《选修11：导数的应用：单调性与极值、最值》教案

1、适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版区域课时时长分钟2课时知识点1.函数的单调性与极值; 2.函数中含参数的单调性与极值。教学目标1. 能利用导数研究函数的单调性 ,会用导数法求函数的单调区间2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件3. 会用导数求函数的极大值和极小值教学重点利用导数研究函数的单调性；函数极值的概念与求法教学难点用导数求函数单调区间的步骤；函数极值的求法【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节 ,是为了激发学生的学习兴趣 ,帮助学生尽快进入学习状态。导入的方法很多 ,仅举两种方法： 情境导入 ,比方讲一个和本讲内容有关的生活现象； 温故知新

2、 ,在知识体系中 ,从学生已有知识入手 ,揭示本节知识与旧知识的关系 ,帮学生建立知识网络。函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型 ,研究函数时 ,了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的通过研究函数的这些性质 ,我们可以对数量的变化规律有一个根本的了解函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的 ,那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?二、知识讲解考点1 导函数判断函数的单调性用导数求函数单调性的步骤：（1） 明确函数的定义域 ,并求函数的导函数；（2） 假设导函数时 ,并求对应的解集；（3） 列表 ,确定函数的单调性；（4） 下结论

3、,写出函数的单调递增区间和单调递减区间。注意：导函数看正负 ,原函数看增减。考点2 极值用导数求函数极值的步骤:1明确函数的定义域 ,并求函数的导函数；（2） 求方程的根；（3） 检验在方程的根的左右的符号 ,如果在根的左侧附近为正 ,右侧附近为负 ,那么函数在这个根处取得极大值 ,这个根叫做函数的极大值点；如果在根的右侧附近为正 ,左侧附近为负 ,那么函数在这个根处取得极小值 ,这个根叫做函数的极小值点。注意：函数的极值不一定是一个 ,有的题可能是多个 ,需要灵活掌握。考点3 最值函数的最大值和最小值1设是定义在区间上的函数 ,且在内可导 ,求函数在上的最大值与最小值 ,可分两步进行：求在内

4、的极值；将在各极值点的极值与、比拟 ,来确定函数的最大值和最小值。（2） 假设函数在上单调增加 ,那么为函数的最小值 ,为函数的最大值；假设函数在上单调递减 ,那么为函数的最大值 ,为函数的最小值。注意：有时极大小值也是最大小值 ,有时不一定 ,需要具体问题具体分析。三 、例题精析类型一 求函数的单调区间例题1求曲线的单调递增区间 。【解析】根据题意 , ,+0-0+单增极大值单减极小值单增所以 ,函数的单增区间为。【总结与反思】 此题就是单纯的考查函数的单调性 ,按上面的方法求导来确定函数的递增区间 ,属于简单题。 例题2求以下函数的单调区间：(1) ；(2) ；【解析】(1)f(x)的定义

5、域是R ,且f '(x)3x23 ,令f '(x)0 ,得x11 ,x21列表分析如下：x( ,1)1(1 ,1)1(1 ,)(x)00f(x)所以函数f(x)的减区间是(1 ,1) ,增区间是( ,1)和(1 ,)(2)f(x)的定义域是(0 ,) ,且 ,令f(x)0 ,得列表分析如下：x(x)0f(x)所以函数f(x)的减区间是 ,增区间是【总结与反思】 在利用导数判断函数单调性时 ,首先要知道f(x)的定义域；其次能够正确求解出函数的导数；最后利用表格法找到函数的增减区间即单调性。类型二 利用导数研究函数的极值例题1求曲线的极值 。【解析】根据题意 ,由解得 ,该函数在

6、上单增 ,在上单减 ,当； ,所以曲线的极大值为1；极小值为-3。【总结与反思】此题考查函数的极值 ,完全按照求函数极值的思路来解就可以 ,属于简单题。例题2求函数的极值【解析】yx24(x2)(x2) ,令y0 ,解得x12 ,x22列表分析如下： x( ,2)2(2 ,2)2(2 ,)y'00y极大值极小值所以当x2时 ,y有极大值；当x2时 ,y有极小值【总结与反思】 正确求解函数的导数 ,利用列表分析法清晰的写出函数的单调性以及极值情况。要注意的是一个函数的极大值或极小值不一定只有一个。类型三 利用导数研究函数的最值例题1求曲线在上的值域 。【解析】根据题意 ,求导 ,解得,该

7、函数在上单增 ,在上单减 ,由函数的单调性 ,当 , ,2为函数的极大值；当 ,为函数的极小值；当 , ,所以曲线在闭区间上的值域为。【总结与反思】此题考查闭区间上的值域问题 ,根据求函数最值的方法 ,可以求出结果 ,属于容易题。例题2设 ,如果在处取得最小值 ,求的解析式。【解析】 根据题意 ,求导可得 ,又 ,在处取极值 ,那么 ,且处取最小值-5 ,那么 ,。【总结与反思】此题是通过函数极值来确定函数的解析式 ,解题中必须明确极值点 ,极值和函数的关系 ,属于容易题。四 、课堂运用根底1.函数当时 ,那么函数的最小值为_2.函数为自然对数的底数的最大值是 3.函数的单调递增区间为_4函数

