椭圆的标准方程和几何性质练习题

1、1椭圆的标准方程和几何性质练习题一1.若曲线ax2+ by2= 1为焦点在x轴上的椭圆，贝U实数a, b满足()2 211A-abB.aEC-0ab22答案：C由ax2+ by2= 1,得千+章=1,因为焦点在a bD. 0ba1 1一x轴上，所以冷0，所以0ab0)。由点P(2,J3)在椭圆上知 +=1。又|PF1|,|FF2|, a bp 1c22 222PF2成等差数列，贝U |PF1|+|PF2|=2|FF2|,即2a=2 2c,=-,又c2=a2-b2,联，得a2=8 , b2=6 a 2x223.已知ABC的顶点B、C在椭圆3 + y = 1上，顶点A是椭圆的一个焦点， 且椭圆的另

2、外一个焦点在BC边上，贝U ABC的周长是()A . 2迅B . 6C . W3D . 12答案：C如图，设椭圆的另外一个焦点为F,则ABC的周长为|AB|+ |AC|+ |BC|= (|AB|+ |BF |)+ (|AC|+ |CF|)= 4a= 4确。4.已知椭圆x2+ my2= 1的离心率e 1, 1；贝U实数m的取值范围是()A。，*i + 8.(。,3)U也 + 8)D. g, 1)u (1, 3)答案：C在椭圆x2+ my2= 1中，当0v mv 1时,a2- amb2= 1, c2= a2 b2= - 1,m112 1e2= &= - = 1 m,a1m又ev 1, 1时

3、,4a2= 1, b2=m212c m e =a 1=1-又七e 1,A1b0）的左、右焦点分别为F1, F2, P是椭圆上的一点，l:x =一女，且PQ I, a bc垂足为Q,若四边形PQFE为平行四边形，贝U椭圆的离心率的取值范围是（）.一 .a2答案：A设点P(x,y1),由于PQL I ,故|PQ|=x1+，因为四边形PQF1F2为平仃四边形，所以C22aa222|PQ|=|F1F2|=2c,即x+ =2c,则有x=2c-a,所以2c+ac-a0,即2e +e-10,解碍e1,由于0e1，所以-eb0)的左右焦点分别为F1, F2,若椭圆C上恰有8个不同的点P,a b使得F1F2P为

4、直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是()222222xyxyxyA. -乙=1 B. 二=1C. -二=164484864486422x yD.-二164 48A.(1,1)2B.(0,1)2号）.2D.(-1)3答案：C由题意，问题等价于椭圆上存在四个点P使得直线PFi与直线PF2垂直,11.在ABC中，AB= BC, cosB =一 %若以A, B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率为()183 3 33A.4B.产由D玉答案：C依题意知AB = BC = 2c, AC = 2a 2c,在ABC中，由余弦定理得(2a 2c)2= 8c2一x一7，故16e2+ 18e 9= 0,解得e

5、=言.2212.已知FI,F2分别是椭圆+= 1的左、右焦点,A是椭圆上一动点，圆C与FIA的延长线、43FIF2的延长线以及线段AF2相切，若M(t,0)为一个切点，贝U ()A.t=2B.t2C.tb0)上一点A关于原点的对称点为B, F为其右焦点,所以|OP|=cb,即c2a2-c2,所以aJ2c,因为e=C, 0e1，所以 手4c2A.(0,4a b/ ABF = a,且则该椭圆离心率的取值范围为()A.52*祟,1答案：A由题知AF BF,根据椭圆的对称性，AFBF 其中F是椭圆的左焦点),因此四边形AFBF 5由椭圆定义知，|AF|+|AF2|=2a,所以c+j3c=2a，所以e=

