平方根和立方根知识点总结及练习

1、【基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1平方根(1 )平方根的定义：如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根.即: 如果x2 a，那么x叫做a的平方根.(2) 开平方的定义：求一个数的 平方根的运算，叫做开平方开平方 运算的被开方数 必须是非负数才有意义。(3) 平方与开平方互为逆运算：3的平方等于9, 9的平方根是 3(4) 一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根， 即负数不能进行开平方运算(5) 符号：正数a的正的平方根可用,a表示，.a也是a的算术平方根；正数a的负的平方根可用-.a表示.(6) x2 a< >x<

2、 aa是x的平方x的平方是ax是a的平方根a的平方根是x2、算术平方根(1)算术平方根的定义:一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为. a，读作根号a ”，a叫做被开方数. 规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式 x2 a (x > 0)，规定x 、.a。(2) ,a的结果有两种情况：当a是完全平方数时，,a是一个有限数；当a不是一个完全平方数 时，,a是一个无限不循环小数。(3) 当被开方数扩大 时，它的算术平方根 也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。一般来说，被开放数扩大(或缩小)a倍，算术平方根扩大(或缩小)

3、. a倍，例如错误!未找到引用源。=5,错误！未找到引用源。=50。(4) 夹值法及估计一个(无理)数的大小(5) x2 a (x > 0)< > x aa是x的平方x的平方是ax是a的算术平方根a的算术平方根是 x(6) 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。Ja2 a；注意石的双重非负性：-a （ a<0）a 0（7）平方根和算术平方根 两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于 正数的正平方根 就是它的算术平方根，而正数的负平方根 是它的算术平方根 的相反数。3、立方根（1）立方根的定义：如果 一个数x的立方

4、等于a，这个数叫做a的立方根（也叫做 三次方根）,即如果x3 a，那么x叫做a的立方根（2） 一个数a的立方根，记作3 a，读作：三次根号a”，其中a叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。（3）一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根。（4）利用开立方和立方互为逆运算 关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关 系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即3 a 3 a a 0。（5） x3 a< >x 3 aa是x的立方 x是a的立方根x的立方是 a a的立方根

5、是x（6） 3 a 3 a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。【典型例题分析】知识点一：有关概念的识别1、下列说法中正确的是（）A、的平方根是± 3B、1 的立方根是是 5 的平方根的相反数A 一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B.负数没有立方根C. 一个实数的立方根不是正数就是负数D .立方根是这个数本身的数共有三个3、下列说法中：3都是27的立方根，3 y3y，, 64的立方根是38 24。其中正确的有（）A 1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个24、0.7的平方根是（）A.0.7B.0.75、下列各组数中，互为相反数的组是（A、一 2 与.（2）2 B、一 2 和

6、 38C. 0.7D. 0.49D、丨一2 |和2知识点1、25的算术平方根是 ;平方根是. -27 立方根是,2、(4)2;3 ( 6)33、. 2+3-2 5 2； (J196)2=.V""8=7( 1 - .7) V8 丫门7 £V7 |32 | + |.3 2|- |2 1 |4、( 1 )327 +,( 3)2- 31 3 27 -0 d 3 0.125 3 1 63（3） 此叶 I10）z知识点三：利用平方根和立方根解方程21、( 1) (2x-1 )-169=0 ;(2) 4x2121(3)(x 2)3 125知识点四：关于有意义的题a 本身为非负数

7、，有非负性，艮卩ja > o； ja有意义的条件是a> o。1要使有意义，必须满足 a 0.a1、 若-a的算术平方根有意义，则a的取值范围是（）A、一切数B、正数C、非负数D、非零数2、要使、2x 6有意义，x应满足的条件是3、当x时，式子 x 2有意义。知识点五：有关平方根的解答题1、一个正数a的平方根是3x4与2x,则a是多少?2、若5a +1和a 19是数m的平方根，求 m的值。3、已知x、y都是实数，且y厂X 4，求yx的平方根。知识点六：非负性的应用1、已知实数x，y满足.x 2+(y+1) 2=0，则x-y等于解答：根据题意得，x-2=0，y+仁0，解得 x=2，y=

8、-1，所以，x-y=2-(-1) =2+仁3.2、 已知a、b满足七迈厂8b 730，解关于x的方程a 2 x b2 a 13、若.x 1(3x y 1)20，求.5x y2 的值。4、若a、b、c满足a 3 J(5 b)2 広 0，求代数式亠丄的值。 a5、已知 1 3a和丨8b 3丨互为相反数，求(ab)2 27的值。【重点知识巩固】考点、平方根、算术平方根、立方根1概念、定义（1） 如果一个正数x的平方等于a,即厂 二，那么这个正数x叫做a的算术平方根。（2） 如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a的平方根（或二次方跟）。如果"-<， 那么x叫做a的平方根。（3）

9、 如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a的立方根（或 a的三次方根）。如果-，那么x叫做a的立方根。2、运算名称（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。3、运算符号（1）正数a的算术平方根，记作" t ”。（2） a（a> 0）的平方根的符号表达为-'（3） 一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。4、运算公式a a > 0（石）=（心）好十七：鳥 沿之（需启=_仏:注青;这说明三欠根号內的员号可以穆到根号外面）4、开方规律小结（1） 若a>0，则a的平方根是 a , a的算术平方根 a ;正数的平方根有两个，它们互 为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是 0;负数没有平 方根。实数都有