机械振动的基本理论

1、返回总目录振动理论与应用振动理论与应用 第第1章章 振动的基本理论振动的基本理论Theory of Vibration with ApplicationsTheory of Vibration with Applications 返回首页Theory of Vibration with Applications振动理论与应用振动理论与应用 返回首页Theory of Vibration with Applications振动理论与应用振动理论与应用 返回首页Theory of Vibration with Applications振动理论与应用振动理论与应用 返回首页Theory of Vib

2、ration with Applications振动理论与应用振动理论与应用 Theory of Vibration with Applications 返回首页Theoretical Mechanics 1.1 振动系统振动系统 1.2 简谐振动简谐振动 1.3 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析 1.4 非周期函数的连续频谱非周期函数的连续频谱目 录 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.1 1.1 振动系统振动系统 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.1 1.1 振动系统振动系统 振动

3、系统一般可分为振动系统一般可分为连续系统或离散系统连续系统或离散系统。 具有连续分布的质量与弹性的系统，称为连续弹性具有连续分布的质量与弹性的系统，称为连续弹性体系统。弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振体系统。弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方动规律要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程。程是偏微分方程。 在一般情况下，要对连续系统进行简化，用适当的在一般情况下，要对连续系统进行简化，用适当的准则将分布参数准则将分布参数“凝缩凝缩”成有限个离散的参数，这样成有限个离散的参数，这样便得到离散系统。所建立的振动方程是常微分方程。

4、便得到离散系统。所建立的振动方程是常微分方程。由于所具有的自由度数目上的区别，离散系统又称为由于所具有的自由度数目上的区别，离散系统又称为多自由度系统。多自由度系统。 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.1 1.1 振动系统振动系统)sin(0eqeqtFkm 0 kyym 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.1 1.1 振动系统振动系统 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.1 1.1 振动系统振动系统 线性振动：相应的系统称为线性系统。线

5、性振动：相应的系统称为线性系统。 线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。 非线性振动：相应的系统称为非线性系统。非线性振动：相应的系统称为非线性系统。 非线性振动的叠加原理不成立。非线性振动的叠加原理不成立。 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.1 1.1 振动系统振动系统 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动

6、简谐振动1.2.11.2.1简谐振动的表示简谐振动的表示1. 用正弦函数表示简谐振动用正弦函数表示简谐振动用时间t的正弦（或余弦）函数表示的简谐振动。其一般表达式为tAxsin21,21TffT一次振动循环所需的时间一次振动循环所需的时间T 称为周期；单位时间内振动循环称为周期；单位时间内振动循环的次数的次数f 称为频率。称为频率。周期T的单位为秒（s），频率f的单位为赫兹（Hz），圆频率 的单位为弧度/秒（rad/s）。振幅圆频率初相位 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.11.2.1简谐振动的表示简谐振

7、动的表示图描述了用正弦函数表示的简谐振动，它可看成是该图中左图描述了用正弦函数表示的简谐振动，它可看成是该图中左边半径为边半径为A的圆上一点作等角速度的圆上一点作等角速度 的运动时在的运动时在x轴上的投影。轴上的投影。)2sin()cos(tAtAx )sin()sin(22tAtAx 如果视如果视x为位移，则简谐振动的速度和加速度就是位移表达式为位移，则简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间关于时间t的一阶和二阶导数，即的一阶和二阶导数，即 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.11.2.1简谐振动的

8、表示简谐振动的表示可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，具可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，具有相同的频率。有相同的频率。在相位上，速度和加速度分别超前位移在相位上，速度和加速度分别超前位移 和和 。2 xx 2重要特征重要特征: :简谐振动的加速度大小与位移成正比，但方向总是简谐振动的加速度大小与位移成正比，但方向总是与位移相反，始终指向平衡位置。与位移相反，始终指向平衡位置。可得到加速度与位移有如下关系可得到加速度与位移有如下关系 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.11

9、.2.1简谐振动的表示简谐振动的表示旋转矢量旋转矢量OM 的模为振幅的模为振幅A，角速度为圆频率，角速度为圆频率 ，任一瞬，任一瞬时时OM 在纵轴上的投影在纵轴上的投影ON 即为简谐振动表达式即为简谐振动表达式2. 用旋转矢量表示简谐振动用旋转矢量表示简谐振动 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.11.2.1简谐振动的表示简谐振动的表示记 , 复数1j)sin(j)cos(e)j(tAtAAzt复数复数Z的实部和虚部可分别表示为的实部和虚部可分别表示为)sin()(I)cos()(RmetAztAz简谐振动

10、的位移简谐振动的位移x与它的复数表示与它的复数表示z的关系可写为的关系可写为)(Imzx 3. 用复数表示简谐振动用复数表示简谐振动 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.11.2.1简谐振动的表示简谐振动的表示由于2jejje1用复数表示的简谐振动的速度加速度为用复数表示的简谐振动的速度加速度为 eIejI)2j(m)j(mttAAx eIeI)j(2m)j(2mttAAx 也可写成ttAAZjjjeee是一复数，称为复振幅。它包含了振动的振幅和相角两个信是一复数，称为复振幅。它包含了振动的振幅和相角两个信

