2019年普通高等学校招生全国统一考试天津卷

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学理科本试卷分为第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分， 共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上， 并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1 .每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标 号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号.如果事件 A, B那么2 .本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式： 如果事件A, B互斥，相互独立，那么棱柱的体积公式匚I圆锥的体积公式d其中S表示

2、圆锥其中S表示棱柱的底面面积 的底面面积h表示棱柱的高h表示圆锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要 求的.是虚数单位，复数=”白1 = 0+1“ j X 白+ 1的二项展开式中，的系数为A .充分而不必要条件要而不充分条件D .即C .充分必要条件不充分也不必要条件3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为B . 4A. 3D . 6C . 54 .已知弓为等差数列，其公差为-2，且.勺是与.4的等比 中项，日为S的前工项和，西，则巨I的值为A . -110B . -90C . 90D . 110A .6 .如X“ ”：设函数8.对实数和，定义运算I 若函数

3、 I的图像与轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是1KIA.1 TB .D .| C .第卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30 分.9 . 一支田径队有男运动员 48人，女运动员36从该队的全体运动员中抽取一个容量为 男运动员的人数为10 .一个几何体的三视图如右图所示（单位：），的体积为口11 .已知抛物线回的参数方程为1213则该几何体（为参数）若斜率为1的直线经过抛物线 的焦点，且与圆 则.如图，上一 点，且 线段耳的长为.已知圆中两条弦上与耳相交于点, 是人，若用分的方法3层抽样的方法 | 21的样本，则抽取相切，若回与圆相切集知已合，则集合中，aI11 一 15是14.已

4、知直角梯形 腰丄上的动点，贝V 的最小值为.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分13 分)已知函数(I)求I型的定义域与最小正周期; ()设a，若11求的大小.16 .(本小题满分13分)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这 些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸 出2个球，若摸出的白球不少于 2个，则获奖.(每次游 戏结束后将球放回原箱)(I)求在1次游戏中，(i)摸出3个白球的概率；()获奖的概率；(H)求在 2次游戏中获奖次数的分布列与数学期望1

5、7 .（本小题满分13分）如图，在三棱柱 回是正方形凹的中心，1 中，平面5，且(I)()(出) 面曰,求异面直线与 AiBi所成角的余弦值；gj 的正弦值;求二面角设叵|为棱旦的中点，点叵在平面内，且 F 平求线段 的长.18 .（本小题满分13分）在平面直角坐标系丨中，点包| LJ为动点，凹分别为椭圆 因的左右焦点.已知匕为等腰三角形.(I)求椭圆的离心率 ；()设直线凶与椭圆相交于 回两点，回是直线凶上的点， 满足 亠，求点叵的轨迹方程.19 .(本小题满分14分)已知曰，函数 L(叵的图像连续不断)(I)求囚的单调区间；(H)当上时，证明：存在，使(rn)若存在均属于区间 因 的凶，且

6、三I ，使证明二20 .(本小题满分14 分)已知数列凹与满足:1 1(I)衣lF的值；(H)设_1,证明：回是等比数列;()设 证明：丘.参考答案一、 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分.二、 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分.9. 1210 .四11 .弓 12 .因 13 . ri14 . 5三、解答题 15 .本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切 函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分.(I )解：由I = I ,得所以因的定义域为凶的最小正周期为I0()解：由WI

7、得1 X 1整理得因为因此由1，所以1 11冋,得-所以| K |116 .本小题主要考查古典概型与其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分.(I)(i)解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件r 贝 y()解：设“在1次游戏中获奖”为事件B,则L I 又且A2, As互斥，所以L()解：由题意可知X的所有可能取值为0 , 1 , 2.a所以X的分布列是X012P000X的数学期望17 .本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、 二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题 的方法，考查空间想象能

8、力、运算能力和推理论证能力.满分13分.方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标设平面i Ci的法向量，则匕J即X |不妨令国可得日，同样地，设平面AiBiCi的法向量 I ， 则冈即 x |不妨令国，()解：由N为棱BiCi的中点，得设 M ( a，b，0)，由叵平面AiBiCi，得解得因此故,所以线段的长为所以异面直线与AiBi所成角的余弦值为，故 I为二面角 AAiCi Bi在 I中，方法二：(I)解：由于iCi，故是异面直线与AiBi所成的角. iBiB的中心，()解：连接i，易知ii Ci， 又由于 ii Ai， AiCiii ,所以上1旦上J ,过点A作于点R, 连接BiR

9、，于是I I的平面角.连接i，在凹中，从而 取i中点D，连接，由于N是棱BiCi中点， 所以iH且 耳 .所以二面角AAiCi Bi的正弦值为()解：因为平面AiBiCi，冋k L=1又 丨平面i BiB , 所以 I平面iBiB ,故|二| 又 所以凹 平面，连接并延长交 AiBi于点E , 则I由得,延长交于点可得曰连接.在m 中，1 =所以1 =11可得连接，在 KI中，i8.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲 线的性质与数形结合的数学思想， 考查解决问题能力与即 * 1整理得1（舍），或S所以（1）解：设1 1由题意，可得1

10、运算能力.满分i3分.（）解：由（1）知1 X 1可得椭圆方程为1直线2方程为 I IA, B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得I |解得I 乂1得方程组的解不妨设 设点M的坐标为由即_，化简得I将I r=r所以|因此，点M的轨迹方程是上19 .本小题主要考查导数的运算、 利用导数研究函数的单调 性、解不等式、函数的零点等基础知识， 考查运算能力 和运用函数思想分析解决问题的能力与分类讨论的思想方法.满分14分.(I)解：I,当x变化时，三I的变化情况如下表:0a回a+0-回极大值、所以，日 的单调递增区间是闫 的单调递减区间是H（）证明：当由（I）知在（0 , 2）内单调递增， 在内单调递减.令I由于0在（0 , 2）内单调递增，故1 X 1取1所以存在1 一"1 n即存在厂1（说明：归的取法不唯一，只要满足即可） （）证明：由I 与（I）的结论知 I ，从而1_匸二1上的最小值为匕又由j,知 L 1故.1 =-= 1从而 -20 .本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知 识，考