6、J3-1.15.已知椭圆的焦点在X轴上，一个顶点为A(0, - 1),其右焦点到直线X y+ 2寸2=。的距离为3,则椭圆的方程为2答案：L + y2= 1据题意可知椭圆方程是标准方程，故b = 1.设右焦点为(c,0)(c0),它到已知直线3的距离为|c2|=3,解得c=也，所以a2= b2+ c2= 3,故椭圆的方程为X + y2= 1.16.设F1,F2分别是椭圆+ = 1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3,25 16则P点到椭圆左焦点的距离为 答案：4 由题意知 |OM|=1|PF2|=3，所以 |PF2|=6，所以 |PF|=2a-|PF2|=10-6=42

7、2217.分别过椭圆% + =1(ab0)的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l，Z的交点在a b此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是2又b =a -c ,所以有c a -c ,即2c b0)交于A, B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过b椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为.3.3-1A,方B.答案：C设椭圆的左、右焦点分别为C. , 3-1D.4-2 . 3F,F2,由题意可得|OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c,由y=-A/3X得Z AOF2=2二,八，Z AOF1=3一。所以|AF2|=j3c, |AFI|=C.3.答案：(0，乎)由已知得交点P在以F1F2为直径

8、的圆X2+y2=c2上。又点P在椭圆内部，所以有c2b2,1,所以0c匝2a 26P的横坐标的取值范围是答案：236,2普 故椭圆上一点P的坐标为(x, V),则FTP= (x + y3, y), F2P = (x-V3, V)。22Z F1PF2为钝角，FiP F2P0,即x 3+ y v 0,22. y2= 1 Y，代入得x2 3+ 1 寻v 0, jx2 2, . . x2v?。4443解得零x2=决c2=3.故所求椭圆方程为. F( 1,0), A(2,0), PF = (-1-x。，一y。)，PA =(2-冷，一y),PF PA= x0 xo 2+ y2=：品一x+1 = ；(xo

9、2)2.即当x0=- 2时，PF PA取得最大值4.2221.已知椭圆C:亳十%=1（ab0）的左焦点为F, C与过原点的直a b1（a为定值，且a g）的左焦点为F,直线x= m与椭圆相交于点A, B。若FAB=1.7线相交于A, B两点，连接AF , BF。若|AB|=10 , |BF|=8, cosZ ABF=-，贝U C的离心率为5答案： 。如图，设|AF|=x，贝U cosZ ABF= - =72 8 105解得x=6（负值舍去），所以Z AFB=90，由椭圆及直线关于原点对称可知Z FAFi= Z FAB+ Z FBA=90 , FAFi是直角三角形，所以|FF|=10,故2a=8

10、+6=14,2c=10，所以-=-.a 72222,如图，在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别是椭圆 与+ 土 =1（ab0）的左、右焦点，顶点B a b的坐标为（0, b）,连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接FC.4 1（1）若点C的坐标为（一,一），且|BF2|=J2,求椭圆的方程3 3（2）若F1CAB,求椭圆离心率e的值【解析】（1）由题意F2（c,0）, B（0,b） , |BF2|=Jb2+c2= a = V2,（4）2（1）22又c（，,i），所以 二+M=1，解得b=1，所以椭圆方程为3 32b22+y2=1.22，一、e x y-、，

11、一 ，一，=1,与椭圆方程N+J=1联立方程组，解得A点坐标为a b42 2 22 24儿色/曰所以(a -c ) =3a c +c ,化间侍23.已知椭圆C: x2+ 2y2 = 4.（1）求椭圆C的离心率值22解析：（1）由题意，椭圆C的标准方程为4 + = 1。所以a2= 4, b2= 2,从而c2= a2 b2= 2。因此a= 2, c= g故椭圆C的离心率e =乎设点A, B的坐标分别为(t,2), (X0,Y0),其中X0乒Q因为OALOB,所以OA OB = 0,即txo + 2yo= 0,解得t=一独。X0|AFI|=8,且x直线BF2万程为c2a2cb32a2cb322),贝U C点的坐标为(；5 2,),a ca c a cb3又F(-c,0),b32a2ccbb32 Q,又kAB=-，由F1C _L AB ,得3a2c c33a2c c3(-)=-1,cce=即b4=3a2c2+c ,（2）设O为原点.若点A在直线y=