导数常见题型方法总结

1、导数题型总结例1：设函数y f(x)在区间D上的导数为f (x), f (x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上,432xmx3xg(x) 0恒成立，则称函数y f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，f(x)1262(1 )若y f (x)在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围；a的最大(2)若对满足 m 2的任何一个实数 m，函数f (x)在区间a,b上都为“凸函数”，求b值432解：由函数f(x)亞竺得f (x)12 6 2(1) Q yf (x)在区间0,3上为“凸函数”2 mx23xg(x) x2 mx 3贝Vg (x) x2 mx 3 0在区间0,3上恒成立解法

2、一：从 二次函数的区间最值 入手：等价于gmax(x)0g(0)03 0m 2g(3) 09 3m 3 0解法二：分离变量法：/当x0 时g(x)2小x mx 330恒成立，当0x 3时，g(x)x mx 30恒成立等价于m x 3 x3的最大值(；0 x 3 )恒成立,xx3而 h(x) x (0 x 3 )是增函数，贝y hmax(x) h(3)2 m 2x/当m 2时f (x)在区间a,b上都为“凸函数”x2mx 30恒成立0在m例2 :设函数f(x)则等价于当m 2时g(x)变更主元法2恒成立F(F(2)b2)(视为关于c22x x2x2xm的一次函数最值问题)(i)求函数f(n)若对

3、任意的解：(i) f (x)132x 2ax3(x)的单调区间和极值;x a 1, a x2 4ax 3a23a2 xb(0R)2,不等式f (x)x 3a x aa恒成立，求a的取值范围.令f (x)0,得f (x)的单调递增区间为(a,3 a)令f (x)0,得f (x)的单调递减区间为(一 ，*和(3a, +)3 x=a 时，f (x)4(n)由| f (x)| wa,得：对任意的当x=3a时,f (x)极大值=b.则等价于g(x)这个二次函a 1,agmax(x)gmin(x)2,g(x)24ax 3a a恒成立x2 4ax 3a2 的x 2aQ 0 a 1, a 1 即定义域在对称轴

4、的右边，2a (放缩法)a ag(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。点评:例3:(I)(n)(出)解:(x)2 x4ax3a2在 a 1,a2上是增函数.g(x)maxg(a2)2a 1.g(x)ming(a1)4a 4.于曰是,对任意xa 1,a2，不等式恒成立,g(a2)4a4a4a,解得4a 1.g(a1)2a1a5等价于重视二次函数区间最值求法：对称轴2ax图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3已知函数f (x) x求a,b的值;当x当xf (x)的值域;1.4时，求1.4时，不等式f(x) g(x)恒成立，求实数tf/(1)3,解得 ab 1 ab/ 2f (x) 3

5、x 2ax的取值范围。4又 0 a 1, a 1.5(重视单调区间)与定义域的关系3，g(x)(9分)(n)由(I)知，f (x)在1,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2, 4上单调递减又 f( 1)4, f (0)0, f (2)4, f (4)16 f (x)的值域是4,16t 2(川)令 h(x) f (x) g(x) -x (t 1)x 3 x 1,42思路1：要使f(x) g(x)恒成立，只需h(x) 0，即t(x22x) 2x 6分离变量思路2:二次函数区间最值二、参数问题1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为f'(x) 0或f'(x

6、) 0在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2：利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区 间的子集；做题时一定要看清楚“在(m , n )上是减函数”与“函数的单调减区间是(a , b )”，要弄清楚两句话的 区别：前者是后者的子集13 a 12例 4:已知 a R，函数 f(x) xx (4a1)x .12 2(I)如果函数 g(x) f (x)是偶函数，求f (x)的极大值和极小值;(4a1).(l)v f (x)是偶函数，1.此时f(x) 丄x3123x , f (x) x24x(,2历)2罷(2j3,2 £)2品(2 J3，+ g )

