第十四章习题课PPT课件

1、第十四章第十四章 习题课习题课(1) (1) 定义定义形如形如nnnxxa)(00 的级数称为的级数称为幂级数幂级数.,00时时当当 x其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.1 1、nnnxa 0 幂级数幂级数如如果果级级数数 0nnnxa在在0 xx 处处发发散散, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处发发散散. .定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) )如如果果级级数数 0nnnxa在在)0(00 xxx处处收收敛敛, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处绝绝对对收收敛敛; ;(2) (2) 收敛性收敛性如如果果幂幂级级数数

2、 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: :当当Rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当Rx 时时,幂级数发散幂级数发散;当当RxRx 与与时时, ,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散. .推论推论定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.称为幂级数的称为幂级数的收敛区间收敛区间. 定理定理 2 2 如果幂级数如果幂级数 0nnnxa的所有系数的所有系数0 na, 设设 nnn

3、aa1lim (或或 nnnalim)(1) 则则当当0 时时, 1R;(3) 当当 时时,0 R.(2) 当当0 时时, R;,R Ra.a.代数运算性质代数运算性质: : 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 (3)(3)幂级数的运算幂级数的运算乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收敛域内收敛域内

4、b.b.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: : 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内可积内可积,且对且对),(RRx 可逐项积分可逐项积分. 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内可导内可导, 并可逐项求导任意次并可逐项求导任意次.2 2、幂级数展开式、幂级数展开式 如果如果)(xf在点在点0 x处任意阶可导处任意阶可导,则幂级数则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)( 称为称为)(xf在点在点0 x的的泰勒级数泰勒级数.nnnxnf 0)(!)0(称为称为)(xf在点在点0 x的的麦克劳

5、林级数麦克劳林级数.(1) 定义定义(2) 充要条件充要条件(3) 唯一性唯一性定理定理 如果函数如果函数)(xf在在 0()U x内内能能展开成展开成)(0 xx 的幂级数的幂级数, , 即即 nnnxxaxf)()(00 , , 则其系数则其系数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann 且展开式是唯一的且展开式是唯一的. . (4) 展开方法展开方法a.a.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或讨论讨论).(xf敛于敛于则级数在收敛区间内收则级数在收敛区间内收b.b.间接法间

6、接法 根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积逐项积分分等方法等方法,求展开式求展开式.),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x(5) 常见函数展开式常见函数展开式)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x(6) 应用应用a.a.近似计算近似计算b.

7、b.欧拉公式欧拉公式,sincosxixeix ,2cosititeet ,2sinieetitit 例例1.1.求下列各幂级数的收敛域求下列各幂级数的收敛域: :解解1(1);2nnnxnnnnaa1lim 21 R收敛半径为收敛半径为2x 令， 1112nnnnnnx发散；发散；2x 令， 11)1(2nnnnnnnx收敛收敛. .故：原级数的收敛域为故：原级数的收敛域为 -2-2，2 2）。）。12)1(2lim nnnnn21 解解12( 1)(2)(1) ;nnnnxn , 1 xz令令nnnnnnn)1(21)1(2lim11 nnnaa1lim 12( 1)(1)nnnnxn 则

8、12( 1).nnnnzn nnnn)21(1111)21(2lim1 2.收敛半径为收敛半径为11.2R例例1.1.求下列各幂级数的收敛域求下列各幂级数的收敛域: :收敛半径为收敛半径为211 R12z 令，则nnnnzn 1)1(2nnnnn 21)1(21 121)1(nnnnn,)1(1收敛收敛而而 nnn,211收敛收敛 nnn12( 1)12nnnnzzn 所以在处收敛.12z 令，则nnnnzn 1)1(2nnnnn 21)1(21 12)1(1nnnnn,11发散发散而而 nn,2)1(1收敛收敛 nnnn12( 1)12nnnnzzn 所以在处发散.12( 1)1 1,2 2

9、nnnnzn 从而的收敛域为：，12( 1)131).22nnnnxxn 故（的收敛域为：13:.22x此时解解212(3).nnnxn)()(lim1xaxannn 故：原级数的收敛域为开区间：故：原级数的收敛域为开区间：用比值法：用比值法：nnnnnxnnx2)1(21212lim 22,x则则221,x当时，时，即即22 x原级数收敛；原级数收敛；221,x当原级数发散；原级数发散；时，时，即即22 x221,x当时，时，即即22 xnnnxn212 发散发散. . 11nn.22,22 例例1.1.求下列各幂级数的收敛域求下列各幂级数的收敛域: :解解21lg*(4).nnxn)()(

10、lim1xaxannn 故：原级数的收敛域为故：原级数的收敛域为用比值法：用比值法：xnnxnnnlg)1(lglim221 lg,x则则lg1,x 当时，时，即即10101 x原级数收敛；原级数收敛；lg1,x 当原级数发散；原级数发散；时，时，或或即即101010 xxlg1,x 当时，时，或或即即10110 xx.10,101 原级数绝对收敛。原级数绝对收敛。例例1.1.求下列各幂级数的收敛域求下列各幂级数的收敛域: :.)1)(1(0敛域及和函数敛域及和函数收收求级数求级数 nnxn(1)解解, 1)1)(1(0 Rxnnn敛半径为敛半径为的收的收, 111 x收敛域为收敛域为02.x

11、即则有则有设此级数的和函数为设此级数的和函数为),(xs 0)1)(1()(nnxnxs两边逐项积分，得两边逐项积分，得例例2 2 011)1(nxnx 011)1)(1()(nxnxdxxndxxs 01)1(nnx)1(11 xx,21xx 求导，得求导，得两边再对两边再对 x)21()( xxxs.)2(12x 0) 1() 1(nnxx 11.2xxs x dxx即解解则有则有设此级数的和函数为设此级数的和函数为),(xs两边逐项求导，得两边逐项求导，得的和函数。的和函数。）求）求（ 01212)1(2nnnnx，的收敛半径为的收敛半径为112)1(012 nnnnx1,1 .收敛域为

12、210( )( 1).21nnnxs xn210( )( 1)21nnnxs xn210( 1)21nnnxn21,111xx 02)1(nnnx21( ).1s xx即 xdxx0211两边同时积分，得两边同时积分，得0( )(0)( )xs xss x dxarctan,x(0)0,s又( )arctan ,s xx所以1,1 .x 210arctan( 1),1,1 .21nnnxxxn 即解解0( 1)3(21) 4nnnn（ ）求收敛级数的和.xnxnnnarctan12)1(012 1,2x 令得由上题结论，有 0121221)1(nnnn 041221)1(nnnn）（ 0121

13、2)1(*)nnnnx左端左端 04121)1(21nnnn）（21arctan(*) 右端右端011( 1)2arctan.2142nnnn所以（）（*）.1lnarctan)(2克劳林级数克劳林级数展开成麦展开成麦将将xxxxf 例例3 3解解,32)1ln(32 xxxx,)1(32)1ln(216422 nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642)1(1 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x 1210222)1(2112)1(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故故 02202222)1(2112)1(nnnnnnnxn