11、息。用复指数形式描述简谐振动将给运算带来很多方便。息。用复指数形式描述简谐振动将给运算带来很多方便。 jeAA 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.21.2.2简谐振动的合成简谐振动的合成 1. 两个同频率振动的合成两个同频率振动的合成有两个同频率的简谐振动xAt111sin()xAt222sin()由于A1 、A2的角速度相等，旋转时它们之间的夹角( )保持不变，合矢量A也必然以相同的角速度 作匀速转动 12 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.

12、2 简谐振动简谐振动1.2.21.2.2简谐振动的合成简谐振动的合成 由矢量的投影定理由矢量的投影定理 xAtAtAt1122sin()sin()sin()coscossinsinarctan()coscos()sinsin(221122112221122211AAAAAAAAAA =A1 +A2即两个同频率简谐振动合成的结果仍然是简谐振动，其角频率即两个同频率简谐振动合成的结果仍然是简谐振动，其角频率与原来简谐振动的相同，其振幅和初相角用上式确定。与原来简谐振动的相同，其振幅和初相角用上式确定。 2122nm 返回首页Theory of Vibration with Applications

13、 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.21.2.2简谐振动的合成简谐振动的合成 2、两个不同频率振动的合成、两个不同频率振动的合成有两个不同频率的简谐振动xAt111sinxAt222sin12mn有理数TmTnT12T1T2 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.21.2.2简谐振动的合成简谐振动的合成 xxx12)()()(21TtxTtxTtx当频率比为有理数时，合成为周期振动，但不是简谐振动，当频率比为有理数时，合成为周期振动，但不是简谐振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。合成振动

14、的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。 合成的周期若 与 之比是无理数，则无这样一个周期。其合成振动是非周期的。 12若 ，对于 ，则有12AAA12tAtAxxx221121sinsin)()()(21txtxtxttA)2sin()2cos(21212)()(2211nTtxmTtx 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.21.2.2简谐振动的合成简谐振动的合成 令 1212()21xAtt 22cossin式中的正弦函数完成了几个循环后，余弦函数才能完成一个式中的正弦函数完成了几个循环后，余弦函数才能完

15、成一个循环。这是一个频率为循环。这是一个频率为 的变幅振动，振幅在的变幅振动，振幅在2A与零之间缓与零之间缓慢地周期性变化。慢地周期性变化。A tAt( )cos 22它的包络线tAtAxxx221121sinsinttA)2sin()2cos(21212 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.21.2.2简谐振动的合成简谐振动的合成 A tAt( )cos 22这种特殊的振动现象称为这种特殊的振动现象称为“拍拍”，或者说，或者说“拍拍”是是一个具有慢变振幅的振动一个具有慢变振幅的振动 拍频 返回首页Theo

16、ry of Vibration with Applications 1.3 1.3 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.3 1.3 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析x tx tnT( )()周期振动 展成傅氏级数x taantbntnnn( )(cossin)01112TnTnTttntxTbttntxTattxTa010100dsin)(2dcos)(2d)(2一个周期 T中的平均值 x taAntnnn( )sin()0112n=1,2,3,n=1,2,3,T21基频,tan22nnnnnnbab

17、aA， 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.3 1.3 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析一个周期振动可视为频率顺次为基频 及整倍数的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。 1在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析 周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.3 1.3 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析函数的

18、频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该周期函数的特性。周期函数的特性。这种分析振动的方法称为频谱分析。这种分析振动的方法称为频谱分析。由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是由时间域转入频率域。由时间域转入频率域。这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.3 1.3 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析以无穷级数出现，但一般可以

19、用有限项周期振动的谐波分析以无穷级数出现，但一般可以用有限项近似表示周期振动。近似表示周期振动。例例1.1 已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。 解解 矩形波一个周期内函数矩形波一个周期内函数F (t)可表示为可表示为F tff( ) 0020tt表示表示F(t)的波形关于的波形关于t轴对称，故其平均值为零。轴对称，故其平均值为零。 0d)(1200ttFa 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.3 1.3 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析n=1，2，30dcosdcos1210010ttnfttnfan4cos12dsindsin100210010nfnnfttnfttnfbn于是，得F(t)的傅氏级数tttftnnftnbtFnnn1110.5 . 3 . 110115sin513sin31sin4sin14sin)(F(t)是奇函数，在它的傅氏级数是奇函数，在它的傅氏级数中也只含正弦函数项。在实际中也只含正弦函数项。在实际的振动计算中，根据精度要求，的振动计算中，根据精度要求，级数均取有限项。级数均取有限项。F(t)的幅值频的幅值频谱如图所示。谱如图所示。 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.4 1