7、f (x)+00+f (x)递增极大值递减极小值:递增23.f(x)的极小值为f(2、3)可知：f (x)的极大值为 (n)v函数令f (x)0 ,解得：x列表如下：f ( 2,3)4、3 ,)上的单调函数,4,. 3 .二 f (x)f (x)是(1 2 x (a41)x(4 a 1)0，在给定区间R上恒成立判别式法(a 1)2综上，a的取值范围是4 - 4a0(4a 1)a 2.2a 2a 0,解得：0 a2.1 3例5、已知函数f(x)x33(I )求f (x)的单调区间;(II )若解：(I)1、当a当且仅当a)x2(1a)x(a 0).f (x)在0,1上单调递增，求a的取值范围。子

8、集思想1)(x1a).2f (x) x (2 a)x20时,f (x) (x 1)x 1时取“=”号，0时，由f (x)0,得x1 a (x0恒成立，f(x)在(，1,X2a单调增区间：(，1),(a1,单调增区间:)单调递增。1,且为 X2,(1,a 1)1 2解：f (x) x (a 1)x4(II )当Q f (x)在0,1上单调递增， 则0,1是上述增区间的子集：1、 a 0时，f (x)在(，)单调递增 符合题意2、0,1 a 1, a 10a 1 综上，a的取值范围是0, 1。2、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点，即方程根的个数问题解题步骤第一步：画

9、出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后 减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式(组)即可。1 (k 1)1例6、已知函数f(x)x3x2, g(x)kx，且f (x)在区间(2,)上为增函数.323(1) 求实数k的取值范围；(2) 若函数f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.解: (1)由题意f (x) x2 (k 1)x / f(x)在区间(2,)上为增函数，- f (x) x2 (k 1)x 0在区间(2,)上恒成立(分离变量

10、法)即k 1 x恒成立，又x 2 , k 1 2，故k 1 k的取值范围为k 1(2)设 h(x) f (x) g(x)h (x) x2令 h (x) I 当 当x3 (k 1) 2 x 3k)(x 1)(1 )知 k 1 ,0 , h(x)在R上递增，显然不合题意1kx ,3(k 1)x0得x k或x1 时，h (x) (x1时，h(x), h (x)随x的变化情况如下表:(x1由1)2x(,k)k(k,1)1(1,)h(x)0一r 0h(x)/极大值623极小值k 12/0 ,欲使f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点,由于即方程h(x) 0有三个不同的实根,10,即(k 1)(k2

11、2k 2)3k 10 -k2 2k综上，所求k的取值范围为k 1,3根的个数知道，部分根可求或已知。例7、已知函数(1) 若是的极值点且的图像过原点，求的极值；(2) 若，在(1)的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点若存在, 求出实数的取值范围；f (x) 3ax否则说明理由。解：(1)的图像过原点，贝U f(0)0又是的极值点，2f (x) 3x2 ,f ( 1)3a 12f极大值(x) f (1)2(3x322)(x 1)极小值(x)227(2)设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点,1等价于f(x) g(x)有含x 1的三个根，即：f( 1) g

12、( 1) d 一(b 1)2312121x-x2x-bxx-(b1)整理得：2 22即：x3 1 (b 1)x2 x -(b 1) 0恒有含x 1的三个不等实根2 23 1 21h(x) x (b 1)x x (b 1)0 有含 x 1 的根，2 2则h(x)必可分解为(x 1)(二次式)0，故用添项配凑法因式分解，322121x x x -(b 1)x x -(b 1)02 21 2 1x (x 1) (b 1)xx -(b 1)02 2x2(x 1) * (b 1)x2 2x (b 1)0十字相乘法分解:x2(x1)12(b1)x (b 1) x 10x32(b1)x2等价于1尹1)x1

13、2(b 1)2 442 11)2 尹 1)1(b2(b1(b2(b1)1)1)题2切线的条数问题，即以切点 例7、已知函数 为(1,3)，求：(1) 值范围.(1)由题意得：在(因此f (x)在X。- a b c故： 题3 解法: 例8、(X1) x21 1尹1)x尹1)0恒有含x1的三个不等实根0有两个不等于-1的不等实根。0b (, 1)( 1,3)(3,0f (x) ax3f(x)的解析式;x0为未知数的方程的根的个数2bx cx在点Xo处取得极小值4,(2)若过点P( 1,m)可作曲线2f '(x) 3ax,1)上 f'(x)0 ;由联立得:使其导数f'(x)0

