 k k 个不同的实根，贝 U U （ 9 9）有通解： n n n X Xn C C1

13、 1 C C2 2 . C. Ck k （2 2） 若（1010）有 m m 重根，则通解中有构成项： 综上所述，由于方程(10)10)恰有 k k 个根，从而构成方程 * Xn Xn + + Xn (1)(1) 的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果b(n) bnPm(n)，Pm(n)为 n n 的多项式，则当 b b 不是特征 根时，可设成形如bqm(n)形式的特解，其中qm(n)为 m m 次多项式；如 数即可。(3)(3)若(10)(10)有一对单复根 2 2 . , arctan ,则 (9)(9) 的通解中有构成项: Cl cos n C2 n sin (4)(4)若有 m重复

14、根: (9)(9)的通项中有成 项: m 1、 c2 n . cm n ) cos n (Cm 1 Cm 2 n m 1 n _ c2m n ) sin n (9)(9)的通解中必有 k k 个独立的任意常数 通解可记为：Xn 如果能得到方程(8)8)的一个特解: Xn 则(8)(8)必有通解: (11)(11) 果 b b 是 r r 重根时，可设特解: bnnrqm(n)，将其代入(8)8)中确定出系 2 2、差分方程的 z z 变换解法 对差分方程两边关于取 Z Z 变换，利用Xn的 Z Z 变换 F(Z)F(Z) 来表示出Xnk的 Z Z 变换，然后通过解代数方程求出 F (z)F (

15、z)，并 把 F(zF(z)在 2=02=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所 要求的Xn 例 1 1 设差分方程 Xn 2 3Xn 1 2Xn 0,X0 0,X1 1 1, ,求Xn 解：解法 1 1：特征方程为2 3 2。，有根：1 1，2 2 由条件 X0 QX1 1 得：Xn ( 1)n ( 2)n 解法2:设 F (z) =Z(F (z) =Z(Xn) )，方程两边取变换可得: 2 1 z2(F(z) X0 X1 -) 3z(F(z) X) 2F(z) 0 z 由条件X0 0，X1 1得F(z)厂云 由 F (z)F (z)在z 2中解析，有 k 1 1 1 1 k 1 2k

16、 k k k F(z) z( ) ( 1)k-k ( 1)r ( 1)k(1 2k)zk 故：Xn C1( D n c2( 2)为万程的解。 z 1 z 2 1 2 k 0 z k 0 z k 0 I I z z 所以，冷(1)0 ( 2)0 3 3、二阶线性差分方程组 设z(n) (Xn) yn a b A ( ) , c d ,形成向量方程组 z(n 1) Az(n) (12)(12) 则 z(n 1) Anz(1) (13)(13) (13)(13)即为(12)12)的解。 为了具体求出解(13),13),需要求出 A An n, ,这可以用高等代数的方 法计算。常用的方法有： (1) 如果 A A 为正规矩阵，则 A A 必可相似于对角矩阵，对角线 上的元素就是 A A 的特征值，相似变换矩阵由 A A 的特征向量构成： A p 1 p,An p 1 np, z(n 1) (p 1 np)z(1)o (2) 将 A A 分解成A 气，为列向量，则有 (/ )n1.A 从而，z(n 1) Anz(1) ( / )n1.Az(1) (3) 或者将A相似丁约旦标准形的形式，通过讨论 A的特征值的性态, 找出An的内在构造规律，进而分析解z(n)的变化规律，获得 它的基本性质。