8、的单调递增区间是_答案与解析1. 【答案】 【解析】定义域为 , ,令列表如下：0在区间上单调减当时 ,函数单调减 ,函数的最小值为2. 【答案】【解析】 ,令列表：10函数的最大值为3. 【答案】 【解析】函数定义域为 , ,故单调增区间是4. 【答案】 【解析】 ,令解得 ,那么的单调增区间是.稳固1假设函数在是增函数 ,那么的取值范围是_2当函数取到极值时 ,实数的值为 3.函数在上不单调 ,那么的取值范围是_ 答案与解析1. 【答案】 【解析】 ,因为在上为增函数 ,即当时 ,.即 ,那么 ,令 ,而在上为减函数 ,所以 ,故.2. 【答案】1【解析】 ,令列表：1-0+函数有极小值为

9、.3. 【答案】或 【解析】 ,由得函数的两个极值点1,3 ,那么只要这两个极值点在区间内 ,函数在区间上就不单调 ,由或 ,解得或.拔高1.函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行.1求的值；2求的单调区间2设函数为常数 ,是自然对数的底数1当时 ,求函数的单调区间；2假设函数在内存在两个极值点 ,求的取值范围答案与解析1. 【答案】见解析.【解析】1由而2令 ,当时,;当时,. 的单调增区间是;单调减区间是.2. 【答案】见解析.【解析】1=当时 , ,令 ,那么 ,当时 ,单调递减；当时 ,单调递增.2由1知 , 时 ,函数在内单调递减 ,故在内不存在极值点 ,时 ,令

10、 ,那么 ,所以 ,.,综上 ,的取值范围为.五 、课堂小结本节讲了2个重要内容：题型一 利用导数求函数的单调区间求函数f(x)的单调区间的步骤是：确定f(x)的定义域(这一步必不可少 ,单调区间是定义域的子集)；计算导数f(x)；求出方程f(x)0的根；列表考察f(x)的符号 ,进而确定f(x)的单调区间(必要时要进行分类讨论)题型二 求函数的极值求函数f(x)的极值的步骤是：计算导数f(x)；求出方程f(x)0的根；列表考察f(x)0的根左右值的符号：如果左正右负 ,那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正 ,那么f(x)在这个根处取得极小值六 、课后作业根底1函数f(x)x33ax

11、22bx在x1处取得极小值1 ,那么ab_2函数f(x)x3ax2在区间1 ,)上是增函数 ,那么实数a的取值范围是_.3假设函数f(x)(a>0)在1 ,)上的最大值为 ,那么a的值为_答案与解析1.【答案】 【解析】, ,2.【答案】a3【解析】f(x)x3ax2在1 ,)上是增函数 , f(x)3x2a0在1 ,)上恒成立即a3x2在1 ,)上恒成立,又在1 ,)上(3x2)max3,a3.3.【答案】 1【解析】 f(x)令f(x)0 ,解得x或x(舍去)当x>时 ,f(x)<0；当0<x<时 ,f(x)>0；当x时 ,f(x) ,<1 ,不合

12、题意f(x)maxf(1) ,解得a1.稳固1. 函数 ,假设函数有两个极值点 ,那么实数m的取值范围_2.假设函数在上有两个零点 ,那么实数的取值范围是_3假设函数在区间上单调递减 ,那么实数的范围是_4f(x)ax5bx3c在x±1处的极大值为4 ,极小值为0 ,试确定a、b、c的值.答案与解析1. 【答案】【解析】 ,且 ,由题意可知 ,关于的方程有两个不相等的正根 ,所以 ,解得 ,即实数的取值范围是2. 【答案】 【解析】当直线和相切时 ,仅有一个公共点 , 这时切点是 ,直线方程是 ,将直线 向上平移 ,这时两曲线必有两个不同的交点 3. 【答案】 【解析】由 ,得 ,由

13、得 ,的减区间是由得.4.【答案】见解析 【解析】f(x)5ax43bx2x2(5ax23b)由题意 ,f(x)0应有根x±1 ,故5a3b ,于是f(x)5ax2(x21) (1)当a0时 ,x( ,1)1(1,0)0(0,1)1(1 ,) y000y极大值无极值极小值由表可知：又5a3b ,解之得：a3 ,b5 ,c2.(2)当a0时 ,同理可得a3 ,b5 ,c2.拔高1. 函数fx=4x3+ax2+bx+5的图像在x=1处的切线方程为y=12x.1求函数fx的解析式；2求函数fx在3 ,1上的最值.2函数f(x)x3ax2bx(a ,bR)的图像过点P(1 ,2) ,且在点P

14、处的切线斜率为8(1)求a ,b的值；(2)求函数f(x)的单调区间.3 函数f(x)x33x29xa(1)求f(x)的单调递减区间；(2)假设f(x)在区间2 ,2上的最大值为20 ,求它在该区间上的最小值.答案与解析1 【答案】见解析 【解析】1x=12x2+2ax+b ,1=12+2a+b=12.又x=1 ,y=12在fx的图像上 ,4+a+b+5=12.由得a=3 ,b=18 ,fx=4x33x218x+5.2x=12x26x18=0 ,得x=1 , ,f1=16 ,f= ,f3=76 ,f1=13.fx的最大值为16 ,最小值为76.2.【答案】见解析 【解析】(1) (2) ,令 ,得 ,列表分析如下x( ,3)3(3 ,)( ,)y'00y极大值极小值3.【答案】见解析 【解析】(1)f(x)3x26x9令f(x)0 ,解得x1或x3所以函数f