14、y f(x)的三条切线，的x的取值范围 求实数 m的取2bx c 3a (x 1)(x 3),( a 在(1,3)上 f '(x)0 ； 在 (3,1处取得极小值 44，f'(1) 3a 2b16，二 f(x)9c 0,x3 6x2y(23t 1：2t 9)(x t)32(t 6t 9t)(3t212t9)xt(3t2212t9) t(t(3t212t9)xt(2t26t)过(1,m)m (3t212t9)(1) 2t36t2g(t)2t31 2t212t9 m0令g'(t)6t26t 126(t2t 2)0,求得：t1,t2，方程g(t)0有三个根。需：g(1) 02

15、 3 12 9 m 0(2)设切点 Q(t, f(t)，f(t)f (t)(x t)y6t9)m 16g(2)016 12 24 9 m 016 ;因此所求实数 m的范围为：(11,16)已知f (x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数根分布或判别式法11 mf'(3)9x0)上 f '(x)027 a 6b c 0 m 111 3 7 2解：函数的定义域为 R (I)当m= 4时，f (x) = 3X ?x + 10x,f (x) = x2 7x+ 10,令 f (x)0 ,解得 x 5,或 x 2.令f (x)0 ,解得2x5可知函数f(x)的单调递增区间为(

16、，2)和(5,+)，单调递减区间为2,5(n) f (x) = x ( m+ 3)x+6,要使函数y= f (x)在(1,+)有两个极值点，根分布问题：则例解: ( 1)xf (x)ax24(m f (1) 1 m 3 1.2x(ax0 时，令 f'(x)0解得2f (x) = x (m3)x + m+ 6=0 的根在(1 ,+)3)2 4(m 6) 0;(m 3)0;,解得m> 39、已知函数f (x)(x) (x R)有且仅有1)所以f (x)的递增区间为(0,)，递减区间为0时，同理可得(2) g(x)g(x)方程x21 4x43 xa 3 x32ax x而当ax2, (a

17、 R,a 0) (1 )求 f (x)的23个极值点，求f (x)0解得(丄,0).a1f (x)的递增区间为(0,)，递减区间为a1 2x有且仅有3个极值点22 2 x(x ax 1)=0有3个根，则x 0或x0有两个非零实根，a 2或a2或a 2时可证函数yax所以a240,g(x)有且仅有3个极值点 其它例题：a的取值范围.ax,0).1、(最值问题与主元变更法的例子) 上的最大值是5,最小值是(I)求函数()若 t 解：(I) Q f (x).已知定义在R上的函数f (x)3 ax22 ax0)在区间2,111.f (x)的解析式；1,1时，f (x)b,43ax32ax2令 f (x

18、)=0,得 x 0xtx 0恒成立，求实数 x的取值范围' 2f (x) 3ax 4ax ax(3x 4)2,1x2,000,1f'(x)+0-f(x)/极大因为a 0，所以可得下表:因此 f (0)必为最大值， f (0 5 因此 b 5 , Qf( 2)163 5,f(1) a即 f( 2)16a5(n)v f (x) 3x2x3 2x2 5.25, f(1)f( 2),11，二 a 1 , f (x)4x f (x) tx 0 等价于 3x2 4x tx 0,令g(t) xt 3x2 4x，则问题就是g(t) 0在t 1,1上恒成立时，求实数 x的取值范围，2为此只需g(

19、 1)0，即3x2 5x 0,g (1) 0 x2 x 0解得0 x 1，所以所求实数x的取值范围是0，1.2、(根分布与线性规划例子)2 已知函数f(x)x3 ax2 bx c3(I )若函数f (x)在x 1时有极值且在函数图象上的点(0, 1)处的切线与直线 3x y 0平行，求f (x)的解析式；(n )当f (x)在x (0,1)取得极大值且在 x (1, 2)取得极小值时，设点M(b 2, a 1)所在平面区域为S,经过原点的直线 L将S分为面积比为1:3的两部分，求直线L的方程.解：(I ).由f (x) 2x2 2ax b,函数f (x)在x 1时有极值, 2a b 2 0/f

20、(0)1c1又 f(x)在(0,1)处的切线与直线 3x y 0平行，f (0)b3故 a 122 3 1 2 f (x) x x 3x 1 . 7 分3 22(n )解法一：由f (x) 2x 2ax b及f (x)在x (0,1)取得极大值且在 x (1, 2)取得极小值，f (0)0即b0令 M (x,y),nt x b 2f (1)02ab20则y a 1f04ab80ax 20y 12yx20 故占人八、M所在平面区域S为如图丿ABC,bx 24yx60易得A( 2,0)，B( 2,1)，C(2,2),D(0,1),E(0,3) ,S ABC221同时ABC的中位线，S DEc 一

21、S四边形abed3所求一条直线L的方程为：x 0另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分，设直线L方程为y kx ,它与AC,BC分别交于F、G,则k0， S四边形DEGF 1由ykx得点F的横坐标为Xf22yx202k 1由ykx得点G的横坐标为xg64yx604k 1 S四边形DEGFS OGES-36-丄11 即 16k22k 5 0224k1 22k 1解得：k1或k(舍去)故这时直线方程为1:y - x282综上，所求直线方程为：x10或yx.12分(n)解法f (0)f (1)ff (x)002x22axb2a4ab及f (x)在x (0,1)取得极大值且在

22、 xx令 M(x, y),贝Uy(1,2)取得极小值,易得A( 2,0)，2y4y故点M所在平面区域S为如图 ABC,B( 2,1)，C(2,2),3D(0,1), E(0, 2)S ABC同时DEABC的中位线S DEC$边形ABED3所求一条直线 L的方程为：另一种情况由于直线B0方程为:y丄x,设直线2B0与AC交于H ,由y2y1x2x 2得直线L与AC交点为：H (Sabc2,DEC所求直线方程为3、(根的个数问题)已知函数f(x)(I)求c、d的值；(n)若函数f(x)的图象在点121x23ax1, Sabh2bx2 (c 3a(2,f(2)处的切线方程为S ABO S AOH2b

23、)xd (a3xy 110)的图象如图所示。0 ,求函数f ( x ) 的解析式;(川)若X。5,方程f(x) 8a有三个不同的根，求实数 a的取值范围。解：由题知：f (x) 3ax2 2bx+c-3a-2b(I)由图可知函数f(x )的图像过点(0,3 )，且f 1 = 0/口d3d 3得3a2b c3a2b 0c 0(n)依题意f 2 =:-3且 f ( 2 ) = 512a4b 3a2b3解得 a =1 , b = - 68a 4b 6a 4b 3 5所以 f ( x ) = x3 - 6x2 + 9 x + 332(川)依题意 f ( x ) = ax + bx - ( 3 a +

24、2 b ) x + 3 ( a>0 )f x = 3 ax + 2 bx - 3a -2b 由 f5 = 0 b = - 9 a 若方程f ( x ) = 8 a有三个不同的根，当且仅当满足f ( 5 ) v 8a v f ( 1 ) 1由 得-25 a + 3 v 8av 7a + 3v av 3111所以当一v av 3时，方程f ( x ) = 8 a有三个不同的根。114、(根的个数问题)已知函数f(x) 1x3 ax2x 1(a(1)若函数f (x)在x x1, x x2处取得极值，且 x1R)冷 2，求a的值及f(x)的单调区间;令(x)1 3 x3(1、2(a 2)x2ax

25、 6(2x1)(x)2 x(2a1)x2a (x 2a)(x1)令(x)0得x 2a或 x1Q a1当2a2即a1时2x2(2,1)1(x)一(x)8a 92ax2(2,2 a)2a(2a,1)1(x)+0一(x)9 8a2/2 2 1 -a (3 2a)-36、a91此时，8a 2。，a 0，有一个交点；当2a 2即1 a ?时，2a)-0即1 a时，有一个交点;2 1610,当 8a61 1 25(2)若 a，讨论曲线 f (x)与 g (x) x (2a 1)x( 22 2 6解：(1) f(x) x2 2ax 1 x-i x2 2a,x1 x21x 1)的交点个数.x1 x2 寸(片 x2)2 4x1x2 寸 4a